Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
6.1. Задачи для уравнений эллиптического типа
91
6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
6.1. Задачи для уравнений эллиптического типа
Задача 1. Уравнения Пуассона в круговом цилиндре при использо-
вании цилиндрических координат записывается в виде [10]:
Постройте разностную схему для этого уравнения с граничными
условиями первого рода на поверхности цилиндра.
Задача 2. Постройте разностную схему для решения краевой задачи
(3.1), (3.3) с условиями сопряжения при
:
Задача 3. Пусть в прямоугольнике с равномерной сеткой про-
ведено разбиение на треугольники диагоналями от узла (i;j) к узлу (i+1,j+1).
Постройте для задачи (3.2), (3.3) схему конечных элементов с использованием непрерывных, линейных на каждом треугольнике функций.
Задача 4. Рассмотрите аппроксимацию уравнения Пуассона (3.2) с
условиями (3.3) в области с криволинейной границей с использованием неравномерной вблизи границы сетки.
Задача 5. Сформулируйте достаточные условия выполнения прин-
ципа максимума для схемы повышенного порядка аппроксимации для задачи (3.2), (3.3).
Задача 6. На основе принципа максимума проведите исследования ско-
рости сходимости для разностной схемы для уравнения (уравнение Пуассона
в круге)
с граничными условиями
6. Задачи для самостоятельной работы
92
и условиями периодичности
0<r<R,
Задачa 7. Получите оценки снизу и сверху для разностного опера-
тора (см. (3.16))
Ly=
,
определённого на множестве функций у(х)=0, .
Задача 8. Постройте схему повышенного порядка аппроксимации
для задачи Неймана для уравнения Пуассона:
0<x2<l2,
0<x1<l1.
Задача 9. Аппроксимируйте граничные условия третьего рода
,
заданное на части границы прямоугольника (на других участках границы граничные условия первого рода), при численном решении уравне-
ния (3.1).
Задача 10. Постройте разностную схему для приближенного реше-
ния уравнения четвертого порядка
,
в прямоугольнике когда на границе задана сама функция u(x) и её нор-
мальная производная (первая краевая задача).
Задача 11. Рассмотрите аппроксимации на равномерной прямо-
угольной сетке системы уравнений теории упругости (уравнение Ламэ):
.
6.1. Задачи для уравнений эллиптического типа
93
Задача 12. Для решения сеточной задачи
используется треугольный итерационный метод
,
где D – произвольный самосопряжённый оператор, а
,
.
Найдите оптимальное значение итерационного параметра , когда
априорная информация задана в виде
Задача 13. Получите оценки скорости сходимости метода верхней
релаксации при решении сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (3.5), (3.9).
Задача 14. Пусть А разностный оператор, который определен на
Н= и соответствует разностной задаче (3.2)–(3.5). Пусть В диаго-
нальная часть оператора А. Покажите, что для постоянных энергетической
эквивалентности (см. неравенство (3.12) операторов А и В верно равенство
Задача 15. Рассмотрите итерационный метод (3.11) для приближен-
ного решения сеточной эллиптической задачи с переменными коэффици-
ентами (3.4)(3.5), когда в качестве переобуславливателя В берется сеточ-
ный оператор, соответствующий решению разностного уравнения
то есть разностной задачи с постоянными коэффициентами.
Задача 16. Пусть решается сеточная задача
с несамосопряженным положительным оператором
,
,
.
Проводится симметризация следующим образом:
6. Задачи для самостоятельной работы
94
Исследуйте скорость сходимости итерационного метода
k=0,1,…,
когда
т.е. в условиях подчинённости кососимметричной части оператора А.
6.2. Нестационарные краевые задачи
Задача 1. Докажите, что для оператора С=С*>0 при неравен-
ства
эквивалентны.
Задача 2. Покажите, что условие
необходимо и до-
статочно для устойчивости разностной схемы (4.7), (4.8) в
, если
Задача 3. Методом энергетических неравенств докажите оценку
устойчивости по начальным данным и правой части (4.11) для разностной
схемы (4.7), (4.8), когда , а для оператора В справедливо нера-
венство (4.10).
Задача 4. Пусть операторы А и В удовлетворяют условиям
,
где е любое положительное число. Тогда для разностной схемы (4.7),
(4.8) верна априорная оценка
Задача 5. Запишите трехслойную схему (4.12) с самосопряженными
операторами А, В и Е в виде двухслойной векторной схемы.
6.2. Нестационарные краевые задачи
95
с самосопряженным оператором А при определении вектора
Задача 6. Покажите, что условия
,
,
достаточны для -устойчивости трехслойной схемы с самосопряженными
операторами А, В и R.
Задача 7. Пусть А=А*>0, R=R*>0 в разностной схеме (4.12). Дока-
жите, что при
для разностного решения верна априорная оценка
Задача 8. Аппроксимируйте краевые условия третьего рода при чис-
ленном решении задачи Коши для параболического уравнения (4.1).
Задача 9. Постройте монотонную разностную схему второго по-
рядка точности для решения задачи (4.1)–(4.3).
Задача 10. Интегро-интерполяционным методом постройте раз-
ностную схему в случае, когда коэффициент к(х) имеет разрыв первого
рода в точке
и на разрыве имеют место условия сопряжения:
.
Задача 11. На основе принципа максимума сформулируйте условия
устойчивости схемы с весами (4.16), (4.17) при численном решении задачи
(4.1)(4.3).
Задача 12. Докажите, что условие
6. Задачи для самостоятельной работы
96
необходимо и достаточно для устойчивости схемы с весами (4.16), (4.17) с
несамосопряженным оператором А > 0 по начальным данным (
в пространстве
, т.е. для выполнения оценки
Задача 13. Исследуйте погрешность аппроксимации и условия
устойчивости трехслойной разностной схемы с весами
для задачи (4.1)(4.3).
Задача 14. Рассмотрите двухпараметрический класс схем с весами
для уравнения (4.4). Сформулируйте условия устойчивости и получите
оценки устойчивости по начальным данным и правой части.
Задача 15. Исследуйте точность разностной схемы Дугласа Рэк-
форда
,
при расщеплении
для решения задачи (4.6).
Задача 16. Рассмотрите проблему аппроксимации граничных условий при использовании схемы переменных направлений при численном решении задачи Коши для уравнения (4.6) с неоднородными граничными
условиями первого рода.
Задача 17. Рассмотрим двухслойную разностную схему, которая
имеет канонический вид
,
где оператор А имеет аддитивное представление с постоянными операто-
рами
.
6.3. Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
97
Факторизованная схема соответствует выбору оператора В в виде
, где
.
Докажите, что при схема безусловно устойчива и для реше-
ния имеет место априорная оценка
.
Задача 18. Исследуйте точность в локально-одномерной
схемы для задачи
и (4.6) на основе использования представ-
ления для погрешности
.
Задача 19. Получите априорные оценки устойчивости для локально-
одномерной схемы с представлением правой части в виде
в равномерной норме (в ). Исследуйте сходимость в ло-
кально-одномерной схемы
для задачи (4.6).
Задача 20. Для задачи (4.6) рассмотрите аддитивно-усреднённую
локально-одномерную схему
.
Сформулируйте условия устойчивости и получите априорную
оценку с расщеплёнными правыми частями
.
6.3. Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача 1. Рассмотрите возможность сведения краевой задачи (5.1),
(5.4) к решению задач Коши на основе использования представления решения в виде (метод дифференциальной прогонки):
6. Задачи для самостоятельной работы
98
.
Задача 2. Покажите, что на произвольной неравномерной сетке
x
i+1
= xi + h
i+1
разностное уравнение
( ) ( )
1 1 1 1
11
11
2
,
3
3
i i i i i i i
i i i i
i i i
q x f x
x
y y y y y y y
h h h h
x x x
+ − + −
++
+−
− − + +
− − + =
+
++
=
аппроксимирует уравнение
( ) ( )
2
2
u
q x u f x
d
d
x
− + =
cо вторым порядком в неузловой точке x=.
Задача 3. С помощью интегро-интерполяционного метода по-
стройте разностную схему второго порядка аппроксимации на равномерной сетке
| , 0,1,..., ,
i
x x ih i N Nh l
x
= = = = =
для краевой задачи
,
,
.
Задача 4. Для краевой задачи (5.1) с однородными граничными
условиями постройте схему конечных элементов с представлением решения в виде (5.16) на основе минимизации функционала (метод Ритца)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
11
2
00
1
.
2
J v k x q x x dx f x v x dx
du
v
dx
= + −
Задача 5. Для решения задачи (5.1), (5.4) справедливо интегральное
тождество
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
12
0
0 0 0 0,
l
du dv
k x q x uv f x v dx u v u l v l v v l
dx dx
+ − + + − − =
6.3. Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
99
где v=v(х) – произвольная дифференцируемая функция. На основе использования квадратурной формулы трапеций аппроксимируйте интегральное
тождество и постройте разностную схему для приближенного решения краевой задачи (10.1), (5.4) (метод сумматорных тождеств).
Задача 6. При решении краевой задачи
используется разностная схема
( )
0.
x
xx x
kx
yy
k
− − =
Покажите, что эта схема расходится в классе разрывных коэффици-
ентов
Задача 7. Покажите справедливость следующих разностных анало-
гов первой и второй формул Грина
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
0
, ,0
, 1 0 ,0
, ,0 0
,,
,,
,
N N i
x N x
x
N N x N x
x N N x
x
x
w
wy
ay a
yy
y
a w a w
w
a
a
y y y y
y
w a w w a w w
x
x
x
x
x
+
= − + −
− = − − −
на равномерной сетке.
Задача 8. Покажите, что разностное уравнение
11
,
i
i i i
i i i
y y y
a
−−
− + − =
0, 0, 1,2,..., 1,
i
i
iN
a
= −
12
0
,
N
yy
==
можно привести к симметричному виду
( ) ( )
1
11
,
i
ii
i
i i i i i
y y y y y
d
aa
+
+−
− − − − =
i=1,2; N1.
Задача 9. Докажите, что для всякой сеточной функции y(x), задан-
ной на сетке
| , 0,1,..., ,
i
x x ih i N Nh l
x
= = = − =
и обращающейся в нуль при x=0 и x=l, справедливо неравенство (теорема
вложения для сеточных функций)
6. Задачи для самостоятельной работы
100
( )
.
2
l
yx
y
x
+
Задача 10. Найдите собственные функции и собственные значения
разностной задачи
0,
xx
yx
y
+ =
0
0, 0
N
yy
==
Задача 11. Для уравнения (5.1.), в котором
,
рассмотрите краевую задачу с условиями периодичности
.
Постройте разностную схему второго порядка аппроксимации на равномерной сетке и исследуйте ее сходимость на основе принципа максимума.
Задача 12. Для задачи (5.1), (5.2) с разрывными коэффициентами постройте интегро-интерполяционным методом разностную схему (5.10),
(5.14), (5.17) и на основе представления погрешности аппроксимации в
виде (5.20) докажите сходимость разностного решения к точному со вторым порядком.
Задача 13. Покажите, что при решении задачи (5.1), (5.2) на неравномерной сетке x
i + 1
= xi + h
i + 1
с использованием разностной схемы
11
1
11
2
,
1,2,..., 1
i i i i
i i i
i
i
i i i i
iN
y y y y
y
a a c
h h h h
+−
+
++
−−
− − + =
+
=−
приближенное решение сходится к точному со вторым порядком.
Задача 14. Для решения краевой задачи (5.26), (5.27) постройте разностную схему на сетке
и исследуйте ее сходимость.
Задача 15. Покажите, что разностная схема
( )
( )
,,
x
xx
a
y
x
− =
в которой
( )
0 1 1
0, 0,5 , , 1,2,..., , 0,5 ,
ii
h h i N N h l
x x x x
+
= = = + = − =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]