Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие
.pdf
11
|| xa
( 0)
( ) :| |
U a x x a
0 | | xa
.
( ) ( )\{ }
U a U a a
( , ) aa
( , ) ( , ) a a a a
n
x
nN
n
x
n
x
1
nN
N
lim
n
n
xa
3
3
( 1)
lim 1
n
n
n
n
0
N
ЧАСТЬ 1. ПРЕДЕЛЫ
1. Предел числовой последовательности
1. Совокупность чисел x, удовлетворяющих неравенству
, называется – окрестностью числа a. Обозначается
. Проколотой – окрестностью числа a называ-
ется совокупность чисел x, удовлетворяющих неравенству
и обозначается
числа a – это точки интервала
числа a – это точки объединения интервалов
2. Числовой последовательностью
ная на множестве всех натуральных чисел
возрастания натуральных чисел. Число
вательности, а индекс n – номером n-го члена последовательности.
3. Число a называется пределом числовой последовательностью
если в любой – окрестности числа a находятся все члены последовательности, начиная с номера
от . Вне этой – окрестности может находиться лишь конечное число чле-
нов последовательности. При этом последовательность называется сходящей-
ся. Обозначение:
.
П р и м е р 1. Доказать, что
. На числовой прямой – окрестность
; проколотая – окрестность
.
называется функция, определен-
и расположенная в порядке
называется n-ым членом последо-
, где
– натуральное число, зависящее
.
Р е ш е н и е. Учитывая определение 1 – окрестности числа и оп-
ределение 3 предела последовательности, требуется показать, что какое бы число
мы не взяли, найдется такое натуральное число
,
,
,
12
что все члены последовательности с номерами
nN
3
3
( 1)
1
n
n
n
3
3
( 1)
1
n
n
n
3
( 1)
n
n
3
1
n
3
1
n
3
1
n
N
3
1
nN
3
3
( 1)
1
n
n
n
nN
3
3
( 1)
lim 1
n
n
n
n
N
0,5
0,05
0,005
0,0005
5*10–5
5*10–6
N
1 2 5
12
27
58
3
3
( 1)
n
n
n
(0,5; 1,5)
0,5
1n
1
nN
0,05
неравенству
.
удовлетворяют
Решим это неравенство относительно n:
целая часть числа
Пусть
. Таким образом, неравенство
–
выполняется для любых членов последовательности
с номерами
. Это означает, что выполняются условия определе-
ния 3 предела числовой последовательности, т. е. действительно
. В табл. 1 приведены расчеты числа
в зависимо-
сти от величины – окрестности единицы.
Т а б ли ц а 1
Рис. 1, возможно, поможет понять, что такое предел. На нем показано
размещение членов последовательности
на числовой оси в за-
висимости от величины – окрестности единицы. На рис. 1а показан интервал
сти с номером
последовательности с номерами
цы. На рис. 1б
, т. е.
. Видно, что только один член последовательно-
находится вне этого интервала: все члены
лежат в – окрестности едини-
. Вне – окрестности единицы, т. е. за пределами
13
интервала
(0,95;1,05)
1, 2n
13
N
3
3
( 1)
n
n
n
1
1,5
n= 23
9
10
0,5
1 1, 50
n=
=0,5
0, 59
=0,05
4
5
1 1, 500
n=
0, 599
=0,005
87 11 12
...
...
...
а)
б)
в)
3
6
1
n=
=5*10
60
59
.........
г)
63
-6
1-5*10
-6
1+5*10
-6
72
...
73
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
... ...
рами
ся внутри этой окрестности. Аналогичная ситуация наблюдается на осталь-
ных рисунках. Можно было бы продолжать и далее уменьшать интервал
(увеличивая масштаб рисунков). При этом для всех рисунков справедливо
общее их свойство: каждый последующий рисунок подобен предыдущему:
сначала мы видим отдельные точки последовательности, но с увеличением
номера n эти точки настолько концентрируются вокруг единицы, что на
рисунке сливаются в сплошной отрезок. Эта картина будет повторяться при
любой степени увеличения масштаба. Ни одна другая точка числовой оси,
; остальные члены, начиная с номера
, находятся лишь члены последовательности с номе-
, размещают-
отличная от единицы, для последовательности
таким свойством.
4. Числовая последовательность, у которой все члены равны между со-
бой и равны некоторому числу a, называется стационарной числовой по-
следовательностью. Из определения предела следует, что такая последо-
вательность всегда сходится, причем число a является ее пределом.
не обладает
Рис. 1
14
В дальнейшем нам потребуется следующий
lim 1 1
k
p
n
A
n
kN
0p
AR
0A
lim 1 lim1 1
k
p
nn
A
n
1
0A
0
11
k
p
A
n
11
k
p
A
n
11
k
p
A
n
11
k
p
A
n
11
k
p
A
n
11
k
p
A
n
так как 1 1 0
k
1
11
p
k
n
A
11
p
k
A
n
N
11
p
k
A
11
k
p
A
n
nN
lim 1 1
k
p
n
A
n
0A
||
1 1 1
kk
pp
AA
nn
||
11
k
p
A
n
||
11
k
p
A
n
||
11
k
p
A
n
||
11
k
p
A
n
так как
1 1 0
k
П р и м е р 2. Доказать, что
Р е ш е н и е. 1) При
ционарной последовательности
2) Пусть
. Выбираем произвольное число
, то из неравенства
Если принять за
целую часть числа
будет выполняться при всех
.
,
следует
,
,
, как предел ста-
. Так как
, то неравенство
и, следовательно,
.
.
по определению предела числовой последовательности
.
3) Пусть
. Тогда
следует
и из неравенства
15
||
11
p
k
A
n
||
11
p
k
A
n
N
||
11
p
k
A
11
k
p
A
n
nN
lim 1 1
k
p
n
A
n
lim 1 1
k
p
n
A
n
AR
lim 1 1
k
n
n
n
lim 0
n
n
x
n
x
n
y
0M
M
N
MnN
||nyM
lim
n
n
y
p
n
0p
0nx
n
n
x
1/nx
1/ 0
1/ 0
lim 0
n
n
q
| | 1q
0q
0q
||
n
q
lg| | lgnq
. Приняв за
целую часть
числа
выполняться при всех
образом, мы доказали, что
З а м е ч а н и е. Можно доказать и более общий случай:
где
бесконечно малой.
если для любого
всех членов последовательности с номерами
ство
большая последовательность при
ность
следовательность
символьной записью:
ния не арифметическое действие, а предельный переход.
– бесконечно малая последовательность (см. п. 5).
5. Если
6. Числовая последовательность
Т е о р е м а 1. Если
является бесконечно большой тогда и только тогда, когда по-
З а м е ч а н и е. Для запоминания этого свойства иногда пользуются такой
, получим, что неравенство
и, следовательно,
, то числовая последовательность
существует такое натуральное число
. Обозначение:
для всех натуральных
является бесконечно малой.
и
при любых
называется бесконечно большой,
выполняется неравен-
. Например,
.
, то последователь-
, понимая под операцией деле-
.
называется
, что для
, бесконечно
будет
. Таким
,
П р и м е р 3. Доказать, что
Р е ш е н и е. При
сходящуюся к нулю. Пусть
, если
.
имеем стационарную последовательность,
. Из
следует
16
| | 1q
,
lg | | 0q
lg
lg| |
n
q
N
lg
lg| |q
nN
lim 0
n
n
q
n
q
| | 1q
lim
n
n
xa
lim
n
n
yb
lim
nn
n
x y a b
lim
nn
n
x y a b
lim / /
nn
n
x y a b
0
n
yn
0b
()fx
()fx
lim ( )
xa
f x A
1
A
()fx
0
lim ( )
xa
fx
( 0)fa
1
A
0
( , ) xa
1
A
2
A
()fx
0
lim ( )
xa
fx
( 0)fa
2
A
0
( , ) x a a
. Взяв в качестве
целую часть
числа
ми
З а м е ч а н и е. Из теоремы 1 следует, что последовательность
, заключаем, что все члены последовательности с номера-
находятся в – окрестности точки нуль, т. е.
.
при
является бесконечно большой.
Т е о р е м а 2. Если
а)
б)
в)
;
;
при условии, что
,
, то:
и
.
2. Предел функции
7. Пусть функция
числа a. Число A называется пределом функции
любой – окрестности числа A существует проколотая – окрестность
числа a такая, что для всех x из этой – окрестности соответствующие
значения функции будут находиться в – окрестности числа A. Обозначе-
ние:
. На рис. 2 приведена иллюстрация понятия предела функ-
ции и графически показано как можно находить – окрестность числа a по
заданной – окрестности числа A.
8. Число
называется пределом слева функции
значается
определена в некоторой проколотой окрестности
в точке a, если для
в точке a и обо-
или
, если для любой – окрестности числа
существует число
щие значения функции будут находиться в – окрестности числа
Число
ется
существует число
такое, что для всех
называется пределом справа функции
или
, если для любой – окрестности числа
такое, что для всех
соответствую-
(рис. 3).
в точке a и обознача-
соответствующие
17
значения функции будут находиться в – окрестности числа
2
A
1
A
2
A
()fx
00
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x f x f x A
a+
a
-
+
x
y
A
A
A
a-
0
a
-
+
x
y
A
A
A
a-
0
1
1
1
a+a
-
+
x
y
A
A
A
0
2
2
2
()fx
x
0
()M
() xM
lim ( )
x
f x A
Числа
носторонних пределов следует, что существование предела функции
точке a эквивалентно выполнению равенств
и
называются односторонними пределами. Из определений од-
(рис. 4).
в
Рис. 2 Рис. 3
Рис. 4
9. Число A называется пределом функции
любого
стности числа A (рис. 5). Обозначение:
существует положительное число
соответствующие значения функции будут находиться в – окре-
при
такое, что для всех
.
, если для
18
x
y
0
-M( )
-
A
A
-
x
y
M( )
0
A
A
x
y
M( )
0
-M( )
-
A
A
a
x
y
M
a-0a+
-M
()fx
x
0
()M
()xM
lim ( )
x
f x A
()fx
x
0
()M
| | ( )xM
lim ( )
x
f x A
lim ( ) 0
xa
x
() x
xa
xa
()fx
xa
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7 Рис. 8
бого
ности числа A (рис. 6). Обозначение:
бого
рестности числа A (рис. 7). Обозначение:
при
числа a, называется бесконечно большой при
Число A называется пределом функции
существует положительное число
соответствующие значения функции будут находиться в – окрест-
Число A называется пределом функции
существует положительное число
соответствующие значения функции будут находиться в – ок-
10. Если
(или бесконечно малая в точке
11. Функция
, то функция
, определенная в некоторой проколотой окрестности
при
такое, что для всех
.
при
такое, что для всех
.
называется бесконечно малой
).
(или бесконечно боль-
, если для лю-
, если для лю-
19
шой в точке
xa
0M
| ( )|f x M
lim ( )
xa
fx
( ) 0x
() x
xa
1/ ( ) x
xa
()fx
()gx
lim ( )
xa
f x A
lim ( )
xa
g x B
lim ( ) ( )
xa
f x g x A B
lim ( ) ( )
xa
f x g x A B
lim ( ) / ( ) /
xa
f x g x A B
0B
lim ( ) lim ( )
x a x a
Cf x C f x
C
()fx
lim ( ) ( )
xa
f x f a
lim ( ) ( )
xa
f x f a
lim ( )
xa
fx
(lim ) ( )
xa
f x f a
()fx
()gx
( ) ( )f x g x
( ) ( )f x g x
( ) / ( )f x g x
( ) 0ga
a
()z f y
0
y
()y g x
0
x
00
()y g x
0
x
( ( ))f g x
0
x
рестность числа a такая, что для всех x из этой – окрестности соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству
Обозначение:
), если для любого
.
существует проколотая – ок-
(рис. 8).
2.1. Основные теоремы о пределах
Непрерывность функции
Т е о р е м а 3. Пусть существует окрестность числа a, в которой
функция
тогда и только тогда, когда функция
но большой при
Т е о р е м а 4. Если функции
пределы в точке a, причем
. Функция
.
является бесконечно малой при
является бесконеч-
и
имеют конечные
,
, то
а)
в)
12. Функция
зывается непрерывной в точке a, если
З а м е ч а н и е. Равенство
в точке a, то символ предела можно вносить под знак функции. Эта операция
служит основой методов вычисления пределов функции.
Т е о р е м а 5. Если функции
то функции
рывны в точке
Т е о р е м а 6. Если функция
функция
которой окрестности точки
эта функция непрерывна в точке
Из этих теорем следует непрерывность всех элементарных функций в их
области определения.
, определенная в некоторой окрестности точки a, на-
.
непрерывна в точке
; б)
при условии, что
, где
,
– постоянный множитель.
может быть записано так:
, которое означает, что если функция непрерывна
и
,
определена сложная функция
.
непрерывны в точке a,
непрерывна в точке
, причем
;
. В частности,
.
(
, то в не-
) непре-
, а
, и
20
3. Методы вычисления пределов
n
x
42
4
5 3 6 1
lim
23
n
n n n
nn
4
2 3 4
2 3 4
4
3
3
3 6 1
3 6 1
5
5
lim lim
3
3
2
2
nn
n
n n n
n n n
n
n
n
lim 0
p
n
C
n
2 3 4 2 3
3 6 1 3 6
lim 5 lim5 lim lim
n n n n
n n n n n
4
1
lim lim5
nn
n
lim5 5
n
5
2 3 4
3 6 1
lim 5 5
n
n n n
3
3
lim 2 lim2
nn
n
3
3
lim 2
n
n
42
4
5 3 6 1 5
lim
2
23
n
n n n
nn
3.1. Случай
П р и м е р 4. Вычислить
.
Р е ш е н и е. При вычислении этого предела мы не можем непосредственно воспользоваться теоремой 2, так как и в числителе, и в
знаменателе находятся бесконечно большие последовательности. Здесь
возникает так называемая неопределенность вида
. От операций с
бесконечно большими последовательностями перейдем к операциям с
бесконечно малыми последовательностями, используя теорему 1. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе старшие степени:
.
Так как по теореме 1
для любого постоянного чис-
ла C, а по теореме 2 предел суммы сходящихся последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей, то
. Но
, как предел стационарной последовательности
му
. Аналогично,
. Так как предел отношения сходящихся последовательно-
стей равен отношению их пределов, то получаем окончательный
Ответ:
.
. Поэто-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]