Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

51

 



учитывая, что y зависит от : ( ),

получаем в скобке сложную функцию;

'

ln

см. также производная неявно заданной функции, пример 13

x

x y x

y

 

1'

ln ( ) '

()

x

y

y x y

   

1 1 1

ln( 7) 5ln( 6) ln( 4) ln( 1) '

3 4 2

x x x x



       

 

1 1 1 1 1 1 1

5

3 7 6 4 4 2 1x x x x

       

   

' 1 1 1 1 1 1 1

5

3 7 6 4 4 2 1

y

y x x x x

       

   



         

  



   





  

5

3

4

так как

1 1 1 1 1 1 1

'5

7 ( 6)

3 7 6 4 4 2 1

41

yy

xx

x x x x

y

xx

5

3

4

7 ( 6) 1 1 1 1 1 1 1

5

3 7 6 4 4 2 1

41

xx

x x x x

xx

  



       



   

  



5

3

4

7 ( 6) 1 1 1 1 1 1 1

'5

3 7 6 4 4 2 1

41

xx

y

x x x x

xx

  



       



   

  



1

lntgyx

' 1/sin2yx

2

3

1

arctg arctg

3

y x x

4

6

11x

y

x







3

2

sin sin

x

yx

 

22

2sin cos sin sin cos

'

sin

x x x x x x

y

x





.

В правой части:

. Получаем равенство:

Ответ:

Упражнения

Вычислить производные следующих функций.

Ответы

. Отсюда, находим

.

52

4

2

1

ctg lnsin

2

y x x

3

' ctgyx

5

2

arctg tgyx

44

sin2

'

sin cos

x

y

xx





6

12

arcctg

1

x

yx

x





 

5

2

12

'

1

x

yx



7

sinsinsinyx ' cos cossin cossinsiny x x x  

8

22

sincos cossiny x x

' sin2 coscos2y x x  

9

 

sinln coslny x x x

' 2sinlnyx

10

 

2

ln 1 sin

2sin arctgsin

yx

xx

  



' 2cos arctgsiny x x  

11





2

ln 1

xx

y e e  

2

' / 1

xx

y e e

12

23

lnln lnyx

3

6

'

ln lnln

y

x x x





13

 

22

arccos sin cosy x x

 

22

2

2 cos sin

'

sin2

x x x

y

x





14

2

3

12

2

1

2arcsin

2

x

y x x

x



   



2

'

12

x

y

xx





15





2

arctg 1y x x  

 

2

1

'

21yx

16





24

ln cos 1 cosy x x  

4

sin2

'

1 cos

x

yx



17

sin cos

arctg

sin cos

xx

y

xx







'1y 

53

18

 

arcsin sin cosy x x

sin cos

sin2

xx

y

x





19

x

yx

 

1/ 2

' 1 ln

x

y x x





20

 

ln

x

yx

'y 

 

1

22

ln 1

ln

2ln ln lnln

x

x x x x x

x





   

2.3. Вычисление производных высших порядков.

()fx

( , )ab

'( )fx

0

( , )x a b

()fx

0

x

0

"( )fx

2

dy

dx

2

sin2y x x

 

2

'

' sin2y x x

таблицa 2; правило III

2

2 sin2 2 cos2x x x x

 

2

'

'' 2 sin2 2 cos2y x x x x  

 

2

'

2 sin2 2 cos2 2sin2 4 cos2 4 cos2x x x x x x x x x     

2

4 sin2xx

   

22

''

'' sin2 2 sin2 4 cos2 2 sin2y x x x x x x x   

Производные параметрически заданных функций

и функций заданных неявно

7. Пусть функция

. Тогда на

дифференцируема в точке

второй производной или производной второго порядка функции

ке

и обозначается

третьего и последующего порядков.

имеет производную во всех точках интервала

определена новая функция

, то ее производная называется

или

. Аналогично, вводятся производные

. Если функция

П р и м е р 10. Вычислить вторую производную функции

.

Р е ш е н и е. Вычисляем первую производную:

. От полученной

функции находим еще раз производную:

.

Ответ:

.

в точ-

54

П р и м е р 11. Показать, что функция

 

cosln sinln

n

y x x x

22

" (1 2 ) ' (1 ) 0x y n xy n y    

'y

 

1

sinln cosln

' cosln sinln

nn

xx

y nx x x x

x







  

 

 

21

sinln cosln

" ( 1) cosln sinln 2

nn

xx

y n n x x x nx

x







    

 

2

cosln sinln cosln sinln

n

x x x x

x

   





 

   

( 1) cosln sinln 2 cosln sinln 2cosln

n

x n n x x n x x x



     



   

(1 2 ) cosln sinln (1 2 ) cosln sinlnn n x x n x x      

 

2

(1 ) cosln sinlnn x x



  



 

cosln sinln

n

y x x x

()x x t

()y y t

00

[ , ]tt  

()x x t

[ , ]ab

00

( ), ( )a x t b x t     

()t t x

()x x t

0

'( )xt

0

'( )yt

0

'( ) 0xt 

( ) ( ( ))y y t y t x

00

()x x t

( ( ))y y t x

()x x t

()y y t

удовлетворяет уравнению

.

Р е ш е н и е. Данная функция будет удовлетворять уравнению, если при подстановке ее в уравнение последнее обратится в верное равенство. Чтобы осуществить подстановку необходимо, прежде всего, вычислить

и "y. Находим:

,

.

Подставляя в уравнение, получим:

. После простых алгебраических преобра-

зований приходим к тому, что выражение в квадратных скобках равно нулю. В результате этого получаем верное равенство. Следовательно, функция

является решением данного уравнения.

8. Пусть

резке

на. Тогда на отрезке

ция

монотонная. Пусть также существуют

Тогда сложная функция

нениями

, обратная к функции

. Функцию

,

, причем функция

,

– функции, определннные на некотором от-

, где

. По правилу дифференцирования сложной

непрерывна и строго монотон-

, определена функ-

, непрерывная и строго

и

дифференцируема по x в точке

называют параметрически заданной урав-

, причем

.

55

функции имеем

' ' '

x t x

dy

y y t

dx



''

1/

xt

tx

'

,

'

( ).

t

x

t

y

dy

y

dx

x

x x t

 



 









()x x t

'

( ) ( )

x

z t y t

' '

t

z

dz dx

x



 

2

'

''

,

'

( ).

x

t

xx

t

y

dy

y

dx

x

x x t

 





  





cosxt

sinyt

0 | |t  

'

sin

t

xt

'

cos

t

yt

cos

'

ctg

sin

x

t

yt

t

   

 

2

'

1

'

ctg '

sin

x

t

yt

t

  

3

1

''

sin

xx

yt

()y y x

( , ) 0F x y 

' '( )y y x

( , ( )) 0

d

F x y xdx

( , ( ))F x y x

x

, где согласно правилу дифференцирования

обратной функции, мула

Рассмотрим теперь функции ции выполняются все выше сформулированные условия, то из формулы (1) най-

дем

или

. Следовательно, справедлива следующая фор-

, (1)

и

(2)

. Если для этой функ-

П р и м е р 12. Вычислить вторую производную функции, заданной параметрически уравнениями

,

.

Р е ш е н и е. Вычисляем производные первого порядка:

,

и по формуле (1) находим

9. Если дифференцируемая функция , то производная

найдена из уравнения

как сложная функция переменной

. Из формулы (2) находим

задана неявно уравнением

этой неявной функции может быть

, где

.

. Далее

.

рассматривается

56

П р и м е р 13. Вычислить вторую производную функции, задан-

22

1xy

11x  

0y 

 

2

( , ( )) ( ) 1 0F x y x x y x   

x

22

1xy

()y y x

2 2 ' 0x yy

x

yy

x

 

'' / 'y x y

22

' ' 'x y xy y xy

yy



   

2

/

''

y x y

y





22

1xy

3

'' 1 /yy

1

2

x

ye





 

2

'' 2 2 1

x

y e x





2

 

sinln coslny x x x

2

' sinlnyx

x



3

sin ,

1 cos

x t t

yt



 





 

4

1

''

4sin / 2

xx

yt

4

cos ,

sin

t

x e t

y e t











 

3

''

2cos / 4

t

xx

e

y

t







5

22

1x xy y  

22xy

y

xy







,

 

3

6

''2y

xy





6

2 2 arctg( / )yx

x y e

xy

y

xy







,

 

22

3

2''xy

y

xy







ной неявно уравнением

,

.

Р е ш е н и е. Здесь

ференцировать по Получим

ходим

. Далее, дифференцируем по

равенство

. Решая это уравнение относительно 'y, на-

во еще раз:

вую производную, получим:

внимание, что

, приходим к ответу:

, помня, что

полученное равенст-

. Будем диф-

. Подставив пер-

. Принимая во

Упражнения

Вычислить производные второго порядка следующих функций. Ответы

.

57

3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя

( ) / ( )f x g x

xa

f

0 0

  

()fx

()gx

( , )ab, '( ) 0gx

( , )x a b

0

lim ( ) 0

xa

fx

0

lim ( ) 0

xa

gx

0

'( )

lim

'( )

xa

fx

A

gx





0

()

lim

()

xa

fx

gx



00

( ) '( )

lim lim

( ) '( )

x a x a

f x f x

g x g x

   



0xa

xa

a  

a  

lim ( ) lim ( )

xx

f x g x

 



'( ) 0gx

x 

'( )

lim

'( )

x

fx

A

gx





()

lim

()

x

fx

A

gx





()

lim

()

x

fx

gx





'( )

lim

'( )

x

fx

gx







 





()fx

()gx

x 

'( ) 0gx

x 

lim ( )

x

fx





lim ( )

x

gx





'( )

lim

'( )

x

fx

A

gx





0

()

lim

()

xa

fx

gx



При вычислении предела отношения

когда функции

и g одновременно являются либо бесконечно малыми,

при

в случае,

либо бесконечно большими, иногда удобно применить так называемое «правило Лопиталя», позволяющее заменять предел отношения функций пределом отношения их производных.

10. Неопределенность вида

Т е о р е м а 2. Пусть функции

интервале

существует (конечный или бесконечный)

ствует

, равный A, т.е.

.

и

;

дифференцируемы на

,

. Тогда суще-

. (3)

З а м е ч а н и е. Сформулированная теорема остается в силе и при

и

), если

ет

. Она остается в силе и для случая, когда

0,

; и в этом случае

при

, т.е.

(или

и существу-

;

11. Неопределенность вида

Т е о р е м а 3. Пусть функции

, причем

ществует конечный

ный A, т.е.

.

при

и

;

. Тогда существует

дифференцируемы при

,

; су-

, рав-

58

( ) '( )

lim lim

( ) '( )

xx

f x f x

g x g x

 



. (4)

xa

0xa, 0xa

a

ln

lim

a

x



0a 



 





1

ln (ln )' 1 / 1

lim lim lim lim 0

( )'

a a a a

x x x x

x x x

x x ax ax



   

   

ln

lim 0

a

x





2

1/

4

0

lim

x

e

x





0 0

  

2

1/tx

0x 

t  

   

2

1/ 2

4

0

'

lim lim lim lim 2

'

x

tt

x t t t

t

e t t

x e e

e



    



   

     

   



   

 

 

   

снова применяем

( )' 1

2 lim 2 lim 0

'

правило Лопиталя

t

tt

t

e

2

1/

4

0

lim 0

||

x

e

x







З а м е ч а н и е. Сформулированная теорема остается в силе и при

(

П р и м е р 14. Вычислить предел

Р е ш е н и е. Данный предел имеет неопределенность

), где

– конечное число.

,

.

. При-

меняем формулу (4):

Ответ:

П р и м е р 15. Вычислить предел

Р е ш е н и е. Пример имеет неопределенность

.

. Можно при-

менять правило Лопиталя (формула (1)). Однако вычисление упростится, если перед этим произведем замену:

,

. В результате получим следующую цепочку вычислений:

.

Ответ:

.

Этот пример интересен тем, что показывает возможность примене-

ния правила Лопиталя несколько раз. Кроме того, при вычислении пределов важно уметь сочетать различные методы. Это значительно облегчает решение задачи.

.

59

П р и м е р 16. Вычислить предел

0

lim lnxxx



 

0

ln

1/ ln

x

xxx

ln

1/

x

xxx

0 0

  



 





00

0

lim ln lim

1/ ln 0

xx

x

xx

x

 



  

 

 

0

'

lim

'

1/ ln

x



 

2

00

lim lim ln 0

1/ ln

xx

x

xx

x

  

      

0

lim lnxxx

 

2

0 0 0

(ln )' 1

lim lim lim 0

'

1/

x x x

xx

x

xx

x

  

     

0

lim ln 0

x

xx

 

0

1/(1 )

1

lim

x





 

1



1/(1 )

1

lim

x







ln

1

lim

x

e







ln1x

x

.

Р е ш е н и е. Здесь возникает неопределенность вида

. Не-

посредственно применять правило Лопиталя нельзя. Необходимо преобразовать функцию так, чтобы получилась требуемая неопределен-

ность. Возможны два варианта преобразования: либо

либо

, а во втором –

. В первом случае будет неопределѐнность вида

(проверьте). В обоих случаях можно при-

менять правило Лопиталя. Какой вариант выбрать? Если пойдем по

первому варианту, то получим

. Неопределен-

ность не устранилась. Более того, функция сделалась более сложной, чем исходная. Испытаем второй вариант:

. Мы получили

Ответ:

.

,

Возникшая ситуация (перебор различных вариантов) – типичная

для неопределенностей вида

П р и м е р 17. Вычислить предел

Р е ш е н и е. Здесь возникает неопределенность вида

разуем функцию, добиваясь нужной неопределенности:

. В показателе имеем теперь функцию

.

. Преоб-

, которая при

60

1x 

приводит к неопределенности вида

0 0

  

1

ln

lim

1

x







11

(ln )' 1

lim lim 1

(1 )'

xx

x

xx



    



1

ln ln

lim

1

11

1

lim

x

xx

x

e e e











 

0

 

0



Ответ

1

2

tg3

lim

tg

x





1 3

2

0

tg

lim

sin

x

xx





2

3

2

4

tg 1

lim

2sin 1

x







1 3

4

0

lnsin

lim

lnsin

x

ax bx



1

5

 

2

1

lim 1 tg

2

x







4



6

 

10

lim ln ln 1

x

xx





0

7

0

1

lim ln

x

xx

 



1

8

1 ln

0

lim

k

x





k

e

0

lim ( )

xx

fx





0

lim ( )

xx

fx





0

xx

()y f x

y kx b

()y f x

x  

 

lim ( ) ( ) 0

x

f x kx b



  

. Поэтому

и

.

Таким же методом раскрываются неопределѐнности вида

.

Упражнения

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

4. Исследование функций

Исследование функции базируются на следующих основных положениях

теории.

12. Асимптоты. Если выполнено хотя бы одно из условий

,

, то прямую

называют вертикаль-

и

ной асимптотой графика функции

асимптоту необходимо искать в тех точках, в которых функция определена или на границах области определения функции.

Прямую

при

. Следовательно, вертикальную

не

называют наклонной асимптотой графика функции

, если

. В частности, если