Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие
.pdf
61
0k
, то прямую
yb
2 sin8
2
43
2( 1) 2
1
x
xe
y
x
x
1x
/2yx
2
2 | | 1
x
yx
/2yx
/2yx
1x
1x
y kx b
()y f x
x
x
()
lim
x
fx
k
x
lim ( )
x
f x kx b
()
lim ,
x
fx
k
x
lim ( )
x
f x kx b
()fx
( , )ab
()fx
( , )ab
1 2 1 2 1 2
, ( , ): ( ) ( )x x a b x x f x f x
приведен график функции
называют горизонтальной асимптотой. На рис. 1
,
имеющий вертикальную (
рис. 2 функция
и две вертикальные:
Рис.1 Рис. 2
Т е о р е м а 4. Для того чтобы прямая
птотой графика функции
достаточно, чтобы существовали конечные пределы
,
) и наклонную (
имеет две наклонные асимптоты:
и
при
.
была наклонной асим-
(
) асимптоты. На
и
), необходимо и
,
.
13. Интервалы монотонности. Пусть функция
тервале
Функция
а) возрастающей (неубывающей) на интервале
.
называется:
определена на ин-
, если
, (5)
62
б) строго возрастающей на интервале
( , )ab
1 2 1 2 1 2
, ( , ): ( ) ( )x x a b x x f x f x
( , )ab
1 2 1 2 1 2
, ( , ): ( ) ( )x x a b x x f x f x
( , )ab
1 2 1 2 1 2
, ( , ): ( ) ( )x x a b x x f x f x
( , )ab
()fx
'( ) 0fx
( , )x a b
( , )ab
()fx
'( ) 0fx
( , )x a b
,x a b
'( ) 0fx
'( ) 0fx
()fx
( , )ab
()fx
0
x
00
( ) ( ) ( )x U x f x f x
00
( ) ( ) ( )x U x f x f x
()fx
0
x
0
x
0
x
()fx
0
x
0
'( ) 0fx
, если
, (6)
в) убывающей (невозрастающей) на интервале
, если
, (7)
г) строго убывающей на интервале
, если
. (8)
Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотон-
ные, а строго возрастающие и строго убывающие – названием строго моно-
тонные.
Т е о р е м а 5. 1. Для того чтобы дифференцируемая на
ция
точно, чтобы
цируемая на
необходимо и достаточно, чтобы
была возрастающей на этом интервале, необходимо и доста-
при всех
функция
была убывающей на этом интервале,
. 2. Для того чтобы дифферен-
при всех
выполняется условие
(
строго возрастает (строго убывает) на интервале
14. Точки экстремума. Пусть функция
рестности точки
и выполнено одно из следующих условий:
определена в некоторой ок-
), то функция
функ-
. 3. Если
.
, (9)
или
Тогда говорят, что функция
чем в случае (9)
называется точкой локального минимума, а в случае (10) –
точкой локального максимума. Если в условиях (9), (10) заменить нестрогие
неравенства на строгие, то точка
или строгого максимума, соответственно.
Т е о р е м а Ферма. Если функция
в точке
и дифференцируема в этой точке, то
. (10)
имеет в точке
локальный экстремум, при-
называется точкой строгого минимума
имеет локальный экстремум
.
63
15. Необходимое условие точек экстремума. Из теоремы Ферма следует,
()fx
( , )ab
'( ) 0fx
()fx
'( )fx
||yx
0x
()fx
()fx
()fx
0
x
0
x
'( )fx
0
x
0
x
()fx
'( )fx
0
x
0
x
()fx
0
x
()fx
0
'( ) 0fx
0
"( )fx
0
"( ) 0fx
0
x
()fx
0
"( ) 0fx
0
x
()fx
()y f x
[ , ]ab
1 2 1 2
12
( ) ( )
, [ , ]
22
x x f x f x
x x a b f
[ , ]ab
1 2 1 2
12
( ) ( )
, [ , ]
22
x x f x f x
x x a b f
что если
мум следует искать среди тех точек, в которых
дифференцируема во всех точках интервала
. Такие точки назы-
, то экстре-
ваются стационарными точками. Однако, существуют экстремумы в таких
точках, в которых функция
пример, функция
имеет в точке
этой точке не существует. Точки, в которых функция
непрерывна, но
минимум, хотя производная в
не существует. На-
непрерывна, а ее
производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими
точками. Таким образом, необходимое условие экстремума состоит в том, что
точки экстремума функции
содержатся только среди ее критических
точек.
16. 1-е достаточное условие строгого экстремума. Пусть функция
дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки
прерывна в точке
плюс при переходе через точку
функции
; 2. Если
ходе через точку
2-е достаточное условие строгого экстремума. Пусть
точка функции
гда: 1. Если
; 2. Если
. Тогда: 1. Если
меняет знак с плюса на минус при пере-
, то
– точка строгого максимума функции
, т.е.
, то
, то
меняет знак с минуса на
, то
– точка строгого минимума
– стационарная
, и пусть существует
– точка строгого минимума функции
– точка строгого максимума функции
и не-
.
. То-
.
17. Выпуклость функции. Непрерывная функция
а) выпуклой вверх на отрезке
(рис. 3), если
называется:
б) выпуклой вниз на отрезке
; (11)
(рис. 4), если
. (12)
64
Если неравенства (11), (12) являются строгими при любых
12
, [ , ]x x a b
12
xx
()y f x
[ , ]ab
[ , ]ab
'( )fx
[ , ]ab
"( )fx
( , )ab
( , ) "( ) 0x a b f x
()y f x
[ , ]ab
( , ) "( ) 0x a b f x
()y f x
[ , ]ab
( , ) "( ) 0x a b f x
( "( ) 0)fx
()y f x
[ , ]ab
ких, что
отрезке
Рис.3 Рис. 4
, то функция
или строго выпуклой вниз на отрезке
называется строго выпуклой вверх на
, соответственно.
та-
резке
ли
резке
выпукла вверх на отрезке
резке
Рис. 5
18. Достаточные условия выпуклости. Пусть
, а
; 2. Если
, то функция
.
существует на интервале
, то функция
; 3. Если
строго выпукла вниз (вверх) на от-
существует на от-
. Тогда: 1. Ес-
выпукла вниз на от-
, то функция
65
19. Точки перегиба графика функции. Пусть функция
()fx
0
x
0
x
0
x
()y f x
2
21x
yx
3x
0x
3x
0
x
()fx
()fx
0
x
0
x
0
"( ) 0fx
"( ) 0fx
3
yx
0x
3
5
21
9
y
x
0x
"( ) 0fx
()fx
0
x
"( )fx
0
x
0
x
()fx
точке
и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечную производ-
ную. Тогда, если эта функция при переходе через точку
ние выпуклости, то
называют точкой перегиба функции
непрерывна в
меняет направле-
. На
рис. 5 изображен график функции
,
и
. На графике они отмечены крестиками.
20. Необходимое условие наличия точки перегиба. Если
региба функции
ности точки
и если функция
вторую производную, непрерывную в точке
, имеющей три точки перегиба:
– точка пе-
имеет в некоторой окрест-
, то
.
Из этой теоремы следует, что точки перегиба ищутся среди тех точек, в
которых
. Однако существуют точки перегиба и там, где функция
определена, но второй производной не существует. Примером такой функции
служит
производная
ется направление выпуклости, т. е.
, определенная на всей числовой оси. В точке
не существует, но при переходе через нее меня-
– точка перегиба. Таким образом,
вторая
как и в случае экстремумов, точки перегиба ищутся среди тех точек из области определения функции, в которых либо
, либо вторая производ-
ная не существует.
21. Достаточное условие наличия точки перегиба. Если функция
непрерывна в точке
производную и если функция
точку
, то
– точка перегиба функции
, имеет в этой точке конечную или бесконечную
меняет знак при переходе через
.
4.1. Полное исследование и построение графика функции
22. Схема проведения полного исследования функции включает
следующие элементы:
1. Нахождение области определения функции;
2. Установление некоторых общих свойств функции, не требую-
щих привлечения средств математического анализа: точек пересечения
66
графика с осями координат; наличия четности или нечетности функ-
3
32
y x x
0y
1x
0y
1x
(0) 0y
( ) ( )y x y x
( ) ( )y x y x
R
y kx b
3
32
()
lim lim 1
xx
xx
y x x x
k
xx
3
32
1
lim ( ) lim
3
xx
xx
b y x kx x x x
1/ 3yx
2
3
3
1 3 2
'
3
( 1)
x
y
xx
3
45
3
21
"
9
( 1)
y
xx
'( ) 0yx
2 / 3x
"( ) 0yx
1, 0xx
y
ции; периодичность и т.д.;
3. Определение наличия асимптот – вертикальных и горизонтальных;
4. Вычисление производных первого и второго порядков;
5. Нахождение нулей производных и точек, в которых производные
не существуют;
6. Заполнение таблицы свойств графика функции (смотрите ниже).
П р и м е р 18. Провести полное исследование и построить график
функции
.
1. Функция определена на R.
2.
симметрии:
3. Асимптоты. Так как функция определена на
асимптот нет. Наклонные асимптоты
при
,
при
,
,
. Функция не имеет
.
, то вертикальных
:
,
.
Следовательно, существует наклонная асимптота
.
4. Вычисление производных:
,
.
5. Нахождение нулей производных и точек, в которых производные
не существуют:
при
,
. При
производные не существуют.
6. Заполнение таблицы. В строке x помещаются нули производ-
ных и «иксы» точек, в которых не существуют функции и/или производные. Эти точки разделяются интервалами. После этого заполняются
строки производных, по которым в строке
изображается поведение
67
графика функции на интервалах и в окрестностях точек. В последней
x
( ; 1)
1
( 1; 2/ 3)
2 / 3
( 2/ 3;0)
0
(0; ) 'y
0
_
,
"y
,
_ _ _
_
y
( 1,0)
3
( 2 / 3, 4 / 3)
(0,0)
y
строке записываются координаты точек.
7. Построение графика. Данная таблица позволяет легко строить
график функции. Прежде всего, на координатной плоскости строятся
все асимптоты. Затем из таблицы выбираются координаты характерных точек графика: точки экстремумов и перегиба (нижняя строка).
После этого на координатную плоскость переносятся эскизы строки
и плавно связываются между собой недостающими линиями. В результате, получается следующий график исследуемой функции.
68
П р и м е р 19. Провести полное исследование и построить график
2
3x
y
x
2
3 3 3x x x
( 3; 3)x
2
30x
22
33xx
( ; 3) ( 3; )x
2
30x
22
33xx
2
2
2
3
, 3; 3 ,
3
3
, ( ; 3) ( 3; ).
x
x
x
x
y
x
x
x
x
0x
0y
0x
0y
0x
( 3) 0y
( ) ( )y x y x
(0; )x
0x
2
2
00
3
33
lim lim
0
xx
x
x
xx
0x
0x
2
22
2 2 2
3
3 | | 1 3 / 1
lim lim lim lim 0
||
x x x x
x
x x x
k
x
x x x
x
3
_
-
3
_
0
+
+
_
функции
.
Р е ш е н и е. Сначала освободимся
от знака модуля под корнем:
интервалов находим: при
; при
.
1. Функция определена всюду, кроме точки
2.
ная, так как
только на промежутке
при
,
при
. Поэтому будем проводить исследование
.
3. Асимптоты. Исследуем точку разрыва
. Методом
.
,
. Функция нечет-
.
Следовательно,
– точка разрыва второго рода и поэтому гра-
фик функции имеет вертикальную асимптоту
Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот:
.
.
,
69
2
22
3
3 | | 1 3 /
lim lim lim
x x x
x
x x x
b
x x x
1, ,
1
lim
1, .
||
x
x
x
x
.
1y
2
22
2
22
'
33
, 0; 3 ,
3
'
'
33
, ( 3; ).
3
x
x
x
xx
y
x
x
x
xx
2
3
32
2
3
32
2
9 , 0; 3 ,
3
''
2
9 , ( 3; ).
3
x
x
xx
y
x
x
xx
'( ) 0yx
''( ) 0yx
2x
3x
0x
x
0
(0; 2)
2
( 2; 3)
3
( 3; )
'y
_
0
_
"y
0
_
_
В результате, имеем наклонную (горизонтальную) асимптоту
4. Вычисление производных:
5. Нахождение нулей производных и точек, в которых производные
не существуют:
производные не существуют. (Точка
;
при
. При
не принадлежит области
определения функции.)
6. Заполнение таблицы.
.
обе
70
О к о н ч а н и е т а б л и ц ы
y
1
( 3,0)
x
3
2
2( 1)
x
yx
22
33
( 2) ( 2)y x x
7. Построение графика. Строим график сначала для положительных x, а затем, так как функция нечетная, достраиваем его для отрицательных
симметрично относительно начала координат.
Упражнения
Провести полное исследование функции и построить ее график.
1.
Ответы
. 2.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]