Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
4.1. Теоретическая часть
71
Тогда разностная схема (4.7), (4.8) устойчива по правой части, а для
решения справедлива априорная оценка
. (4.9)
Пусть А самосопряженный и положительный оператор, а В удо-
влетворяет условию
(4.10)
с некоторой постоянной не зависящей от . Тогда для разностной
схемы (4.7), (4.8) справедлива априорная оценка
. (4.11)
Для трехслойных разностных схем используется следующая канони-
ческая форма:
(4.12)
Для однородного уравнения (4.12) при выполнении условий
(4.13)
имеет место априорная оценка.
При приближенном решении задачи (4.1)(4.3) определим сеточный
оператор:
(4.14)
Приведем оценки для самосопряженного и положительного опера-
тора А снизу и сверху:
(4.15)
Исходной дифференциальной задаче (4.1)–(4.3) поставим в соответ-
ствии задачу Коши для дифференциально-разностного уравнения
Для ее решения используем схему с весами:
4. Нестационарные задачи математической физики
72
(4.16)
(4.17)
Рассмотрим схему переменных направлений. Она состоит из двух
шагов:
.
(4.18)
. (4.19)
4.2. Практическая часть
В предложенных ниже примерах получены результаты по исследо-
ванию устойчивости двух- и трехслойных разностных схем, исследуются
разностные схемы для параболических и гиперболических уравнений второго порядка.
Упражнение 1.
Пусть в схеме (4.7), (4.8) .
Покажите, что при
(4.20) разностная схема устойчива по
начальным данным и правой части, а для разностного решения справедлива
априорная оценка
.
(4.21)
Решение. Представим решение задачи (4.7), (4.8) в виде
,
(4.22)
где
есть решение стационарного уравнения
и пусть .
Для
получим задачу
,
с правой частью
4.2. Практическая часть
73
при использовании стандартных обозначений
.
Для решений этой задачи (см. оценку (4.9)) получим
Принимая во внимание, что
, для последнего слагаемого
получим
,
1
2
A
1
2
A
−
,
где С=
.
11
1
22
C A B A
−
=
.
В силу предположения (4.20), обеспечивающего устойчивость
схемы, имеем
.
И поэтому
Тем самым
Принимая во внимание, что
получаем
С учетом (4.22) приходим к доказываемой оценке (4.21).
Упражнение 2.
Постройте двухслойную разностную схему повышенного порядка
аппроксимации для решения уравнения
(4.23)
с условиями (4.2), (4.3).
4. Нестационарные задачи математической физики
74
Решение. Будем рассматривать схему с весами, и оптимизацию по-
рядка аппроксимации проведем за счет выбора веса. Уравнению (4.23) поставим в соответствии разностную схему
Погрешность аппроксимации на решениях уравнения (4.23) есть
данное выражение
.
Перепишем ее в более удобном виде
.
С учетом
2
( , 0,5 ) ( , 0,5 )
2
n
nn
u
u u x t x t
t
= + − + +
,
на решениях уравнения (4.23) получим
(4.24)
Принимая во внимание, что
из (4.24) получим
4.2. Практическая часть
75
Выбирая
,
,
получим
.
Упражнение 3.
Покажите, что если в разностной схеме с весами (4.16), (4.17) выпол-
нены условия, оператор
,
(4.25)
то верна априорная оценка устойчивости по начальным данным и правой
части
,
(4.26)
где
,
.
Решение. Умножая уравнение (4.16) на оператор В= , полу-
чим разностную схему
.
При ограничениях (4.25) справедливо неравенство
(4.27)
Это следует из неравенства
4. Нестационарные задачи математической физики
76
.
При выполнении неравенства (4.27) имеет место (см. 4.10), (4.11))
априорная оценка в Н
.
Так как
, то мы приходим к искомой оценке (4.26).
Упражнение 4.
Сформулируйте условие устойчивости явной трёхслойной схемы
второго порядка аппроксимации во времени и пространстве для задачи
(4.3), (4.4), (4.5).
Решение. В данном случае разностное уравнение примет вид
где разностный оператор А определен согласно (4.14).
Схема записывается в каноническом виде (4.12) при
,
a условия устойчивости (4.13) приводят к следующим ограничениям на шаг
по времени:
.
Принимая во внимание (4.15), получаем
.
Тем самым устойчивость явной схемы обеспечивается при
Упражнение 5.
Покажите, что схема переменных направлений (4.18), (4.19) при
сходится со скоростью О(h2+
).
Решение. Запишем соответствующую задачу для погрешности. По-
ложим, как обычно, и пусть
. Вы-
бор точного решения, с которым связывается
, проведём позднее.
4.2. Практическая часть
77
Задача для погрешности имеет вид
,
.
Для погрешности аппроксимации получим
.
Положим, что
.
В этом случае следует
.
Кроме того, имеем
.
На решениях уравнения (4.6) получим
.
При специальном определении промежуточного решения разност-
ная схема переменных направлений (4.18), (4.19) с
, а = 1,2
имеет второй порядок аппроксимации по времени и по пространству.
Для исследования точности рассмотрим сеточную задачу для по-
грешности. Используя априорную оценку для схемы переменных направлений при точном задании начальных условий, получим
.
Схема переменных направлений сходится со скоростью
в соответствующей норме.
5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
78
5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.1. Теоретическая часть
Наиболее важным классом краевых задач для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений являются задачи для уравнения второго порядка.
Помимо уравнений второго порядка кратко обсуждаются краевые
задачи для модельного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Основное внимание уделяется разностным методам приближенного решения краевых задач.
Основные обозначения
неизвестная функция;
узлы сетки;
шаг равномерной сетки;
множество внутренних узлов;
множество граничных узлов;
H гильбертово пространство сеточных функций;
(.,.) скалярное произведение в Н;
норма в H;
правая разностная производная в
точке х;
левая разностная производная в точке х;
центральная разностная производная в точке х;
вторая разностная производная в точке х.
Основные формулы
В качестве базового уравнения рассматривается обыкновенное диф-
ференциальное уравнение второго порядка
(5.1)
с переменными коэффициентами
.
5.1. Теоретическая часть
79
Для однозначного определения неизвестной функции и(х) уравнение
(5.1) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка [,].
Задаваться может функция u(х) (граничное условие первого рода),
поток
(граничное условие второго рода) или же их ли-
нейная комбинация (граничное условие третьего рода):
(5.2)
,
. (5.3)
,
. (5.4)
Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых яв-
ляется уравнение (5.1), используются при моделировании многих физикомеханических процессов.
В задачах с разрывными коэффициентами (контакт двух сред) фор-
мулируются дополнительные условия. Простейшие из них (условие идеального контакта) для уравнения (5.1) связывается с непрерывностью ре-
шения и потока в точке контакта
:
где использованы обозначения
Отдельного рассмотрения заслуживают задачи с несамосопряжен-
ным оператором, когда, например,
.
(5.5)
Уравнение конвекции-диффузии (5.5) является модельным при ис-
следовании процессов в механике сплошной среды.
При описании деформаций пластин и оболочек, задач гидродина-
мики математические модели включают эллиптические уравнения четвертого порядка. Их рассмотрение необходимо начать с краевой задачи для
обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. Простейшей такой задачей является задача для уравнения
5. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
80
.
(5.6)
В этом случае задаются по два граничных условиях на концах от-
резка. Например, уравнение (5.6) дополняется условиями первого рода:
(5.7)
(5.8)
При формулировке других типов краевых задач для уравнения (5.6)
в граничных точках могут участвовать вторая и третья производные.
При построении вычислительных алгоритмов [8] для приближен-
ного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений основное внимание уделяется вопросам аппроксимации уравнений,
краевых условий и условий сопряжения для задач с разрывными коэффициентами. Проводится исследование точности приближенного решения в
различных нормах, обсуждаются особенности прямых методов решения сеточных уравнений для рассматриваемого класса задач.
Обозначим через равномерную (для простоты) сетку с шагом h на
интервале [0,1]:
Будем использовать безындексные обозначения, когда .
Для левой разностной производной имеем
Тем самым левая разностная производная
аппроксимирует
первую производную
с первым порядком (погрешность аппроксимации
0(h) в каждом внутреннем узле) при
. Аналогично для правой
разностной производной получим
Для трехточечного шаблона (узлы
) можно использовать
центральную разностную производную:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]