Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
1.2. Постановка дифференциальной задачи
11
Начальные распределения давления и удельной внутренней энергии
будем считать одинаковыми для обеих пластин:
Р = Р(m,0), E = Е(т,0)
при
.
Что касается начальных значений эйлеровых координат индивиду-
альных точек, то они совпадают со значениями лагранжевых линейных координат:
х(т,0) = Х(т,0).
Граничные условия таковы. Будем считать, что на наружных свобод-
ных границах заданы поверхностные силы
.
Для принятой модели идеальной жидкости динамические граничные
условия на этих поверхностях сводятся к условиям:
на поверхностях обеих пластин т=0 и
отсутствует давление:
. (1.7)
Граничные условия на обращенных друг к другу поверхностях пла-
стин
зависят от наличия или отсутствия контакта между ними
(в общем случае возможны нарушение контакта в ходе взаимодействия
пластин и переход к их свободному деформированию). О наличии или об
отсутствии контакта можно судить по значениям эйлеровых координат индивидуальных точек обращенных друг к другу поверхностей пластин.
При
контакт отсутствует
.
При
контакт имеется
.
Случаю отсутствия контакта соответствуют динамические гранич-
ные условия на свободных поверхностях
:
,
при
. (1.8)
При наличии контакта между пластинами на поверхности контакта
задаются граничные условия смешанного типа: условие «прилипания» по
скоростям и условие равенства по давлениям, следующее из третьего закона Ньютона
:
,
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
12
при (1.9)
Таким образом, система уравнений (1.1)–(1.6) с приведенными выше
начальными условиями и граничными условиями (1.7)–(1.9) математически описывает процесс соударения двух сжимаемых «жидких» пластин.
1.3. Построение разностной схемы
Перейдем к рассмотрению алгоритма численного решения этой задачи с помощью метода Мейдера. Метод Мейдера является лагранжевым методом сквозного счета с псевдовязкостью и по своим возможностям хорошо
соответствует решаемой задаче. Метод Мейдера позволяет получить численное решение для течений с ударными волнами. Кроме того, для задач с динамическими граничными условиями, в которых могут быть учтены контактные разрывы и границы. Это возможно благодаря особенности данного метода, отличающего его от других, – применению «фиктивных» ячеек и наличию псевдовязкости. Рассмотрим понятие «псевдовязкость».
Псевдовязкость – это искусственный механизм, позволяющий осу-
ществлять сквозной расчет ударных волн без явного выделения их фронтов
на разностной сетке. Разностная схема с псевдовязкостью является однородной. Область фронта – область резкого изменения в распределениях параметров течения (при отсутствии сильных разрывов). Отметим, что следует
различать ширину ударного перехода, обусловленную воздействием псевдовязкости, и реальную ширину фронта ударной волны. В газах и жидкостях
реальная ширина фронта ударной волны составляет несколько длин свободного пробега молекул. Эффективная же ширина «размазываемого» за
счет псевдовязкости фронта определяется, по существу, параметрами сетки
по координате. Псевдовязкость является аддитивной «квазивязкой» добавкой к давлению, т.е. сумма газодинамического давления и псевдовязкости определяет эффективное давление: =p+q. Поэтому модификация схемы с использованием псевдовязкости сводится к изменению конечно-разностных
уравнений движения (1.4) и энергии (1.3), в которых участвует давление
(замена давления р эффективным давлением ), а также непосредственно
к определению сеточной функции псевдовязкости.
Принцип «фиктивной» ячейки состоит в том, что если слева от гра-
ницы ввести еще одну ячейку с массовым интервалом и ассоциировать
1.3. Построение разностной схемы
13
граничное давление с центром этой ячейки, то для расчета скоростей в граничных узлах может быть использован шаблон «крест». Таким образом,
подобным простейшим путем схеме «крест» придается свойство однородности по отношению к расчету динамических граничных условий. Ее использование вызвано тем, что схема «крест» обладает свойством однородности и по
отношению к так называемым контактным разрывам, позволяя проводить их
сквозной расчет без «размазывания» с течением времени.
Под контактным разрывом понимается граница раздела двух сред с
разными физико-механическими характеристиками или двух сред, находящихся в различном состоянии. Например, при соударении двух пластин из различных материалов в каждой из них распространяются ударные волны, а их
фронты являются сильными разрывами. На границе раздела двух пластин
при сохранении непрерывности скорости (
– граничное условие
«прилипания») и давления (
– третий закон Ньютона на границе
раздела взаимодействующих тел) терпят разрыв плотности и
удельной внутренней энергии ( ). Принцип построения дискрет-
ного аналога сплошной среды для схемы Фромма и используемые для аппроксимации шаблоны показаны на рис. 2.
На рис. 2 в плоскости изменения независимых переменных (X, t) по-
казана разностная сетка, вводимая по методу Мейдера на этапе дискретизации по координате и по времени.
Установим следующую индексацию ячеек и узлов сетки по координате.
Присвоим координатный индекс i=2 левой приграничной ячейке пластины 1 (пластины-ударника), оставив координатный индекс i=1 для обозначения примыкающей к этой границе «фиктивной» ячейки. Крайнюю
правую ячейку пластины 1, примыкающую к поверхности соударения, обо-
значим индексом , а крайнюю левую ячейку пластины 2, примыкающую к поверхности соударения индексом . Координатный
индекс присвоим крайней правой приграничной ячейке пластины 2, примыкающей к свободной поверхности, а индекс – соот-
ветствующей «фиктивной» ячейке.
На рис. 2 утрированно показана еще одна «фиктивная» ячейка
. Эта «фиктивная» ячейка размещена между обращенными друг к
другу поверхностями пластин. Предполагается, что она имеет нулевую
толщину по лагранжевой линейной координате. Ее введение необходимо
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
14
для расчета динамических граничных условий (1.8) при нарушении к онтакта между пластинами и для определения момента нарушения контакта.
Индексацию узлов разностной сетки будем также осуществлять с помощью
целых чисел (в отличие от принятой при описании метода Мейдера дробной индексации узлов), что более удобно с точки зрения последующего составления программы численного расчета. Будем полагать, что целочисленный индекс узла равен индексу ячейки, находящейся справа от данного
узла. При такой индексации узлов ячейка i ограничена слева узлом i, a
справа узлом i + 1. Индекс 2 указывает на левый граничный узел пластины 1, индекс М – на ее правый граничный узел Индексы М + 1 и N указывают соответственно на левый и правый граничные узлы пластины 2.
Pиc. 2. Разностная сетка метода Мейдера
Будем считать, что разностная сетка в пределах каждой пластины является
равномерной по лагранжевой линейной координате Х и характеризуется
шагами:
1.3. Построение разностной схемы
15
, (1.10)
которым соответствуют определенные массы ячеек (шаги сетки по лагранжевой массовой координате). С учетом вводимых для расчета динамических граничных условий «фиктивных» ячеек имеем:
лагранжевы линейные координаты всех узлов координатной сетки и их
начальные эйлеровы координаты определятся как:
Получим массы ячеек координатной сетки
01 1
02 2
2 1,
1 1,
0,
i
X при i M
mXпри M i N
при M N
−
= + −
(1.11)
Нетрудно видеть, что при таком задании начальных координат для гра-
ничных узлов выполняются геометрические условия согласно расчетной
схеме, приведенной на рис. 1:
(1.12)
Если рассматривать разностную сетку по времени, то она опреде-
ляется совокупностью целых и полуцелых
.
Получаемая разностная сетка по координате и по времени целых и полуцелых точек представляет собой «шахматную» сетку (см. рис. 2). На та-
кой шахматной разностной сетке эйлеровы координаты
находят в уз-
лах на целых временных слоях; в то время как скорости
опреде-
ляют тоже в узлах, но уже на полуцелых временных слоях. В центрах
ячеек определяют: давление, плотность, удельную внутреннюю энергию
на целых временных слоях; псевдовязкость
– на по-
луцелых временных слоях.
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
16
На рис. 2 приведена применяемая разностная сетка для решаемой за-
дачи соударения двух сжимаемых «жидких» пластин с характерными узлами,
а также используемые шаблоны, на которых аппроксимируются уравнения.
На начальном временном слое (у = 0) и первом (от начального) «фиктивном» полуцелом временном слое, имеющим индекс ½, узлы предназначены для представления на разностной сетке начальных условий.
Начальные значения эйлеровых координат задаются условиями (1.12).
В соответствии с начальными условиями для соударяющихся пластин значения остальных сеточных функций должны задаваться следующим образом:
1
0
2
21
01
i
u при i M
u
при M i N
−
+
=
+
(1.13)
01
0
02
21
11
i
при i M
при M i N
−
=
+ −
Так, в наружных «фиктивных» ячейках и во внутренней «фиктивной» ячейке на каждом временном слое задаются неиз-
менные значения сеточных функций давления и псевдовязкости:
. (1.14)
В сочетании с заданием нулевых масс этих ячеек согласно (1.11) такой прием дает возможность учитывать динамические граничные условия
(1.7) на наружных свободных поверхностях взаимодействующих пластин или
же на обращенных друг к другу свободных поверхностях пластин после их возможного отделения друг от друга.
Помимо того, внутренняя «фиктивная» ячейка позволяет определить
момент выхода взаимодействующих пластин из контакта.
Приведем теперь конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие входящие в систему (1.1)–(1.6) дифференциальные уравнения.
Дифференциальное уравнение (1.1), закона сохранения импульса аппроксимируется на шаблоне, обозначенном на рис. 2 как «u». Соответствующее конечно-разностное уравнение имеет вид
1.3. Построение разностной схемы
17
. (1.15)
Это уравнение позволяет определять значения скоростей
1/2+j
i
u
и
должно решаться для всех узлов сетки . При , ,
именно в этом конечно-разностном уравнении проявля-
ется механизм влияния «фиктивных» ячеек, учитываются динамические граничные условия на наружных свободных поверхностях и прогнозируются значения
скоростей во внутренних граничных узлах пластины 1
и пластины
2
.
В случае отсутствия контакта между пластинами при
(1.16)
значения вычисленных согласно (1.15) скоростей
и
верные.
Верными эти значения являются и тогда, когда контакт имел место на преды-
дущем временном шаге (
), однако распределение давления в
окрестности поверхности контакта таково, что
(пластины
отделяются друг от друга).
Напротив, в случае наличия контакта между пластинами при
и выполнении условия
, предсказанные по (1.15) значе-
ния скоростей в граничных узлах неверны (пластины не могут внедряться
друг в друга). В этом случае должны выполняться граничные условия смешанного типа (1.9) и скорости в граничных узлах определяются из конечно-раз-
ностного уравнения движения, записанного без учета существования внутренних
свободных поверхностей пластин (наличие между пластинами «фиктивной»
ячейки с нулевыми массой и давлением игнорируется):
, (1.17)
.
После определения скоростей
рассчитываются новые значения эй-
леровых координат всех узлов, выделенных на этапе дискретизации инди-
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
18
видуальных точек обеих пластин. Этот расчет ведется по следующему конечно-разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное
уравнение закона изменения, текущих координат (1.4) на «вертикальном» шаблоне «х» (см. рис. 2):
. (1.18)
В свою очередь, новые значения эйлеровых координат узлов
поз-
воляют определить поле плотности
на последующем временном слое.
Расчет плотности в каждой реальной ячейке обеих пластин (2 ≤ i ≤ M – 1 и M +
+1 ≤ i ≤ N – 1) осуществляется с помощью разностного аналога дифференци-
ального уравнения (1.2) закона сохранения массы:
(1.19)
(см. «горизонтальный» шаблон «ρ» на рис. 2). Для используемых моделей
материалов обеих пластин (идеальная баротропная жидкость) новое поле
плотности
позволяет сразу определить и новое поле давления
.
Давление в каждой реальной ячейке вычисляется в соответствии с
уравнением Тэта (1.5):
(1.20)
Цикл определения новых значений параметров движения и состояния завершается вычислением удельной внутренней энергии Е+1 в каждой
реальной ячейке обеих пластин. Удельную внутреннюю энергию находят
по конечно-разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение энергии (1.3) на шаблоне «Е» (см. рис. 2). Это конечноразностное уравнение имеет следующий вид:
(1.21)
1.3. Построение разностной схемы
19
При вычислении удельной внутренней энергии в приграничных ячейках
пластин (i = 2, i = M-1, i = M+1, i = N-1) вновь проявляется механизм влия-
ния «фиктивных» ячеек (в том числе и внутренней «фиктивной» ячейки
i = М) и учитываются динамические граничные условия (1.14). Однако при
наличии контакта между пластинами у них отсутствуют внутренние свободные поверхности. В этом случае (при невыполнении условия (1.16))
удельная внутренняя энергия в примыкающих друг к другу по поверхности контакта ячейках i = M-1, i = M + 1 должна определяться в предположении отсутствия между ними внутренней «фиктивной» ячейки по следующим конечно-разностным формулам:
(1.22)
(1.23)
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
20
Как следует из конечно-разностных уравнений (1.15), (1.17),
(1.21)–(1.23), для вычисления скорости и удельной внутренней энергии
используется еще одна, неопределенная ранее, сеточная функция – функ-
ция псевдовязкости
.
Для ее определения будем использовать комбинированную псевдовязкость. Это удобно при программной реализации алгоритма, так как
легко позволяет путем задания исходных данных – коэффициентов линей-
ной и квадратичной
псевдовязкостей – отдельно вводить в действие
псевдовязкость одного или другого вида. Формула для вычисления комбинированной псевдовязкости имеет следующий вид:
( )
( )
1/2 1/2
1
1/2 1/2
1
1/2
2
1/2 1/2
1
1/2 1/2
1
0 _ 0,
_0
jj
ii
j j j j
Л i i i i
j
i
j j j
K i i i
jj
ii
при u u
p C u u
q
p u u
при u u
−−
+
−−
+
−
−−
+
−−
+
−
− − +
=
+−
−
(1.24)
где
– местная скорость звука, вычисляемая по известной плотности ма-
териала в соответствии с соотношением
по формулам:
(1.25)
Значение местной скорости звука используется также при вычис-
лении шага сетки по времени
. В соответствии с условием устойчи-
вости Куранта допустимый шаг сетки по времени определяется как
1/2
21
min
+
−
=
i
j
jj
iN
ii
Krm
t
pC
, (1.26)
где Kr < 1 – число Куранта.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]