Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие
.pdf
31
П р и м е р 16. Вычислить
2
0
1 cos
lim
/2
x
x
x
2
1 cos 2sin
2
x
x
2
0
1 cos
lim
/2
x
x
x
2
2
0
2sin ( / 2)
lim
/2
x
x
x
2
0
sin( / 2)
lim 1
/2
x
x
x
2
0
1 cos
lim 1
/2
x
x
x
sin7
lim
tg3
x
x
x
0x
xt
0 xt
sin7 sin(7 7 ) sin7 x t t
tg3 tg(3 3 )xt
tg3t
0
sin7 sin7 7
lim lim см. пример 15
tg3 tg3 3
xt
xt
xt
sin7 7
lim
tg3 3
x
x
x
1
lim(1 )tg
2
x
x
x
0
1tx
10xt
tg
2
x
1
tg ctg
2 2 2 tg / 2
tt
t
1
lim(1 )tg
2
x
x
x
0
lim
tg
2
t
t
t
0
2 / 2 2
используем (2) lim
tg
2
t
t
t
2
.
Р е ш е н и е. Так как
, то
.
Ответ:
П р и м е р 17. Вычислить
.
.
Р е ш е н и е. Обратим внимание, что пределы в этом примере и в
примере 15 вычисляются в разных точках. Воспользоваться первым
замечательным пределом можно лишь тогда, когда
го добиться, введем замену переменной:
,
,
. Поэтому
Ответ:
П р и м е р 18. Вычислить
.
.
Р е ш е н и е. Здесь возникает неопределенность
. Чтобы это-
. Тогда
.
. Вводим
замену переменной:
. Тогда
. Поэтому
. Ответ:
и
.
32
Упражнения
3
0
tg sin
lim
sin
x
xx
x
1
2
0
lim ctg 3
x
xx
1
3
/2
tg3
lim
tg
x
x
x
1
3
0
1 cos
lim
sin
x
x
xx
1
4
0
arcsin3
lim
22
x
x
x
62
2
cos5 cos3
lim
sin
x
xx
x
1
1
1
lim 1
x
x
e
x
e
2,718281e
1/
0
lim 1
x
x
xe
()
1
lim 1
()
fx
xa
e
fx
Вычислить пределы
Ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8
3.3. Неопределенность вида
Второй замечательный предел
Неопределенности вида
замечательного предела
16. Второй замечательный предел
.
раскрываются с помощью второго
, (4)
где
обозначает иррациональное число;
С л е д с т в и е. Справедливы следующие соотношения
.
; (5)
, (6)
33
где
()fx
xa
1/ ( )
lim 1 ( )
x
xa
xe
() x
xa
5
lim
3
x
x
x
x
1
преобразуем к
5 5 2
1 1 1
функции вида (6)
3 3 2
x
xx
xx
x x x
2
2
2
2
1
1
( 2) / 2
x
x
x
x
2
()
2
x
fx
2
2
1
lim 1
( 2) / 2
x
x
e
x
2
lim 2
2
x
x
x
2
lim
2
2
5
lim
3
x
x
x
x
x
x
ee
x
1/
2
0
1
lim
1
x
x
x
x
1
1/
1/
22
11
11
11
x
x
xx
xx
1/
2
1
1
1
x
x
x
x
1
2
2
11
1
1
2
преобразуем к
1
1
функции вида (7)
1
x
x
x
xx
x
x
x
– бесконечно большая функция при
;
, (7)
где
– бесконечно малая функция при
П р и м е р 19. Вычислить
Р е ш е н и е. Неопределенность вида
.
.
. Преобразуем функцию:
. Используя (6) с функцией
находим
. Так как
и показа-
тельная функция является непрерывной, то по теореме 6 о непрерыв-
ности сложной функции получим:
П р и м е р 20. Вычислить
Р е ш е н и е. Неопределенность вида
.
. Преобразуем функцию,
.
,
как в предыдущем примере:
.
34
Из (7) при
2
1
()
1
x
xx
x
2
11
1
2
0
1
lim 1
1
x
xx
x
x
xe
x
2
0
1
lim 1
1
x
x
x
2
0
1
lim
1
x
x
x
e
x
5
23
lim
21
x
x
x
x
2
2
3 2 1
lim
31
x
x
xx
x
1
2
2
3
2
0
2
lim
2
x
x
x
x
5 x
e
2/ 3
e
2/ 3
e
a
()fx, ()gx
()hx
( ) ( ) ( )f x g x h x
lim ( ) 1
xa
hx
()fx
()gx
xa
( ) ( )f x g x
xa
( ) ( )
xa
f x g x
()fx
()gx
xa
( ) ( )
lim lim 1
( ) ( )
x a x a
f x g x
g x f x
0x
sin ~xx
arctg ~xx
ln(1 ) ~ xx
1~xex
2
1 cos ~ / 2 xx
(1 ) 1 ~
a
x ax
arcsin ~xx
tg ~xx
следует, что
и,
так как
Ответ:
, получим
.
Упражнения
Вычислить пределы
1.
Ответы: 1.
; 2.
; 2.
; 3.
.
3.4. Метод эквивалентных замен
17. Если в некоторой проколотой окрестности точки
ции
функции
чаются
Т е о р е м а 8. Функции
той окрестности точки a, эквивалентны при
гда, когда
и
и
такие, что
называются эквивалентными при
при
или
и
, не имеющие нулей в проколо-
; 3.
определены функ-
,
и обозна-
.
тогда и только то-
.
, то
Эквивалентные функции при
.
Т а б л и ц а 2
35
З а м е ч а н и е. Таблица 2 легко обобщается на случай, если арг умент
x
0x sin2 ~ 2xx
ln
1 1 ln
x x a
a e x a
xa
1
( ) ( )f x f x
1
( ) ( )g x g x
1
1
()
()
fx
gx
xa
()
()
fx
gx
xa
1
1
()
()
lim lim
( ) ( )
x a x a
fx
fx
g x g x
3
2
0
1 1 (arcsin3 sin2 )
lim
ln(1 )
x
x x x
x
3
11x
0
1/3
(1 ) 1 ~ / 3
x
xx
0
arcsin3 ~ 3
x
xx
0
sin2 ~ 2
x
xx
0
22
ln(1 ) ~
x
xx
3
22
00
1 1 (arcsin3 sin2 )
применяем
32
lim lim
теорему 9
3
ln(1 )
xx
x x x
x x x
xx
2
2
0
55
lim
3
3
x
x
x
3
2
0
1 1 (arcsin3 sin2 )
5
lim
3
ln(1 )
x
x x x
x
0x
xa
0a
3
/4
2 2 (cos sin )
lim
1 sin2
x
xx
x
заменить на аргумент более общего вида; важно, чтобы новый аргумент
также стремился к нулю. Например, при
и т. д.
Т е о р е м а 9. Если при
и
, то из
,
существования предела функции
ние предела функции
при
при
следует существова-
и справедливость равенства
.
П р и м е р 21. Вычислить
.
Р е ш е н и е. Из таблицы 2 определяем, что
,
,
,
Тогда
.
Ответ:
.
З а м е ч а н и е. Важно помнить, что таблица 2 составлена только
для случая, когда
. Если требуется вычислить предел
, то перед тем как пользоваться таблицей 2 необходимо произве-
сти такую замену переменной, чтобы эта переменная стремилась к нулю.
.
,
П р и м е р 22. Вычислить
.
36
Р е ш е н и е.
3
/4
,
2 2 (cos sin ) 0
4
lim
1 sin2 0
0
4
x
xt
xx
x
xt
3
0
2 2 cos / 4 sin / 4
lim
1 sin 2 / 2
t
tt
t
3
0
22
2 2 cos sin sin cos
22
lim
1 cos2
t
t t t t
t
2
3
22
00
2 2 1 cos 1 cos cos
2 2 2 2 cos
lim lim
2sin 2sin
tt
t t t
t
tt
0
2
2
2
0
00
2
sin ~ ,
2 2 3 2
lim lim 1 cos cos
2
22
1 cos ~ / 2
t
t
tt
tt
t
tt
t
tt
3
/4
2 2 (cos sin ) 3 2
lim
1 sin2 2
x
xx
x
2
0
arctg
lim
arcsin3 sin( / 2)
x
x
xx
2
3
3
0
1
lim
2arctg arcsin
x
x
ex
xx
2
3
1 cos5
lim
1 cos4
x
x
x
25
16
.
Ответ:
.
Упражнения
Вычислить пределы, используя метод эквивалентных замен
Ответы
1.
2.
3.
37
4.
2
1
11
lim
1
x
xx
x
2
2
0
ln(1 sin )
lim
sin4
x
x
x
1
4
33
3
4
0
27 27
lim
2
x
xx
xx
2
27
2
2
32
3
23
lim
43
x
xx
x x x
2
2
3
3
1
lim
1
xx
x
x
x
1
32
lim
32
nn
nn
n
2
1
3 3 1
lim
sin
x
xx
x
1
2
/2
3
3
36
lim
51
x
x
xx
xx
4
53
2 2 3
lim
( 1) 7
n
nn
nn
2
7
/2
ln2 ln
lim
5
sin cos
2
x
x
x
x
22
Упражнения
Вычислить пределы, используя различные методы
Ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
0
1
3
1
9.
38
10.
tg /6
3
6
lim
3
x
x
x
2/
e
2
0
cos 5 / 2 tg
lim
arcsin2
x
xx
x
1
2
32
32
2
6 12 8
lim
34
x
x x x
xx
1 3 5 ... (2 1)
lim
3
n
n
n
n
22
22
(3 ) (3 )
lim
(3 ) (3 )
n
nn
nn
2
/4
1 sin2
lim
( 4 )
x
x
x
1
8
22
lim 3 2 3
n
n n n
3
2
()fx
a
lim ( )
xa
f x A
()A f a
()fx
a
()fx
a
()fx
lim ( ) ( )
xa
f x f a
lim ( )
xa
fx
11.
12.
13.
14.
15.
16.
0
–3
4. Исследование функций на непрерывность
18. Понятие непрерывности функции в точке, сформулированное раннее в
п.12, здесь удобно дать в другой, эквивалентной форме: функция
вается непрерывной в точке a, если выполняются следующие условия:
а) функция определена в некоторой окрестности точки
; в)
.
; б) существует
назы-
19. Если функция
но не является непрерывной в точке a, то такая точка называется точкой
разрыва функции
20. Отсюда следует классификация точек разрыва функции одной пере-
менной.
либо не определена в точке
.
Точка устранимого разрыва. Это такая точка
: а) определена, но
существует и конечен.
, либо определена,
, в которой функция
или б) неопределенна, хотя
39
Пример функции, имеющей точку устранимого разрыва:
sin , / 2,
2, / 2,
xx
y
x
/2x
/2x
/2
lim sin 1xx
( / 2) 2 1 y
sinx
y
x
0x
0
sin
lim 1
x
x
x
(0) 1f
sin
, 0,
1, 0
x
x
y
x
x
sin , / 2,
2, /2,
xx
y
x
sin x
yx
a
0
lim ( )
xa
fx
0
lim ( )
xa
fx
00
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
(рис. 9). Эта функция непрерывна при всех
. В точке
ются:
Другой пример:
точках, кроме точки
,
условия непрерывности функции наруша-
.
. Функция (рис. 10) непрерывна во всех
, в которой функция неопределенна. Можно
доопределить эту функцию до непрерывной: так как
положив
, получим функцию
дет непрерывной во всех точках.
, то,
, которая бу-
Рис. 9.
Точка разрыва первого рода. Это такая точка
вуют конечные односторонние пределы:
Рис. 10.
, в которой сущест-
и
.
, но
40
П р и м е р 23. Исследовать на непрерывность функцию
2
, ( ,1),
2 , [1, )
xx
y
xx
1x
1x
10
lim ( ) 1
x
yx
10
lim ( ) 2
x
yx
1 0 2 0
lim ( ) lim ( )
xx
y x y x
1x
a
1/(1 )
( ) 2
x
fx
1x
1x
1/(1 )
10
функция (1 ) 0 и бесконечно малая при 1 0,
lim 2
1/ (1 ) бесконечно большая при 1 0
x
x
xx
xx
2
1/(1 )
10
функция (1 ) 0 и бесконечно малая при 1 0,
lim 2
1/ (1 ) бесконечно большая при 1 0
x
x
xx
xx
.
Р е ш е н и е. Во всех точках
функция непрерывна, так как в
этих точках она представлена многочленами (которые непрерывны на
всей числовой оси). В точке
лы:
тельно,
,
точка разрыва 1-го рода (рис. 11).
Точка разрыва второго рода. Это такая точка
существуют односторонние преде-
. Но
. Следова-
, в которой: а) либо
предел функции не существует; б) либо хотя бы один из односторонних пределов – бесконечный.
Рис. 11 Рис. 12
П р и м е р 24. Исследовать на непрерывность функцию
.
Р е ш е н и е. Во всех точках
функция непрерывна, так как в
этих точках она представляет собой сложную функцию: показательная
функция от рациональной дроби. Исследуем точку
. Вычисляем
односторонние пределы:
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]