Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение численных методов для построения разностных моделей. Учебное пособие
.pdf
2.2. Построение сеточной модели
41
2.2.7. Разностная схема для вычисления функции концентрации ионов
Второе уравнение исходной системы (2.2) отличается от первого
знаком перед вторым слагаемым. Здесь функция u(z, t) обозначает вторую
неизвестную функцию
2
( , )n z t
:
(2.31)
Для численного решения уравнения выберем следующее сеточное
уравнение:
(2.32)
Или
+
(2.33)
2.2.8. Разностная модель исследуемой задачи в матричной форме
После того как построили разностные схемы всех уравнений, входящих в систему (2.1)–(2.5), и эквивалентные им трехточечные уравнения, запишем систему в матричном виде, удобном для проведения численных расчетов:
(2.34)
(2.35)
(2.36)
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
42
Начальные условия (j=0) примут вид
(2.37)
Граничные условия (i=0, i=N1):
(2.38)
Здесь оператор
имеет следующий вид:
где
– коэффициенты на главной диагонали;
– коэффициенты, стоя-
щие под главной диагональю;
– коэффициенты, стоящие над главной
диагональю.
Коэффициенты соответственно равны:
Векторы правой части матричного уравнения
имеют вид:
2.3. Основные положения теории и примеры решения задач
43
Аналогично выписываем коэффициенты матрицы для уравнения (2.35):
Векторы столбцы правой части
имеют вид:
.
Построили разностную модель (2.34)–(2.38) системы дифференциальных уравнений (2.1)–(2.5). Системы (2.34) и (2.35) решаются методом
прогонки, после чего вычисляется значение выражений (2.36).
2.3. Основные положения теории и примеры решения задач
Пограничным (приземным) слоем атмосферы называют такую область, в которой термические и динамические процессы определяются
большей частью турбулентностью. Турбулентность является причиной
вертикального обмена количеством движения (импульсом), тепла, паром и
т.п. в этом слое атмосферы. Вдоль вертикальной составляющей данная область начинается от подстилающей поверхности и заканчивается высотой
в несколько сотен метров (до 2 км). Процесс вертикального обмена количеством движения, возникающим из-за вертикального градиента скорости
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
44
и турбулентности, является источником возникновения силы трения (на
подстилающей поверхности – поверхностную силу трения) (касательного
напряжения или напряжения турбулентного трения), которой нет в свободной атмосфере. В силу природы формирования такой силы она называется
силой турбулентного трения. Сила барического градиента
, сила Корио-
лиса
сила турбулентного трения
участвуют в формировании ско-
рости V и ускорений ветра в пограничном слое.
В общей векторной форме уравнение движения ветра в горизонталь-
ной плоскости пограничного слоя имеет вид
.
Если ускорение отсутствует, т.е.
, то выполняется баланс
силбарического градиента
, силы Кориолиса
силы турбулентного
трения
:
.
Это соответствует условию установившегося движения.
Запишем баланс сил в проекциях на координатную плоскость xOy,
используя известные выражения для
через параметры потока воз-
духа:
Данная система дифференциальных уравнений описывает распределение скорости ветра по оси z в пограничном слое атмосферы для горизонтально-однородных установившихся условий.
Используем условие геострофического баланса сил
:
для преобразования системы дифференциальных уравнений.
2.3. Основные положения теории и примеры решения задач
45
Получим
Используем следующие допущения:
1. горизонтальный градиент давления не меняется с высотой. Именно
он определяет величину геострофического ветра;
2. коэффициент турбулентности считаем не зависящим от высоты,
т.е. k(z) =
= const.
При данных допущениях записанную систему уравнений можно решить и получить аналитическое выражение. Если ввести систему координат,
в которой вектор геострофического ветра направлен вдоль оси ox, то решение для компонент скорости u(z) и v(z) в северном полушарии имеет вид
где
,
Проанализируем полученное выражение. В горизонтальной плоскости зависимость вектора скорости ветра от высоты можно охарактеризовать спиралью Экмана. Данной кривой принадлежат концы вектора скорости ветра, если их спроектировать на горизонтальную плоскость с различных уровней.
Рассмотрим «интегральную» модель для пограничного слоя, которая
состоит из гипотезы замыкания Монина–Обухова, записанной в интегральной форме, и уравнения баланса энергии турбулентности. Среднее значение коэффициента турбулентности k зависит от способа задания условий
стратификации и может быть найдено по одной из формул:
2
0
2
2
2
1
(1 ) (5)
2
1
(6)
(1 )
g
zp
zg
g
z
z
V
gP
km
Tc
v
V
km
mg
Tz
=+
=
+
В данных формулах приняты следующие обозначения:
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
46
g
V
– модуль вектора скорости геострофического ветра;
0
P
– турбулентный поток тепла;
()
aa
TT
z T z z
= + +
– вертикальный градиент потенциальной
температуры;
a
=0,98 K /100 м – сухоадиабатический градиент;
T – средняя температура воздуха (в градусах Кельвина);
m = 10-5 – постоянный коэффициент.
Согласно определению Экмана, высотой пограничного слоя атмосферы считается такой уровень высоты, на котором направление вектора
скорости будет совпадать по направлению с вектором геострофического
ветра. Данное условие для направления векторов ветра означает, что проекция вектора скорости v на ось oy равна нулю, что равносильно равенству
нулю следующего выражения:
.
Отсюда следует, что
или
aH
=
.
Таким образом, значение верхней границы (высоты) пограничного
слоя, согласно условию Экмана, определяется выражением
Величина скорости на высоте z = H будет равна проекции вектора
скорости на ось ox. То есть
.
Отсюда следует, что значение расчётной скорости на высоте H превышает величину геострофического ветра.
Задача 1. Для установившегося, горизонтально-однородного движе-
ния определить [5]:
2.3. Основные положения теории и примеры решения задач
47
а) при нейтральной стратификации коэффициент турбулентности,
высоту пограничного слоя (значение z, где направление ветра совпадает с
геострофическим), если величина геострофического ветра равна 8 м/с;
б) скорость, а также направление ветра при высоте, равной h=300,
600, 900 м соответственно;
в) действующие силы (их величину и направление) при тех же значениях высот.
Широту места считать равной
.
Решение
Определим среднее значение коэффициента турбулентности:
а) так как, согласно условию, стратификация нейтральная, то
P
0
=0 и
.
Следовательно:
.
б) расчет составляющих вектора скорости u и v на высоте 300 м:
Тогда угол между направлением ветра V(z) на заданной высоте и
направлением геострофического ветра (или осью ох) определяется из отно-
шения:
.
Напомним, что положительные значения углов отражают отсчёт
угла от направления оси ox против часовой стрелки. Кроме того, в соответствии со знаками проекций следует правильно определить угловую четверть, в которой расположен данный вектор, что и определит реальное значение угла. В данном примере обе проекции вектора скорости положительные, что соответствует первой угловой четверти;
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
48
в) учтем, что движение в пограничном слое определяется уравне-
нием баланса трех сил, которые действуют на массу воздуха для единичного объёма (ускорение отсутствует). Перечислим эти силы.
1. Сила барического градиента
.
Вектор направлен в сторону уменьшения давления перпендикулярно
изобарам, абсолютная величина этой силы может быть записана, учитывая
геострофические соотношения как
.
2. Сила Кориолиса
.
Вектор этой силы направлен под углом 90 в правую сторону по от-
ношению к вектору скорости (в северном полушарии).
3. Сила турбулентной вязкости
находится из уравнения баланса
трёх сил
.
Выражая его, получим, что вектор силы трения противоположен по
направлению сумме векторов сил барического градиента и Кориолиса, т.е.
.
Так как вектор имеет только х-ю и у-ю составляющие, то его длина
определяется выражением
,
где
и
.
При фиксированном значении геострофического ветра и заданном
(по высоте) распределении u(z) и v(z) величины компонент вектора силы
трения
равны
и .
Таким образом, с учетом приведенных выше соотношений, получим
2.3. Основные положения теории и примеры решения задач
49
,
.
В этой задаче проекции
отрицательны, это соответствует тре-
тьей четверти. Таким образом, полный угол отклонения вектора
с учетом
вышеприведенных рассуждений и равенства составляет
.
Рассчитаем высоту пограничного слоя
.
Подводя итоги, имеем следующие вычисленные значения:
,
,
.
Суточный ход метеорологических элементов
Суточный ход метеоэлементов вызван колебаниями интенсивности
энергии космических лучей, которая поступает на поверхность Земли. Температура активного слоя почвы изменяется пропорционально полученной
дозе солнечной радиации. Благодаря турбулентному теплообмену с воздухом подстилающей поверхности, а также молекулярному обмену с более
глубоким слоем почвы, волна тепла распространяется вверх и вниз от поверхности. Будем использовать для расчёта параметров суточного хода метеоэлементов в пограничном слое атмосферы физико-математическую модель, в которой приняты следующие упрощения: а) коэффициенты турбулентности для переноса тепла воздуха и почвы по вертикали считаем постоянными, т.е. k=const, а = const; б) учитывается только одна гармоника
при аппроксимации отклонения величины суточного хода для ради-
ационного баланса от его среднесуточного значения R, т.е.
2. Разностный метод расчета задачи электрического состояния…
50
С учетом данных упрощений зависимость температуры воздуха в те-
чение суток от высоты z может быть описана с помощью выражения
,
где R и T – средние значения для радиационного баланса и температуры;
– амплитуда радиационного баланса; – угловая скорость вращения
Земли;
– удельная теплоемкость воздуха; L – теплота испарения воды;
0
r
– относительная влажность воздуха вблизи поверхности почвы;
– зна-
чение массовой доли водяного пара для насыщения; – плотность воздуха;
– объемная теплоемкость почвы; t – время, отсчёт которого принима-
ется от момента местного астрономического полудня.
Перейдем с помощью формул приведения от функции sin к функции
cos для удобства анализа решения задачи, а также сравнения суточного изменения температуры с задаваемой функцией суточного хода радиационного баланса.
Тогда получим следующее выражение:
.
Таким образом из записанных формул следует, что отклонение тем-
пературы воздуха от среднего значения представляется в виде гар-
монической функции, т.е. колебательного процесса
или
.
Здесь
()
T
Az
– амплитуда колебаний является функцией высоты z:
Из формулы для амплитуды температуры воздуха следует, что она
затухает с увеличением высоты. Скорость затухания обратно пропорциональна величине
. То есть чем больше значение коэффициента турбу-
лентности, тем меньше амплитуда.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]