Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
Варианты контрольных работ
61
Найти значение средней скорости дневной циркуляции по замкну-
тому контуру спустя t=4 после начала развития.
Вариант 2
Вблизи береговой линии (суша-море) бароклинная область распространилась на расстояние по 44 км от берега в горизонтальной плоскости.
Циркуляция распространилась в слое от уровня p1=1005гПа до уровня
p2=940 гПа по вертикали. Среднее значение градиента температуры равно
0,78K /10 км. Среднее значение температуры принять равной 280 K.
Найти значение средней скорости дневной циркуляции по замкнутому контуру спустя t=3 после начала развития.
Вариант 3
Вблизи береговой линии (суша-море) бароклинная область распространилась на расстояние по 20км от берега в горизонтальной плоскости.
Циркуляция распространилась в слое от уровня p1=1015гПа до уровня
p2=945гПа по вертикали. Среднее значение градиента температуры равно
0, 85K /10км. Среднее значение температуры принять равной 285 K.
Найти значение средней скорости дневной циркуляции по замкнутому контуру спустя t=3,5 после начала развития.
Вариант 4
Вблизи береговой линии (суша-море) бароклинная область распространилась на расстояние по 35км от берега в горизонтальной плоскости.
Циркуляция распространилась в слое от уровня p1=1010 гПа до уровня
p2=955 гПа по вертикали. Среднее значение градиента температуры равно
0, 83K /10 км. Среднее значение температуры принять равной 288 K.
Найти значение средней скорости дневной циркуляции по замкнутому контуру спустя t=3 после начала развития.
3. Краевые задачи для эллиптических уравнений
62
3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Приведены примеры аппроксимации эллиптического уравнения вто-
рого порядка, обсуждаются вопросы итерационного решения сеточных эллиптических задач и исследуются свойства разностной задачи [6].
3.1. Теоретическая часть
Рассмотрим уравнение
(3.1)
где
Частным случаем данного уравнения является следующее уравнение
Пуассона:
(3.2)
Для уравнения (3.1) рассматриваем граничные условия первого рода:
(3.3)
При численной реализации в области
вводится сетка
где и физическая за-
дача аппроксимируется следующей разностной:
(3.4)
Для граничных узлов
используем аппроксимацию
(3.5)
Перепишем уравнение (3.4) в виде
(3.6)
где линейный оператор S определяется формулой:
(3.7)
Здесь – окрестность узла х.
3.1. Теоретическая часть
63
Пусть коэффициенты уравнения удовлетворяют следующим усло-
виям:
(3.8)
В частности, если , а правая часть
,
Для приближенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуас-
сона воспользуемся уравнением
(3.9)
дополнив его граничными условиями (3.5).
Для разностной задачи запишем систему линейных уравнений:
(3.10)
В качестве приближенного решения уравнения (3.10) с
будем использовать двухслойный итерационный метод:
(3.11)
Априорная информация об операторах А и В задана в вид двухсто-
роннего операторного равенства:
(3.12)
При применении попеременно-треугольного метода используется
разложение:
, и оператор B задается в виде:
(3.13)
где
При априорной информации
(3.14)
оптимальным является выбор параметра
причем для числа
итераций верна оценка
. (3.15)
3. Краевые задачи для эллиптических уравнений
64
3.2. Практическая часть
Исходная дифференциальная задача при аппроксимации заменяется
сеточной [9]. Соответствующие разностные (сеточные) уравнения – есть система алгебраических уравнений для неизвестных значений сеточной функции. Для их нахождения используются методы линейной алгебры, которые
максимально учитывают специфику сеточных задач. Особенности сеточных
задач проявляются в том, что соответствующая матрица системы алгебраических уравнений является разреженной, т.е. содержит много нулевых элементов, имеет ленточную структуру. При решении многомерных задач матрица имеет очень большой порядок, равный общему числу узлов сетки.
Упражнение 1.
Постройте схему повышенного порядка аппроксимации для реше-
ния задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Решение. Для разностного оператора второй производной по от-
дельному направлению имеем
и поэтому
.
На решениях уравнения (3.2) получим
,
.
И тем самым
.
Используем для смешанной производной аппроксимацию
и приходим к разностному уравнению
3.2. Практическая часть
65
,
. (3.16)
Схема (3.5), (3.16) аппроксимирует краевую задачу (3.2), (3.3) с чет-
вертым порядком.
Упражнение 2.
Рассмотрите аппроксимацию эллиптического уравнения второго по-
рядка со смешанными производными
,
в котором
Решение. Рассмотрим разностную схему
,
,
в которой
,
;
.
При имеем
Формула Тейлора даёт нам
.
Подстановкой
, получаем
Аналогичные выкладки приводят к следующему выражению:
3. Краевые задачи для эллиптических уравнений
66
и поэтому
Тем самым рассматриваемая разностная схема имеет второй порядок
аппроксимации.
Упражнение 3.
Покажите, что для решения задачи (3.6) при D(x)>0 x,
.
Решение. Рассмотрим сеточную функцию (мажоранту) , кото-
рая определяется как решение задачи
,
,
где ,.
Пусть 0 принимает максимальное значение в некотором узле
. В этом узле в силу (3.7), (3.8) имеем
.
Отсюда следует, что
)
.
И тем самым
.
Но функция является мажорантой для рассматриваемой задачи, и по-
этому мы приходим к доказываемому утверждению.
Упражнение 4.
Пусть расчетная область G лежит в прямоугольнике , в котором
введена сетка . Граница G состоит из отрезков, соединяющих узлы этой
сетки. Получите оценки снизу и сверху для разностного оператора Лапласа
в области G, для функций, обращающихся в нуль на .
Решение. Подмножество узлов, лежащих в G, обозначим и
рассмотрим разностный оператор
на множестве сеточных функций
3.2. Практическая часть
67
,
.
Доопределим функцию y, положим
()
()
0
yx
yx
=
В силу такого продолжения сеточной функции при использовании
обозначений
получим
,
.
Для сеточной функции, заданной в , имеет место
,
где
,
.
Аналогичная оценка
имеет место и для разностного оператора в области G.
Упражнение 5.
Рассмотрите попеременно-треугольный метод для итерационного
решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (3.9).
Решение. Разностный оператор Лапласа представляется в виде
,
,
где
,
.
Будем использовать вариант попеременно-треугольного метода, ко-
гда (см. (3.13))
.
Оптимальное значение параметра имеет вид
3. Краевые задачи для эллиптических уравнений
68
,
где в соответствии с (3.14)
,
, A1A
2
Здесь есть минимальное собственное значение оператора Лапласа,
которое равно
принимая во внимание, что
получим
12y,y)=
т.е.
.
Подстановка в (3.15) даёт оценку
При решении задачи в единичном квадрате на квадратной сетке
h1=h2=h.
Упражнение 6.
Пусть в итерационном методе (3.11)
,
,
а оператор В представлен в факторизованном виде
.
Найдите оптимальное значение параметра .
3.2. Практическая часть
69
Решение. Скорость сходимости определяется постоянными
в
неравенстве (3.12). Поэтому сначала найдем их и выберем из условия максимума отношения
.
В силу перестановочности операторов А
a
, = 1,2 имеем
.
И поэтому
.
Пусть
.
Тогда
Следовательно,
и максимум
достигается при
.
Рассматриваемый вариант соответствует использованию метода пе-
ременных направлений в сеточной эллиптической задаче с разделяющимися переменными.
4. Нестационарные задачи математической физики
70
4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4.1. Теоретическая часть
В качестве модельного уравнения выберем уравнение [7]:
(4.1)
в прямоугольнике
Оно дополняется граничными условиями:
(4.2)
и начальными условиями
(4.3)
Среди других нестационарных краевых задач выделим гиперболиче-
ское уравнение второго порядка. В одномерном случае ищется решение
уравнения
, (4.4)
Для однозначного определения решения этого уравнения вместе с
граничными условиями (4.2) задаются два начальных условия:
(4.5)
Особое внимание уделяется решению двумерного уравнения тепло-
проводности:
(4.6)
Рассмотрим задачу Коши для операторно-разностного уравнения
(4.7)
(4.8)
Пусть разностная схема (4.7), (4.8) устойчива в
по начальным
данным, т.е. имеет место оценка
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]