Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
Вопросы для самоконтроля
31
Рис. 5. Результаты расчета параметров для двух одинаковых пластин толщиной
= 0,5 мм со скоростью и0 = 400м/с (t = 1 мкс)
После удаления волны разрежения от свободной поверхности пла-
стины-мишени скорость движения ее материала увеличивается до 300 м/с (до
скорости соударения), и материал полностью разгружается (давление равно
нулю). Волна разрежения в пластине-ударнике не только полностью разгружает материал, но и полностью останавливает движение материала.
Вопросы для самоконтроля
1. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекание тела.
2. Понятие конформного отображения эллипса на круг.
3. Комплексный потенциал течения жидкости.
4. Понятие векторной функции тока.
5. Парадокс Даламбера.
6. Эйлеровы и лагранжевы координаты.
7. Метод Мейдера для соударения пластин.
8. Определение псевдовязкости и ее значение для расчетной схемы.
9. Принцип «фиктивной» ячейки.
10. Волны разрежения и сжатия.
11. Толчок тела и явление удара по телу. Какова отличительная осо-
бенность?
12. Ударные силы и конечные силы, действующие на материальную
точку или тело. Какова существенная отличительная особенность у этих
физических явлений?
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
32
13. Ударные силы называются мгновенными силами. Почему?
14. Перечислите свойства, характеризующие удар как физическое яв-
ление?
15. Положение материальной точки в теории удара сохраняется. По-
чему?
16. Назовите физические величины, движущейся материальной точки,
на которые влияет ударная сила.
17. Будет ли ударный импульс равен произведению массы материаль-
ной точки на ее скорость, если материальная точка массой ударит неподвижную преграду под прямым углом со скоростью v?
18. Чем можно объяснить следующее явление: ударная сила за время
удара принимает достаточно большое значение, а ударный импульс не принимает больших значений?
19. При столкновении материальной точки с шероховатой плоскостью
она, как правило, отскакивает от этой плоскости. Почему?
20. Рассчитать импульс, возникающий при ударе о неподвижную
плоскость материальной точки (под острым углом ).
21. Угол падения и угол отражения материальной точки при столкновении с неподвижным препятствием. Какова функциональная связь
между ними?
22. Скорости материальной точки до и после удара равны. Верно ли
это утверждение и почему?
23. В чем заключается суть гипотезы Ньютона в элементарной теории удара?
24. Как определить величину и направление скорости материальной
точки после соударения с плоскостью?
25. Каким способом можно определить коэффициент восстановления
в случае соударения двух движущихся тел?
26. Какие физические факторы оказывают наибольшее влияние на коэффициент восстановления в случае соударения двух движущихся тел?
Укажите их величины.
27. При ударе материальной точки о неподвижную плоскость как
определяется коэффициент восстановления?
28. Как может быть применена теорема Кельвина и в чем ее смысл?
29. В каких случаях при расчете удара следует учитывать дифферен-
циальные зависимости?
Вопросы для самоконтроля
33
2. РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
ГОРИЗОНТАЛЬНО-ОДНОРОДНОГО
ТУРБУЛЕНТНОГО ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ
2.1. Постановка дифференциальной задачи
Рассмотрим горизонтально-однородный приземный слой. Электрическое состояние рассматриваемого слоя с учетом турбулентности может
быть описано следующей системой дифференциальных уравнений [3]:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
В данной системе уравнений использованы следующие обозначе-
ния: – напряженность электрического поля (ЭП),
– объемная кон-
центрация аэроионов,
– подвижность аэроионов, , коэффи-
циент турбулентности (турбулентной диффузии),
– естественная фо-
новая интенсивность ионообразования (галактические космические лучи
или поверхностные источники), – коэффициент рекомбинации,
– зна-
чение напряженности ЭП у поверхности земли.
Зададим начальные условия в следующем виде:
(2.4)
Граничные условия:
(2.5)
Границы изменения временной и пространственной координат сле-
дующие: , .
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
34
Таблица 1
Значения параметров моделирования [3]
Параметр
Название
Значение
Напряженность электрического поля
102 В м
-1
Подвижность положительных легких ионов
1,210-4 м2
Подвижность отрицательных легких ионов
1,410-4 м2
коэффициент рекомбинации легких ионов
1,610
-12 м2
Параметр шероховатости земной поверхности
2,510
-3
м
Элементарный заряд
1,610
-19
Кл
Электрическая постоянная
8,8510
-12
Ф
Объемная концентрация положительных и отрицательных легких ионов
0
Множитель в коэффициенте турбулентной
диффузии
0,01–0,1 м/с2
Интенсивность ионообразования
7106 п.и./м3с
Характерный масштаб процесса
1 м
При наличии радиоактивности атмосферы только естественной природы [4] распределение концентрации радона, а также продукта распада,
определяются только турбулентностью атмосферы. В этом случае 75 %
всей естественной радиоактивности занимает радон.
Зададим зависимость интенсивности ионообразования в виде экспериментально полученной и общепринятой при решении такого класса задач зависимости:
(2.6)
Первое слагаемое в зависимости (2.6) – константа м
-3с-1
, опре-
деляется космическим излучением, и описывает вклад космических лучей
в процесс ионизации. Второе слагаемое учитывает воздействие радиоактивных эманаций. Здесь ключевую роль играет радон, а также продукты
распада радона (изотопы полония, свинца, висмута).
С учетом значения константы получим следующий вид функции:
(2.7)
Значения
– слабая;
2.2. Построение сеточной модели
35
– средняя;
– сильная ионизация.
Границы изменения временной и пространственной координат вы-
браны следующие: , .
2.2. Построение сеточной модели
2.2.1. Алгоритм исследования дифференциальной задачи для
построения сеточной модели
Проведем сравнительный анализ первого уравнения системы
(2.1)–(2.3):
с одномерным уравнением теплопроводности:
Отличительными особенностями рассматриваемого уравнения от
уравнения теплопроводности являются: слагаемые
,
функция правой части, а также запись второй производной. Аппрок-
симацию слагаемых, содержащих производные первого и второго порядков от произведения функций в написанных выше уравнениях следует рассмотреть отдельно, что мы и сделаем.
Для построения разностного аналога уравнения () рассмотрим не-
сколько сеточных уравнений для модельных дифференциальных уравнений, учитывающих рассмотренные выше отличия искомого уравнения от
уравнения теплопроводности. Далее для удобства обозначим неизвестную
функцию
как
.
После составления разностной схемы для первого уравнения системы
(2.1)(2.3), аналогично аппроксимируем и второе уравнение системы. Для
решения третьего уравнения можно использовать метод бегущего счета.
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
36
2.2.2. Сеточное уравнение для первой модели
Рассмотрим начально-краевую задачу для следующего дифференци-
ального уравнения, отличающегося от рассмотренного выше уравнения
теплопроводности слагаемым, содержащим первую производную.
(2.8)–(2.10)
Для построения разностного уравнения выберем расчетную сетку:
(2.11)
Здесь приняты следующие обозначения
–временная координата;
– максимальное значение временного интервала;
– значение временной координаты на j-м слое;
– шаг по времени;
– текущая пространственная координата;
– координата в i-м узле;
– шаг по длине;
– максимальное значение пространственной координаты;
– количество разбиений по пространственной и временной ко-
ординате соответственно.
Введем весовой параметр , и заменим производные разностными
отношениями при аппроксимации уравнения (2.7), воспользовавшись схемой с весами
(2.12)
Преобразуем полученное уравнение (2.12) к трехточечному уравне-
нию для использования метода прогонки:
2.2. Построение сеточной модели
37
(2.13)
где
Приведем еще две схемы, по-разному аппроксимируя первую про-
изводную в исследуемом уравнении.
Первая разностная схема имеет вид:
(2.14)
Соответствующее трехточечное уравнение примет вид
(2.15)
Во второй схеме заменим производную центральной разностной
формулой:
(2.16)
Выпишем и для нее трехточечное уравнение:
(2.17)
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
38
В дальнейшем будем пользоваться схемой с левой разностной про-
изводной.
2.2.3. Сеточное уравнение для второй модели
Для уравнения
(2.18)
построим разностную схему с начальным условием (2.8) и граничными
условиями (2.9)–(2.10).
Данная модель обобщает предыдущую, благодаря усложнению вида
второй производной. Построим сеточный аналог уравнения (2.18), произведя замену производных первого порядка в преобразуемом уравнении на
разностные отношения:
(2.19)
После преобразования (2.19), получим
(2.20)
2.2.4. Сеточное уравнение для третьей модели
Исследуем уравнение вида
(2.21)
Зададим начальные (2.8) и граничные условия (2.9)–(2.10).
2.2. Построение сеточной модели
39
Произведем замену в (2.21) частных производных на разностные от-
ношения:
(2.22)
После преобразований к трехточечному виду имеем
(2.23)
2.2.5. Сеточное уравнение для четвертой модели
Данное дифференциальное уравнение – это первое уравнение иссле-
дуемой системы и отличается от предыдущей модели видом правой части,
в которую добавляется нелинейное слагаемое:
(2.24)
где
– искомая функция.
Используем начальные (2.8) и граничные условия (2.9)–(2.10) для
данной задачи.
Для численного решения уравнения (2.24) применяется следующая
итерационная конечно-разностная схема:
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
40
(2.25)
После преобразования получим
(2.26)
– первое приближение будем брать с предыдущего
слоя.
2.2.6. Решение уравнения напряженности электрического поля
Рассмотрим систему уравнений:
(2.27)
(2.28)
Здесь – неизвестная, и – известные
функции; C – константа. Все функции рассматриваем на промежутке .
Для получения численного решения (2.27) будем использовать схему
(2.29)
Отсюда можно выразить неизвестную функцию -слое:
(2.30)
Решение уравнения (2.30) находят методом бегущего счета.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]