Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.И. ИКРЯННИКОВ, Э.Б. ШВАРЦ

ПРЕДЕЛЫ

УДК 517.2(076.5) И 425

Икрянников В.И.

И 425 Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциаль-

ное исчисление : учеб. пособие / В.И. Икрянников, Э.Б. Щварц. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. – 86 с.

для студентов заочного отделения ............................................................. 5

Пределы. Дифференциальное исчисление»............................................... 7

Обозначения ................................................................................................. 9

Часть 1. Пределы ........................................................................................ 11

1. Предел числовой последовательности .............................................. 11

2. Предел функции .................................................................................. 16

2.1. Основные теоремы о пределах. Непрерывность функции ....... 19

3. Методы вычисления пределов ........................................................... 20

3.2.1. Алгебраические функции .................................................. 25

3.2.2. Тригонометрические функции.

Первый замечательный предел ......................................... 29

3.3. Неопределенность вида

предел. .......................................................................................... 32

3.4. Метод эквивалентных замен ....................................................... 34

Второй замечательный

2.2. Вычисление производной сложных функций ........................... 47

2.3. Вычисление производных высших порядков. ........................... 53

3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя ................... 57

4. Исследование функций ...................................................................... 60

4.1. Полное исследование и построение графика функции ............ 65

5. Дифференциальное исчисление функции многих переменных ..... 71

5.1. Определение функции многих переменных .............................. 71

5.2. Частные производные .................................................................. 73

5.3. Дифференцирование сложных функций .................................... 76

Приложение. Важнейшие сведения из элементарной математики ....... 80

Р.В. Хемминг

Авторы задались целью выпустить серию пособий по практиче-

скому освоению методов решения задач. Мы хотим помочь студенту заочного отделения войти в красивый мир высшей математики, яв­ляющейся наряду с физикой фундаментом, на котором стоят все тех­нические, инженерные дисциплины.

При обсуждении структуры пособий было решено включить в каж-

дый раздел, кроме основной части – методов решения задач, еще и теоретический материал: основные определения, формулировки важ­нейших теорем, правила и формулы (без их вывода). Теоретическая часть набрана более мелким шрифтом. Это позволяет сосредоточиться на главном, упрощает поиск необходимого справочного материала. Разбор подробно решенных примеров помогает понимать и при жела­нии и настойчивости осваивать методы и приемы решения задач по­добного типа. Этому также способствует наличие упражнений для са­мостоятельного решения, которые помещены в конце каждого раздела. (Известно, что ничего так не помогает в изучении математики, как са­мостоятельное решение задач, чем больше, тем лучше.) Наиболее важ­ный справочный материал из других разделов математики помещен в приложениях. Такая структура пособий делает их «замкнутыми». При необходимости не требуется отвлекаться и делать усилия на поиск подзабытого материала в других книгах: достаточно перелистнуть лишь несколько страниц данного пособия. И еще. Несмотря на абст­рактность математических понятий, авторы постарались поместить как можно больше иллюстративного материала, который поможет лучше усвоить трудные разделы.

приложение к исследованию функций и построению графиков. В пер­вую очередь, необходимо в совершенстве освоить технику вычисления производных от любых, сколь угодно сложных функций. Это является основой решения задач всех последующих разделов высшей математи­ки. Большую помощь в овладении навыков нахождения производных даѐт использование метода диаграмм сложных функций, разработан­ного авторами пособия специально для этих целей и впервые описан­ного в данном пособии. Диаграмма сложной функции – это последова­тельность простых функций, для которых известны производные

В этой же части приводится введение в дифференциальное ис-

числение функции многих переменных. Авторы не ставили целью глубокое изучение студентами этого достаточно сложного раздела математического анализа. Главная задача студентов – понять, что представляет собой функция многих переменных, ее коренное отли­чие от функции одной переменной, освоить технику вычисления частных производных и полного дифференциала функции. Все это потребуется при изучении дальнейших разделов математического анализа.