Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие
.pdf
21
П р и м е р 5. Вычислить
42
3
3
42
3 6 1
lim
2 3 1
n
n n n
n n n
4
3
2
42
3
3
42
3
42
3
31
16
3 6 1
lim lim
3
2 3 1
21
nn
nn
n
n
n n n
n n n
nn
n
2
3
3
2
2
3
22
3
31
16
делим числитель и
lim
знаменатель на
3
21
n
nn
n
n
n
nn
n
3
2 5/3
3 4/3 2
3 1 1
16
используем пример 2
1
lim
и теорему 1
3 1 1 2
2
n
n
nn
n n n
42
3
3
42
3 6 1 1
lim
2
2 3 1
n
n n n
n n n
5 13 3 2
lim ...
6 36
6
nn
n
n
3 2 1 1
23
6
nn
nn
n
5 13 3 2
...
6 36
6
nn
n
1 1 1 1 1 1
... ...
2 4 2 3 9 3
nn
1/ 2
.
Р е ш е н и е. Здесь опять неприменима теорема 2. Поэтому поступаем так же, как в предыдущем примере:
.
Ответ:
.
П р и м е р 6. Вычислить
Р е ш е н и е. В этом примере в скобке стоит сумма n слагаемых.
Прежде всего, нужно просуммировать выражение в скобках. Так как
, то выражение в скобках можно сгруппировать:
чили суммы геометрических прогрессий со знаменателями
.
. Полу-
и
22
1/ 3
, соответственно. Используя формулу суммы геометрической про-
1
1 1 1 1
1
...
1
n
n
q
a a q a q a
q
1
1
1
1
5 13 3 2 1 1 3 1 1 1
3
2
...
11
6 36 2 3 2 2
6 2 3
11
23
nn
n
n
n n n
1
lim 0
2
n
n
1
lim 0
3
n
n
3 1 1 1 3
lim
2 2 2
23
nn
n
5 13 3 2 3
lim ...
6 36 2
6
nn
n
n
! 1 2 ... ( 1) n n n
0! 1
! ( 2)!
lim
( 1)! ( 2)!
n
nn
nn
( 1)!n
( 1)! 1 2 ... ( 1) nn
! 1 2 ... ( 1) ( 1)! n n n n n
( 2)! 1 2 ... ( 1) ( 1) ( 2) ( 1)! ( 1) ( 2) n n n n n n n n n
! ( 2)! ( 1)! ( 1)! ( 1)( 2)
lim lim
( 1)! ( 2)! ( 1)! ( 1)! ( 1)( 2)
nn
n n n n n n n n
n n n n n n n
( 1)! ( 1)( 2)
выносим ( 1)! а скобки
lim
в числителе и знаменателе
( 1)! 1 ( 1)( 2)
n
n n n n n
n з
n n n n
грессии:
,
находим:
как
Ответ:
13. Факториалом натурального числа n называется произведение всех
подряд натуральных чисел от 1 до n. Обозначение: !n Таким образом, по
определению,
П р и м е р 7. Вычислить
и
(пример 3), то
.
. Кроме того, по определению,
.
Р е ш е н и е. Выбираем наименьший из факториалов:
торый, по определению, равен
. Все остальные
. Так
.
.
, ко-
факториалы выражаем через этот, используя определение факториала:
,
.
Подставляем в предел:
23
32
32
сокращаем на ( 1)! далее как
33
lim
и раскрываем скобки в примере 4
3 2 1
n
n
nnn
nnn
32
3 2 3
1 3 / 3 /
lim 1
1 3 / 2 / 1/
n
n n n
n n n n
! ( 2)!
lim 1
( 1)! ( 2)!
n
nn
nn
2 4 4
lim 5 1
n
n n n
0
22
( )( ) a b a b a b
2 4 4
44
умножим и разделим выражение
51
на 5 1
n n n
nn
4 4 4 4
2
44
5 1 5 1
51
n n n n
n
nn
22
в числителе применяем
формулу ( )( )a b a b a b
44
2
2
2
44
51
в знаменателе выносим и
сокращаем с в числителе
51
nn
n
n
n
nn
.
Ответ:
П р и м е р 8. Вычислить
Ошибка, допускаемая при решении этой задачи, состоит в следующем: полагается, что выражение в скобках стремится к нулю и поэтому
ответ в задаче будет нулем. Это неверно, так как
не нули, а неопределенности, которые более подробно будут рассмат-
риваться в следующих разделах.
Р е ш е н и е. Избавимся, прежде всего, от иррациональности, используя формулу:
разования:
.
.
и
. Для этого выполняем преоб-
– это
24
44
44
используем пример 2
2
1 5 / 1 1 /nn
В результате получаем
2 4 4
lim 5 1 2
n
n n n
x
32
4
4 2 1
lim
23
n
nn
n
22
2
( 2) ( 2)
lim
( 3)
x
xx
x
3
22
4
25
lim
3
x
xx
x x x
8
8
8
66
lim
66
n
nn
nn
4
1 4 7 ... (3 2)
lim
4 3 1
n
n
nn
3
4
lim ( 6)
n
n n n
.
Ответ:
З а м е ч а н и е. Рассмотренные здесь примеры иллюстрируют методы
вычисления числовых последовательностей. Учитывая схожесть теорем 1, 2 и
3, 4, вычисление пределов функций при
ределенности вида
или
.
, в которых возникают неоп-
, осуществляется такими же методами.
Упражнения
Вычислить пределы.
Ответы
1.
2.
3.
4.
0
2
5
5.
6.
3
25
3.2. Случай
xa
aR
xa
aR
2
1
21
lim
4
x
x
x
2
21
()
4
x
fx
x
1x
1x
(1) 1f
()fx
1x
22
1
1
2 1 2 1
lim 1
44
x
x
xx
xx
()
lim
()
xa
fx
gx
lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
0
0
lim ( ) ( )
xa
f x g x
lim ( )
xa
fx
lim ( ) 0
xa
gx
0
lim ( ) ( )
xa
f x g x
lim ( )
xa
fx
lim ( )
xa
gx
()
lim ( )
gxxa
fx
lim ( ) 1
xa
fx
lim ( )
xa
gx
1
З а м е ч а н и е 1. Все рассмотренные в п. 3.1. методы вычисления
пределов, в дальнейшем, как правило, не годятся. Они базировались
на применении теоремы 1 или 3, которые не выполняются, когда
.
З а м е ч а н и е 2. Решение задач на вычисление пределов необходимо начинать с проверки выполнения условия непрерывности функции в точке.
3.2.1. Алгебраические функции
П р и м е р 9. Вычислить
.
Р е ш е н и е. Проверяем выполнение условия непрерывности
функции
и
ной в точке
и поэтому
в точке
. Функция определена в точке
. Таким образом, функция
является непрерыв-
.
Задачи подобного вида очень простые. Часто возникают случаи,
когда требуется найти:
1)
, если
. В этом случае вычисле-
ние предела называют «раскрытием неопределенности» вида
2)
неопределенности» вида
3)
крытие неопределенности» вида
4)
неопределенности» вида
, если
, если
, если
.
,
, т. е. «раскрытие
;
,
, т. е. «рас-
;
,
, т. е. «раскрытие
;
26
5) «Раскрытие неопределенности» вида
0
0
0
1
32
32
3
4 3 18
lim
5 3 9
x
x x x
x x x
3x
32
32
3
4 3 18 0
0
5 3 9
x
x x x
x x x
3x
3x
3x
32
4 3 18 x x x
32
5 3 9 x x x
3x
x - x 3x+4 - 18
2
3
x-3
x - x 3
2
3
-
- - +18x 3x
2
- +3xx
2
-
6 +18 - x
6 +18 - x
-
=
-6x -x
2
x - x 3x+5 + 9
2
3
x-3
x - x 3
2
3
-
-2 + +9x 3x
2
-2 +6x x
2
-
+9 -3x
+9 -3x
-
=
2 -3x - x
2
рассмотрено в п. 3.1.
Кроме перечисленных пяти неопределенностей есть другие, которые будут рассмотрены далее в части 2. Название – «неопределенность» – возникло из того, что во всех перечисленных случаях возникает ситуация, запрещенная правилами арифметики. Поэтому при
раскрытии неопределенностей невозможно напрямую, как это сделано
в примере 9, вычислить предел, исходя из определения непрерывной
функции.
З а м е ч а н и е 3. Для правильного вычисления пределов необхо-
димо знать эти неопределенности:
,
,
,
,
Все рассмотренные ниже методы применимы только тогда, когда в задаче есть соответствующая неопределенность!
П р и м е р 10. Вычислить
.
Р е ш е н и е. Проверяем выполнение условия непрерывности
функции в точке
определенность. Для ее раскрытия замечаем, что
:
, т. е. имеем не-
является кор-
нем числителя и знаменателя. Это дает возможность, разложив на
множители, выделить двучлен
и упростить имеющуюся функ-
цию. Напомним метод разложения многочлена на множители. Так как
– корень числителя и знаменателя, то многочлены
и
делятся нацело на
(теоре-
ма Безу). Напомним метод деления «столбиком» («уголком»):
.
27
В результате получаем:
3 2 2
4 3 18 ( 3)( 6) x x x x x x
3 2 2
5 3 9 ( 3)( 2 3) x x x x x x
32
4 3 18 x x x
2
( 3) ( 2) xx
3 2 2
5 3 9 ( 3) ( 1) x x x x x
3 2 2
3 2 2
33
4 3 18 ( 3) ( 2)
lim lim
5 3 9 ( 3) ( 1)
xx
x x x x x
x x x x x
2
3
сокращаем
25
lim
14
на ( 3)
x
x
x
x
32
32
3
4 3 18 5
lim
4
5 3 9
x
x x x
x x x
33
2
1 3 5
lim
2
x
xx
x
33
2
1 3 5 0
lim
20
x
xx
x
2 2 3 3
( )( ) a b a ab b a b
33
2
домножаем числитель и знаменатель
1 3 5
lim
на неполный квадрат суммы числителя
2
x
xx
x
22
3 3 3 3
33
2
22
33
33
1 3 5 ( 1) 1 3 5 (3 5)
lim
( 2) ( 1) 1 3 5 (3 5)
x
x x x x x x
x x x x x
. Раскладывая далее квадратные
трѐхчлены на множители, окончательно получим:
и
. Подставляя эти
разложения в функцию и производя упрощения, находим:
.
и
Ответ:
П р и м е р 11. Вычислить
Р е ш е н и е.
.
.
. Как и в примере 8, здесь,
прежде всего, необходимо преобразовать числитель так, чтобы освободиться от иррациональностей. Однако в отличие от примера 8 здесь
мы имеем кубические корни и для того, чтобы избавиться от этих корней используем формулу
.
28
2 2 3 3
используем формулу
( )( )a b a ab b a b
2
22
33
33
2( 2)
lim
( 2) ( 1) 1 3 5 (3 5)
x
x
x x x x x
22
33
2
33
сокращаем
2
lim
на ( 2)
( 1) 1 3 5 (3 5)
x
x
x x x x
получили непрерывную
2
в точке 2 функцию
3
x
33
2
1 3 5 2
lim
23
x
xx
x
2
3
12
lim
3
8 15
x
x
xx
2
3
12
lim
3
8 15
x
x
xx
2
3 3 3
1 2 5 2 1 1
lim lim lim
3 ( 3)( 5) 5 2
8 15
x x x
x
x x x x
xx
2
3
1 2 1
lim
32
8 15
x
x
xx
32
32
2
6 12 8
lim
34
x
x x x
xx
.
Ответ:
П р и м е р 12. Вычислить
Р е ш е н и е.
.
.
. Успех в рас-
крытии такой неопределенности обычно достигается вычитанием дробей:
.
Ответ:
.
Упражнения
Вычислить пределы.
Ответы
1.
0
29
2.
32
32
2
5 8 4
lim
7 16 12
x
xxx
x x x
7
0
11
lim
x
xx
x
2
2
0
42
lim
93
x
x
x
3
2
33
0
11
lim
11
x
xx
xx
3
2
22
1
2 1 4
lim
3
5 4 3 2
x
xx
x x x x
0
sin
lim 1
x
x
x
0
tg
lim
x
x
x
0 0 0
tg sin 1 1 sin
lim lim lim
cos cos
x x x
x x x
x x x x x
00
1 sin
lim lim
cos
xx
x
xx
0
функция cos непрерывна
sin
lim 1
в точке 0 и равна 1
x
x
x
x
x
0
tg
lim 1
x
x
x
–1
3.
4.
5.
6.
0
0
3.2.2. Тригонометрические функции.
Первый замечательный предел
При вычислении пределов от функций, содержащих тригонометри-
ческие функции, используется первый замечательный предел.
14. Первый замечательный предел.
. (1)
П р и м е р 13. Вычислить
Р е ш е н и е.
.
15. Во многих случаях при решении задач используется метод за-
мены переменной, основанный на следующей теореме.
, т. е.
. (2)
30
Т е о р е м а 7. Если существуют
lim ( )
xa
g x b
lim ( )
yb
f y A
x
()g x b
a
( ( ))f g x
lim ( ( )) lim ( )
x a y b
f g x f y
0
arcsin
lim
x
x
x
sinxy
arcsinyx
arcsinx
x
1
sin sin /
y
y y y
00 xy
0
arcsin
lim
x
x
x
0
0
11
lim 1
sin / lim sin /
y
y
y y y y
0
arcsin
lim 1
x
x
x
tgyx
0
arctg
lim 1
x
x
x
0
sin7
lim
tg3
x
x
x
0
выделим пределы (1), (2), домножив
sin7
lim
числитель и знаменатель на 3 и на 7
tg3
x
x
xx
x
0 0 0
sin7 3 7 7 sin7 3 7
lim lim lim
7 tg3 3 3 7 tg3 3
x x x
x x x x x
x x x x x
0
sin7 7
lim
tg3 3
x
x
x
,
, при-
чем для всех
выполняется условие
сложной функции
из некоторой проколотой окрестности точки a
, то в точке
существует предел
и справедливо равенство
.
П р и м е р 14. Вычислить
Р е ш е н и е. Произведем замену:
и
, причем
.
, тогда
. Поэтому
.
Ответ:
.
Используя (2), аналогично решается следующий пример (положив
):
. (3)
П р и м е р 15. Вычислить
.
Р е ш е н и е.
Ответ:
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]