Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие

71

5. Дифференциальное исчисление функции многих

n

XR

12

( , ,..., )

n

P x x x X

12

( ) ( , ,..., )

n

f P f x x x

X

:nf R R

n

12

, ,...,

n

x x x

X

 

: ( ),

n

E y R y f P P R   

()y f P

2n 

( , )z f x y

22

1z x y  

 

22

( , ): 1x y x y

Рис. 1.

y

x

0

y

=

-

x

y

=

x

Рис. 2.

arcsin

y

zx

переменных

5.1. Определение функции многих переменных

Пусть

пространства. Если каждой точке

вие некоторое определенное действительное число

говорят, что на множестве

менных

жество

. В частности, при

геометрически может рассматриваться как функция точек поверхности в трехмерном пространстве. На рис. 1 приведен пример графика функции

двух переменных:

ру. Очевидно, что областью определения такой функции будет едини чный

круг:

произвольное множество точек n-мерного арифметического

поставить в соответст-

, то

задана числовая функция

. Множество

.

называется областью определения, а мно-

– областью значений функции

функция двух переменных

– представляющей верхнюю полусфе-

от

пере-

П р и м е р 1. Найти область определения функции

.

72

Р е ш е н и е. Функция определена при

11

y x

  

0x 

x y x  

0x 

x y x  

0x 

yx

yx

0x 

11

y x

  

(1;0)

( 1;0)

(0;1)

(0; 1)

22

1z x y  

ln( )z x y  

arccos

x

z

xy





cosz y x

2

arcsin arcsin(1 )

x

zy

y

  

1 2 3

y

x

0

1

 



, :D x y



22

1xy

y

x

0

y

=

-

x

 



, :D x y



yx

y

x

0

y

=

-

2

x

02y,

D

yx













0

2

y, yx













,

. Следова-

тельно,

при

и

при

. Изобразим эту

область на плоскости. Сначала на плоскости проводим границы области, т.е. прямые

и

,

. В результате плоскость разде-

лится на четыре части. Чтобы правильно и быстро определить какие части относятся к области определения, достаточно проверить выпол-

нения неравенства

в точках

и

в четырех точках плоскости. Например,

неравенство выполняется, а в точках

и

не выполняется. Отсюда делаем заключение об области опре-

деления функции, изображенной на рис. 2.

Упражнения

Найти область определения функций и изобразить еѐ на плоскости.

1.

; 5.

; 2.

; 3.

.

; 4.

Ответы.

73

4

5

y

x0

 



, : ,D x y y R

ππ

22

k x k



    

 

y

x

0



0 2;Dy  



22

y x y  

5.2. Частные производные

1

( ,..., ,..., )

kn

y f x x x

1n

k

x

10 0

( ,..., ,..., )

kn

y f x x x

k

x

k

x

11

0

( ,..., ,..., ) ( ,..., ,..., )

lim

k

k k n k n

x

k

f x x x x f x x x

x



  



k

x

k

fx



1

( ,..., )

k

xn

f x x

k

x

Если в функции многих переменных

положить

переменную постоянными, оставив изменяться лишь одну переме н-

ную, например

, то получим функцию одной переменной:

. Придавая значению переменной

приращение

, рассмотрим предел

.

Этот предел называется частной производной по переменной

значается

или

. Аналогично вводятся частные производ-

и обо-

ные по всем переменным.

Из определения частной производной следует, что все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной, рассмотренные в части 2, остаются в силе и для вычисления частных производных. При этом все пере-

менные, кроме

, рассматриваются как постоянные.

Если функция имеет частные производные по всем переменным во всех точках некоторого множества, то эти частные производные образуют новые функции многих переменных, от которых можно вновь вычислять частные производные. Например, для функции двух переменных имеем следующие частные производные второго порядка:

74

2

xx

x

f f f

f

x x x

x

   

   

  

   

  



   

,

2

xy

y

f f f

f

x y x x y

   

   

  

   

    

   

2

yx

x

f f f

f

y x y y x

   

   

  

   

    

   

2

yy

y

f f f

f

y y y

y

   

   

  

   

  



   

xy

f

yx

f

y

zx

y

x

1y

x

z yx





x

y

x

ln

y

z x x

2

( 1)

y

xx

z y y x





11

ln

yy

xy

z x yx x





11

ln

yy

yx

z x yx x





2lny

yy

z x x

0x 

xy yx

zz

xy

f

yx

f

( , )xy

xy yx

ff

,

и аналогично для производных третьего и т.д. порядков. Производные вида

и

называются смешанными производными.

П р и м е р 2. Вычислить частные производные первого и второго порядков функции

.

Р е ш е н и е. Находим частную производную по переменной x. В этом случае

рассматривается как постоянная и поэтому функция

будет степенной. По формуле производной степенной функции получим

ной y. В этом случае

функция тельной функции имеем

. Вычисляем теперь частную производную по перемен-

рассматривается как постоянная и поэтому

будет показательной. По формуле производной показа-

. От каждой из полученной частной

производной вычисляем ещѐ раз частные производные, следуя тем же рассуждениям, т.е. определяем вторые производные от заданной функ-

ции.

,

. Заметим, что

,

. Это является следствием

теоремы о смешанных производных.

Т е о р е м а о смешанных производных. Если смешанные произ-

водные

и

определены в некоторой окрестности точки

,

, и непрерывны в этой точке, то

Таким образом, смешанные производные не зависят от того, в каком порядке по переменным они вычисляются. Поэтому в дальнейшем при вычислении смешанных производных будем находить только одну из них.

.

75

Упражнения

2 2 3 3

5z x y x y  

y

z xyx

22

xy

z

xy





 

22

lnz x y

xy

z xe

2

cos y

zx

4 2 3

5 15

x

z x x y

4 3 2

5 15

y

z y x y

33

20 30

xx

z x xy

22

45

xy

z x y

33

20 30

yy

z y x y

2

x

y

zy

x



1

y

zx

x



3

2xxy

zx

2

1

xy

zx

0

yy

z 

 

3

3/ 2

22

x

y

z

xy





 

3

3/ 2

22

y

x

z

xy





 

3

3/ 2

22

3xxxy

z

xy





 

22

3/2

22

3xyxy

z

xy





 

3

3/ 2

22

3yyxy

z

xy





22

2xx

z

xy





22

2yy

z

xy





 

22

2

22

2xxyx

z

xy







 

2

22

4xyxy

z

xy





 

22

2

22

2yyxy

z

xy







(1 )

xy

x

z xy e





2 xy

y

z x e





( 2)

xy

xx

z y xy e





( 2)

xy

z x xy e





3 xy

yy

z x e





2

cosxy

zx

2

2 sinyyy

zx

2

3

2cosxxy

zx

2

2 sinxyyy

zx

2 2 2

2sin 4 cos

yy

y y y

z

x





Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от следующих функций.

1.

4.

Ответы.

1.

2.

3.

4.

,

; 2.

; 5.

,

; 6.

; 3.

,

;

.

,

;

,

;

,

;

,

.

5.

6.

,

;

,

.

76

5.3. Дифференцирование сложных функций

()u u x

()v v x

( , )z z u v

( , )uv

( ( ), ( ))z z u x v x

dz z du z dv dx u dx v dx







ux

dz z z dv dx x v dx







( , )u u x y

( , )v v x y

( , )xy

( , )z z u v

( , )uv

( ( , ), ( , ))z z u x y v x y

( , )xy

z z u z v x u x v x

    



    

z z u z v y u y v y

    



    

dz dx

23uv

ze





tg ux

2

v x x

23uv

ze





232uv

z

e

u









233uv

z

e

v









tg ux

,

2

v x x

2

1

cos

du dx

x



21

dv

x

dx



Т е о р е м а о производной сложной функции. 1. Пусть функции

и

ция сложная функция точки x, причем

дифференцируемы в окрестности точки x, а функ-

дифференцируема в окрестности точки

дифференцируема в окрестности

. (1)

. Тогда

В частности, если равна

2. Пусть функции рестности точки стности точки дифференцируема в окрестности точки

З а м е ч а н и е. При дифференцировании сложных функций важно сле-

дить за правильным написанием символов производных. Иначе могут возникнуть недоразумения, что наглядно видно на примере формулы (2).

. Тогда сложная функция

П р и м е р 3. Найти

, то полная производная функции z по x

. (2)

и

, а функция

,

, если

дифференцируемы в ок-

дифференцируема в окре-

, причем

. (3)

, где

,

.

Р е ш е н и е. Чтобы не запутаться в большом количестве производ-

ных, рекомендуется оформлять вычисления в такой структурированной форме:

77

По формуле (1) получаем:

2 3 2 3

2

1

2 3 (2 1)

cos

u v u v

dz

e e x

dx

x



  

zx



dz dx

x

zy

()y u x

ln

x

z

yy

x







1

ln

xx

dz du

y y xy

dx dx





zx



dz dx

zx



zy



2

lnz u v

y

ux

22

v x y

2

lnz u v

2 lnzuv

u







2

zu vv







y

ux

2

uy x

x







1u

yx







22

v x y

2vx

x







2vy

y







2

ln

2

z ux y v

u

xv

x













ln

2

z v uy

u

y x v













( , )f x y

cosx   

siny   

0, 02   

.

П р и м е р 4. Найти

Р е ш е н и е.

и

, если

, где

.

. По формуле (2) получаем:

.

Этот пример наглядно показывает принципиальное различие в

производных

П р и м е р 5. Найти

и

.

и

, если

, где

.

Р е ш е н и е.

После подстановки полученных производных в формулы (3), запи-

,

сываем ответ:

П р и м е р 6. Пусть функция

точках плоскости хОу. Записать частные производные этой функции в полярных координатах.

Р е ш е н и е. Формулы перехода в полярные координа-

ты:

,

.

дифференцируема во всех

, и обратные формулы:

78

 

22

0 при 0,

, arcctg πδ( ), δ

1 при 0.

y

x

x y y y

y





      







.

( , ) ( cos , sin )f x y f    

22

xy  

22

cos

x

xy



  





22

sin

y

xy



  





arctg( / )yx

22

siny

x

xy

 

   





22

cosx

x

xy

 







sin

cos ,

f f f f f x x x

       

    

       

cos

sin

f f f f f y y y

       

    

       

dz dx

arctg

y

zx

21x

ue

21x

ve

du

dt

yz

ux

t

xe

lnyt

2

1zt

zx



dz dx

 

ln

xy

z e e

3

x

yx

zx



zy



22

z u v uv

sinu x y

cosv y x

 

22

y

z

f x y

2

11z z z

x x y y

y







()fu

2

22

2 ( )

x

dz e x y dx

xy







 

2

t

x z yt yzte

du

dt

tx





Тогда:

1. Найти

2. Найти

3. Найти

4. Найти

, если

и

, если

и

Упражнения

, где

,

, где

.

,

;

,

;

5. Показать, что функция

нию

, где

Ответы.

1.

; 2.

удовлетворяет соотноше-

дифференцируемая функция.

;

79

3.

x

xy

ze x

ee









2

( 1)

xy

dz e e x dx

ee







   

22

2 sin 2 sin

z

uv v y uv u y x

x



   



   

22

2 cos 2 cos

z

uv v x y uv u x

y



   



,

;

4.

5.

,

.

80

ПРИЛОЖЕНИЕ

,p q R

0, 0ab

p q p q

a a a

 

q

p pq

aa

 

p

pp

a b a b

1

p

a





p

aa b

b





 

p

pq

q

a





,m n N, 0, 0ab

 

/

m

n

m n m

n

a a a

m

n mn

aa

n n n

ab a b

n

aa b

b



2

0ax bx c  

2

1,2

4

2

b b ac

x

a

  



  

2

12

ax bx c a x x x x    

 

2

22

2a b a ab b   

  

22

a b a b a b   

 

2

22

2a b a ab b   

 

3

3 2 2 3

33a b a a b ab b    

 

3 3 2 2

a b a b a ab b    

 

3

3 2 2 3

33a b a a b ab b    

 

3 3 2 2

a b a b a ab b    

1 2 1

, ,..., , ,...,

i i n

a a a a a



1,2..., 1in

1ii

a a d





i

 

1

i

a a i d  

n

12n

n

aa

sn





Важнейшие сведения из элементарной математики

1. Действия со степенями

Если

,

, то

Если

, то

2. Корни квадратного уравнения. Разложение квадратного трѐхчлена на множители.

Корни квадратного уравнения:

равны

.

Разложение на множители:

3. Формулы сокращенного умножения; формулы разложения на множители

4. Прогрессии

Арифметическая:

,

.

, d – постоянная (разность прогрес-

сии).

.

-й член

; сумма

членов

.