Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
1.4. Расчет параметров процесса
21
Следует отметить, что в схеме Фромма, в отличие от всех, использу-
ется наиболее рациональное уравнение неразрывности, обеспечивающее вычис-
ление плотности
максимально простым путем.
При составлении конечно-разностного уравнения энергии удельную
внутреннюю энергию произвольной ячейки на последующем временном слое
(искомая величина) ассоциируют с удельной кинетической энергией на
ближайшем предшествующем полуцелом временном слое, что является неизбежным следствием определения различных сеточных функций в разнотипных
узлах разностной сетки. Эта величина определяется по скорости
, усредненной на центр данной ячейки и по значениям скоростей
и
в узлах, ограничивающих эту ячейку.
При выражении давлений в этих узлах использована линейная интерполяция на границу ячеек по их центрам (точкам, в которых согласно принципу
дискретизации определены давления), например:
Псевдовязкость в узлах определяется путем простого усреднения по
значениям в двух примыкающих к данному узлу ячейках:
.
Схема Фромма в целом обеспечивает порядок аппроксимации n = 1
за счет использования в конечно-разностном уравнении энергии односторонней разностной производной по времени и с этой точки зрения уступает, например, разностной схеме метода Уилкинса (п = 2). Однако схема
Фромма обладает и весьма существенным достоинством – она является
консервативной разностной схемой.
1.4. Расчет параметров процесса
Уравнения (1.10)–(1.26) представляют собой замкнутую систему алгебраических уравнений – это разностная схема, аппроксимирующая реша-
емую дифференциальную задачу о соударении двух сжимаемых «жидких»
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
22
пластин в рамках метода Мейдера. Очевидно, что решение этой системы уравнений сопряжено с необходимостью использования весьма ограниченного количества типов уравнений: количество типов решаемых алгебраических уравнений,
по существу, определяется количеством уравнений в системе (1.1)–(1.5).
Например, вычисление скорости ut в произвольном узле сетки и в произвольный момент времени проводится по одному и тому же конечно-разностному
уравнению движения (1.15), в котором в зависимости от рассматриваемого
узла или момента времени изменяется лишь координатный индекс или временной индекс.
Ниже приведена расчетная программа в среде Matlab применительно
к задаче о соударении пластин.
[var]=Program_Mader(DELT1,DELT2,M,N,RO1,RO2,AC1,AC2,AN1,
AN2,VO,AKR,TLIM,DTOUT,AKV,AKL)
^Основная программа
%Программа расчета параметров процесса соударения двух сжима-
емых пластин –
% разностная схема Фромма
% Массивы для представления на сетке полей параметров течения:
U – скорость, X – эйлерова координата, Н – масса ячеек (шаг сетки по лагранжевой массовой координате), Р – давление, RO – плотность,
% Е – удельная внутренняя энергия, Q – псевдовязкость, U1 – ско-
рость на последующем временном слое, С – местная скорость звука
% Входные данные:
% DELT1 – толщина первой пластины, DELT2 – толщина второй
пластины
%М – характеризует количество узлов первой пластины, N – харак-
теризует общее количество узлов
%R01 – плотность материала первой пластины
%R02 – плотность материала второй пластины
%АС1 – константа в уравнении Тэта для материала первой пластины
%АС2 – константа в уравнении Тэта для материала второй пластины
%AN1 – показатель степени в уравнении Тэта для материала первой
пластины
%AN2 – показатель степени в уравнении Тэта для материала второй
пластины
1.4. Расчет параметров процесса
23
%V0 – скорость соударения пластин (первая – подвижная, вторая –
покоится)
%AKR – число Куранта
%ТLIM – предельное время расчета
%DTOUT – шаг сетки по времени выдачи информации
%AKV – коэффициент квадратичной псевдовязкости
%AKL – коэффициент линейной псевдовязкости
%Принятая индексация узлов и ячеек разностной сетки по координате.
%Индексация ячеек – целочисленная:
%1 – левая «фиктивная» ячейка первой пластины; 2, ... , М–1 – реальные ячейки первой пластины
%М – «фиктивная» ячейка между первой и второй пластинами;
М+1, ...,
N–1 – реальные ячейки второй пластины
%N – правая «фиктивная» ячейка второй пластины. Индексация узлов
целочисленная – по номеру ячейки, расположенной справа от данного узла:
%2, ... ,М – номера узлов первой пластины (М – граница раздела)
%М+1, ..., N – номера узлов второй пластины (М+1 – граница раздела)
^Определение шагов сетки по лагранжевой линейной координате
(1.10)
DXl=DELTl/(M–2);
DX2=DELT2/(N–M–l);
%Определение шагов сетки по лагранжевой массовой координате
(1.11)
H1=RO1*DX1;
H2=RO2*DX2;
% 3адание начальных условий по эйлеровым координатам (1.12) и
скоростям %(начало координат – в точке соударения пластин, направление – по ходу соударения)
for i=2:M
U(i)=V0;
X(i)= – DELTl + DXl*(i-2) ; end; for i=M+l:N
U(i)=0;
X(i)=DX2*(i–M–1) ; end;
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
24
U(M+l)=V0; X(M)=X(M+1);
% 3адание начальных условий по плотности, давлению, удельной
внутренней
% энергии
for i=2:M–l
RO(i)=ROl;
P(i)=0;
E(i)=0; end;
for i=M+l:N–l
RO(i)=RO2;
P(i)=0;
E(i)=0; end;
%3адание (1.11) масс ячеек лагранжевой координатной сетки (вклю-
чая «фиктивные» ячейки: на левой свободной поверхности ударяющей пластины, на
правой свободной
% поверхности пластины-мишени, в «фиктивной» ячейке между
пластинами – отработка варианта отрыва пластин после соударения)
Н(1)=0;
for i=2:M–l
H(i)=Hl; end; H(M)=0; for i=M+l:N–l
H(i)=H2; end; H(N)=0;
% 3адание граничных условий в «фиктивных» ячейках
Р(1)=0;
Р{М)=0;
P(N)=0;
Q(D=0;
Q(M)=0;
Q(N)=0;
RO(1)=0;
RO(N)=0;
E(l)=0;
^Вычисление начальных значений полных импульса и энергии
[ENTOTO,ENKIN,ENVN]=en(U,Е,Н,2,N–1); AIMTO=aimp(U,H,N);
% 3адание начального времени
Т=0;
NOUT=1;
1.4. Расчет параметров процесса
25
% Начало глобального цикла по времени
for j=l:20000
% Расчет шага сетки по времени по условию устойчивости Куранта
% Искусственное занижение шага сетки по времени на первых шагах расчета
% (облегчение адаптации разностной схимы к условиям соударения)
disp('j=')
disp(j )
disp('T=')
disp(T)
AKOR=1;
if j<=100
AKOR=0.1; end;
% Задание заведомо большого числа в качестве первого приближения шага сетки
по времени DTMIN=10000;
% Определение допустимых шагов сетки по времени для ячеек первой %пластины и выбор минимального шага for i=2:M–l
C(i)=sqrt(AC1*AN1*(RO(i)/R01)л(AN1–1.0)/R01) ;
DT=AKR*AKOR*H1/(RO(i)*C(i));
if DT<=DTMIN DTMIN=DT;
end; end;
% Определение допустимых шагов сетки по времени для ячеек второй %пластины и выбор минимального шага (1.25)–(1.26) for i=M+l:N–l
C(i)=sqrt(AC2*AN2*(RO(i)/R02)л(AN2–1.0)/R02);
DT=AKR*AKOR*H2/(RO(i)*C(i));
if DT<=DTMIN DTMIN=DT;
end;
end;
% Выбор глобального минимального шага сетки по времени и определение
% текущего момента времени
DT=DTMIN;
T=T+DT;
%Определение псевдовязкости для ячеек: обеих пластин (1.24)
for i=2:N–l
Q(i)=0;
if i=M
continue;
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
26
end;
DELTU=U(i+l)–U(i);
if (DELTU>=0) continue;
end;
Q(i)=AKV*RO(i)*DELTUA2-AKL*RO(i)*C(i)*DELTU; end;
% Определение новых значений скоростей во всех узлах (включая граничные
%наружные и внутренние – в предположении отсутствия контакта между
%пластинами) (1.15) for i=2:N
Ul(i)=U(i) –DT*(P(i)+Q(i) –P(i–1) –Q(i–1))/(0.5*(H(i)+H(i–1))); end;
% Уточнение значений скоростей в узлах на границе раздела пластин при % нали-
чии контакта
% Условие отсутствия контакта (1.16)
if not(or((Х(М)<Х(М+1)),(Ul(M)<U1(M+l))))
Ul(M)=U(M)–DT*(P(M+1)+Q(M+1)–P(M–1)–Q(M–1))/(0.5*(H(M+
+ 1)+H(M–1))); end;
Определение нового поля удельной внутренней энергии %Запоминание
% предшествующих значений удельной внутренней энергии в гра-
ничных ячейках на обращенных друг к другу поверхностях пластин
ЕММ1=Е(М–1); ЕМР1=Е(М+1);
% Определение (1.21) удельной внутренней энергии во всех реаль-
ных %ячейках обеих пластин – в предположении отсутствия контакта for
i=2:N–l
if i==M
continue;
end;
PRIGHT=(P(i)*H(i+l)+P(i+l)*H(i))/( H(i + 1)+H (i));
PLEFT =(P(i–l)*H(i)+P(i)*H(i–l))/(H(i–l)+H(i));
QRIGHT =0.5*(Q(i)+Q(i+1));
QLEFT =0.5*(Q(i)+Q(i–1));
DPUDM=(U(i + 1)*(PRIGHT + QRIGHT)-U(i)*(PLEFT+QLEFT) )/H (i) ;
UDKPR=0.5*((U(i+1)+U(i))/2.0)A2;
UDKPS=0.5*((Ul(i+l)+Ul(i))/2.0)A2;
E(i)= –DT*DPUDM+E(i)+UDKPR–UDKPS ; end;
% Уточнение значений удельной внутренней энергии в узлах на гра-
нице %раздела пластин при наличии контакта
% Проверка выполнения условия (1.16) при отсутствии контакта
1.4. Расчет параметров процесса
27
if not(or((Х(М)<Х(М+1)),(Ul(M)<U1(M+l))))
%При внутренней энергии в левой контактной ячейке (примыкающая
к поверхности контакта ячейка первой пластины)
PRIGHT=(P(M–1)*Н(М наличии контакта:
% Расчет (1.22) удельной +1)+Р(М+1)*Н(М–1))/(Н(М+1)+Н(М–1));
PLEFT=(P(M–2)*Н(М–1)+Р(М–1)*Н(М–2))/(Н(М–1)+Н(М–2));
QRIGHT =0.5*(Q(M–1)+Q(M+1)); QLEFT =0.5*(Q(M–l)+Q(M–2));
DPUDM=(U(M)*(PRIGHT+QRIGHT)-U(M–l)*(PLEFT+QLEFT))/
/ H(M–l); UDKPR=0.5*((U(M)+U(M–1))/2.0)Л2;
UDKPS=0.5*((Ul(M)+U1(M–l))/2.0)Л2;
E(M–l)= –DT*DPUDM+EMMl+UDKPR –UDKPS;
% Расчет (1.23) удельной внутренней энергии в правой контактной
ячейке % (примыкающая к поверхности контакта ячейка второй пластины)
PLEFT=PRIGHT;
PRIGHT=(Р(М+1)*Н(М+2)+Р(М+2)*Н(М+1))/(Н(+2));
QLEFT=QRIGHT;
QRIGHT=0.5*(Q(M+l)+Q(M+2));
DPUDM=(U(М+2)*(PRIGHT+QRIGHT)U(М+1)*(PLEFT+QLEFT))/H(М+1);
UDKPR=0.5*((U(M+l)+U(M+2))/2.0)Л2;
UDKPS=0.5*((Ul(M+D+Ul(M+2))/2.0'Л2;
E(M+1)= –DT*DPUDM+EMP1+UDKPR–UDKPS; end;
% Определение (1.18) новых координат
for i=2:N
X(i)=X(i)+DT*Ul(i); end;
%Уточнение координат в случае появления контакта после его отсутствия:
if X(M)>=Х(М+1)
ХСР=0.5*(Х(М)+Х(М+1));
Х(М)=ХСР;
Х(М+1)=ХСР; end;
%Определение (1.19) нового поля плотности для всех реальных
ячеек
for i=2:N–l
if i~=M
RO(i)=H(i)/(X(i + l) –X(i)) ;
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
28
end; end;
% Переприсвоение массивов скоростей (последующий временной слой по %
скоростям становится текущим) for i=2:N
U(i)=Ul(i); end;
% Определение (1.20) нового поля давления for i=2:M–l
Р(i)=АС1*((RO(i)/RO1)"AN1–1.0); end;
for i=M+l:N–l
P(i)=AC2*((RO(i)/RO2)лАЫ2–1.0); end;
% Вычисления параметров движения и состояния на последующем
временном %слое завершены
% Вычисление кинетической, внутренней и полной энергий обеих пластин, а %
также полной энергии системы двух пластин
[ENTOT1,ENKIN1,ENVN1]=en(U,Е,Н,2, М–Г) ;
[ENTOT2,ENKIN2,ENVN2]=en(U,Е,Н,М+1,N–1);
ENTOT=ENTOT1+ENTOT2;
% Вычисление полного импульса системы
AIMT=aimp(U,H,N);
%Вычисление дисбалансных составляющих по энергии и по им-
пульсу
%DISBEN=(ENTOT–ENTOT0)/ENTOT0*100 . 0;
%DISBIM=(AIMT–AIMT0)/AIMT0*100.0;
^Вычисление доли кинетической энергии первой пластины в полной энергии
%системы
%ENKIN=ENKINl/ENTOT0*100.0;
%Вычисление доли внутренней энергии первой пластины в полной
энергии
%системы
%ENVN1=ENVN1/ENTOTO*100.О;
^Вычисление доли кинетической энергии второй пластины в полной
энергии
%системы
%ENVN2=ENVN2/ENTOT0*100.0;
%Формирование массива, характеризующего изменение во времени
%энергетического баланса системы двух пластин
%BALT(NOUT)=Т;
1.4. Расчет параметров процесса
29
%BALK2(NOUT)=ENKIN2;
%BALV2(NOUT)=ENKIN2+ENVN2;
% BALV1(NOUT)=ENKIN2+ENVN2+ENVN1;
% BALK1(NOUT)=ENKIN2+ENVN2+ENVN1+ENKIN1;
if mod(j,250)=0
figure;
plot(Ul);^прорисовка распределения скорости end;
%Отсчет счетчика моментов выдачи информации NOUT=NOUT+1;
% Проверка на выполнение критерия остановки расчета по времени
%При невыполнении условия остановки расчета – переход к расчету
%очередного шага сетки по времени
if T>=TLIM
% конец
% print result
break; end; end; var=Ul;
Результаты представлены в виде построенных для различных моментов времени от t = 0,2 мкс до t = 1,5 мкс распределений массовой скорости и по лагранжевой координате (т.е. в узлах лагранжевой координатной сетки).
На каждую пластину задано по 100 ячеек (рис.3).
Рис. 3. Результаты расчета параметров для двух одинаковых пластин толщиной
= 0,5 мм со скоростью и0 = 400 м/с (t = 0,2 мкс)
На рис. 3 видно, что в момент времени t = 0,2 мкс после соударения
в обеих пластинах распространяются стационарные ударные волны, при
1. Разностный метод расчета задачи соударения гибких пластин
30
этом фронты ударных волн «размазываются» на несколько ячеек сетки
по координате за счет псевдовязкости.
На фронтах ударных волн значения массовой скорости материа-
лов пластин скачкообразно изменяются, увеличиваясь в пластине 2 (пластина-мишень) и уменьшаясь в ударяющей пластине 1 (пластина-ударник).
Так же скачкообразно на фронтах обеих ударных волн изменяется и давление (рис.4).
Рис. 4. Результаты расчета параметров для двух одинаковых пластин толщиной
= 0,5 мм со скоростью и0 = 400 м/с (t = 0,8 мкс)
К моменту времени t =0,8 мкс фронты ударных волн приблизились
к наружным свободным поверхностям пластин. Как следует из рисунка
для этого момента времени, скорости распространения фронтов ударных
волн в материалах обеих пластин одинаковы, что и должно выполняться
в случае одинаковых соударяющихся материалов. В момент времени, несколько больший t = 1,0 мкс, происходит отражение ударных волн от свободных поверхностей (рис.5).
Как известно из физики взрыва, при отражении ударной волны от
свободной поверхности формируется центрированная волна разрежения, в
которой происходит уменьшение плотности и давления, и соответственно
изменяется скорость движения индивидуальных частиц сплошной среды.
Это явление хорошо фиксируется в момент времени t = 1,5 мкс, когда
наклонные участки распределений скорости и давления как раз и соответствуют волнам разрежения в обеих пластинах.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]