Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по высшей математике. Пределы. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие
.pdf
41
2
0
. Один из пределов бесконечный. Поэтому
1x
3
2
2, 1,
, 1 1,
2 , 1
xx
y x x
x x x
1
2
1
2
13
13
x
x
y
()y f x
0
x
00
( ) ( )
f x x f x
x
0x
0
xx
0
x
0
x
0
'( )fx
0
'( )yx
dy
dx
0
()
dy
x
dx
0
'
()
x
fx
'
x
f
разрыва 2-го рода (рис. 12).
Упражнения
Исследовать на непрерывность функции и построить эскизы гра-
фиков.
– точка
1.
; 2.
.
Ответы:
1. 2.
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Определение производной и дифференциала
Таблица производных
1. Пусть функция
и существует конечный предел отношения
, где
дел называется производной функции f в точке
принадлежит окрестности точки
определена в некоторой окрестности точки
. Тогда этот пре-
и обозначается
при
,
,
,
,
,
.
42
00
0
00
( ) ( )
'( ) lim lim
xx
f x x f x
y
fx
xx
.
0
0
'( ) lim
x
y
fx
x
0
x
0
x
0
x
( , )ab
( , )ab
()y f x
0
x
y
()y f x
0
x
() y A x x x
0
()A A x
x
()x
0x
()fx
0
x
Ax
0
x
0
()df x
()y f x
0
x
0
'
()dy f x dx
1
' 0, consC C t
2
1
' , , 0
aa
x ax a R x
3
' ,
xx
e e x R
4
1
ln ' , 0, 1x x x
x
1
ln | | ' , 0, 1x x x
x
Если
точке
.
, то производную называют бесконечной в
2. Операция вычисления производной функции называется дифференци-
рованием. Если функция имеет производную в точке
функция дифференцируема в точке
дой точке интервала
, называется дифференцируемой на интервале
. Функция, дифференцируемая в каж-
, то говорят, что
.
3. Если функция
, а приращение
функции
, где
нечно малая функция при
цируемой в точке
точке
; обозначается
, а произведение
Т е о р е м а 1. Для того чтобы функция
руемой в точке
, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела в
определена в некоторой окрестности точки
в точке
не зависит от
, то функция
представимо в виде
, а
– беско-
называется дифферен-
называется ее дифференциалом в
, df или dy.
была дифференци-
этой точке производную. При этом дифференциал и производная связаны
равенством
.
Производные основных элементарных функций приведены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
43
О к о н ч а н и е т а б л . 1
5
' ln , 0,
1,
xx
a a a a
a x R
6
11
log ' , 0, 1,
ln
0, 1
a
x a a
xa
xx
7
sin ' cos , x x x R
8
cos ' sin , x x x R
9
2
1
tg ' ,
cos
,
2
x
x
x n n Z
10
2
1
ctg ' , ,
sin
x x n
x
nZ
11
2
1
arcsin ' , | | 1
1
xx
x
12
2
1
arccos ' , | | 1
1
xx
x
13
2
1
arctg ' ,
1
x x R
x
14
2
1
arcctg ' ,
1
x x R
x
sin ' cosuu
arcsin 't
2
1
1 t
I
'
'
C f C f
d C f C df
II
'
''
f g f g
d f g df dg
III
'
''
f g f g f g
d f g f dg g df
IV
2
'
''
f
g f f g
g
g
2
f
g df f dg
d
g
g
V
'
''
()
gx
x
f g f g
' ' '
()
g g x
d f g f dg f g dx
З а м е ч а н и е. Формулы в таблице 1 сохраняют смысл независимо от
обозначения аргумента, например,
т. д.
В табл. 2 сведены все правила вычисления производных и дифференциа-
лов функций.
,
Т а б л и ц а 2
и
44
2. Техника вычисления производных
3
sin
5ln
x
x e x
y
x
33
sin 1 sin
таблицa 2; правило
5ln 5 ln
xx
x e x x e x
yI
xx
33
2
sin ln ln sin
1
таблицa 2; правило IV
5
ln
xx
x e x x x x e x
x
3 3 3
2
таблицa 2; правила II и III
sin sin sin sin
таблицa 1; формулы 2, 3, 7 3 sin cos ,
1
ln ' таблицa 1; формула 4
x x x x
xx
x e x x e x x e x e x
x e x e x
x
x
23
2
1
3 sin cos ln sin
1
5
ln
x x x
x e x e x x x e x
x
x
3
sin
5ln
x
x e x
x
23
2
1 1 1
3 sin cos ln sin
5
ln
x x x
x e x e x x x e x
x
x
П р и м е р 1. Вычислить производную функции
Р е ш е н и е.
.
Ответ.
.
.
На практике чаще всего возникает необходимость вычисления
производных более сложных функций.
Так как для студентов вычисление производных сложных функций
представляет собой наиболее трудную часть этой темы, то для освоения техники решения таких задач была разработана методика, основанная на построении диаграммы сложной функции.
45
2.1. Правила построения диаграмм сложных функций
f, cf, fc
f
sin x
5sin x
sin 2x
sin6x
( ( ))f g x
f
g
sin4x
ln(3 5)x
2
cos x
x
tge
()y f x
X
: f X Y
f
XY
()y g x
()z f y
g
g
XY
fYZ
( ( ))z f g x
gf
X Y Z
()y g x
()z f y
gf
X Y Z
fg
X Y Z
f()
f()+с
сf()
consct
x
4. Назовем функции
функция
входит в таблицу производных, где c – постоянная вели-
чина. Например, простыми функциями будут
и т. д. Сложной функцией называется функция
и
простые функции в смысле приведенного выше определения. На-
пример, сложными функциями будут
простыми функциями, если
,
,
, где
,
,
,
и
т. д.
5. В современной математике часто функцию
определения
или
и областью значений Y записывают в виде
.
Пусть имеются две простые функции
ластью определения функции
Эти функции запишем в виде
сложная функция
будет область значений функции f.
и
может быть изображена в виде
и
, соответственно. Тогда
с областью
, где об-
. Таким образом, сложная функция оказалась «расщеплен-
ной» в последовательность функций
З а м е ч а н и е. В общем случае
и
и
.
– раз-
ные функции!
6. Правила построения диаграмм сложных функций сформулиро-
ваны на основе описанной выше конструкции и состоят в следующем.
1. Диаграмма строится слева направо, начиная от аргумента x, до
значения всей функции y. Она «расщепляет» сложную функцию в
последовательность простых функций, которые на диаграмме изобра-
,
жаются так:
скобки
,
,
– держать (сохранять) место для аргумента функции f,
, где
. Назначение
которым будет выражение, записанное на ветви диаграммы слева от
этой функции.
2. Число ветвей в диаграмме равно числу простых функций от ар-
гумента
.
46
3. Арифметические операции:
+ y
x
x
1
2
1
y
x
x
1
2
1
-
1 2 1
x x y
1 2 1
x x y
y
x
x
1
2
1
y
x
x
1
2
1
-
1 2 1
x x y
1 2 1
/x x y
lncosyx
x
x
cosx
Cos()
x
cosx
ln()
y
Cos()
ln()
y
x
2
lncos (2 5)yx
x
25x
cos
2
ln
2 +5x
Cos()
ln()
y
x
()
2
2
lg 1 sinyx
2 5 arctg(cos )xx
sin x
cosx
5
x
П р и м е р 2. Построить диаграмму функции
.
Р е ш е н и е. Построение диаграммы начинается с изображения исходного аргумента всей функции
венно зависит только функция
. От аргумента
непосредст-
. Поэтому диаграмма будет нераз-
ветвленной. Достраиваем диаграмму элементом:
Кружок справа от стрелки – это значение функции
дет аргументом следующей функции:
. Дорисовываем эту функ-
цию и окончательно получаем всю диаграмму для функции
, которое бу-
:
.
П р и м е р 3. Построить диаграмму функции
Р е ш е н и е. Диаграмма будет иметь одну ветвь, так как аргумент
входит только в состав двучлена
функции
, которая, в свою очередь, является аргументом функ-
. Этот двучлен – аргумент
.
.
ции возведения в квадрат
гарифмической функции
П р и м е р 4. Построить диаграмму функции
Р е ш е н и е. Так как от аргумента x непосредственно зависят три
функции
, а последняя – является аргументом ло-
. Диаграмма имеет вид
.
.
,
и
, то в диаграмме будет три ветви: первая
47
ветвь изображает функцию
2
lg 1 sin x
25x
arctg(cos )x
y
x
2*5
()
S
i
n
() +1
2
lg
C
o
s
arctg
(
)
()
(
)
()
y
2
arctg ln 1yx
()
ln()
y
x
() +12arctg
y
arctg
'
arctg
2
1
1
2
2
2
слева от стрелки с arctg
1
стрелка с ln 1
1 ln 1
x
x
, вторая – функцию
и
третья ветвь – функцию
. Каждая ветвь строится как в пре-
дыдущем примере. Все ветви связаны арифметическими операциями.
На рисунке представлен окончательный вид диаграммы:
2.2. Вычисление производной сложных функций
Имея диаграмму сложной функции, нетрудно найти производную.
Для этого достаточно перемещаться вдоль ее ветвей справа налево (от
к x), по таблице 1 вычислять производные на каждой «стрелке» и
перемножать их (правило V в таблице 2).
З а м е ч а н и е. Рассматриваемая диаграммная техника, очевидно,
требуется только для овладения навыками вычисления производных.
П р и м е р 5. Вычислить производную функции
Р е ш е н и е. Диаграмма функции имеет вид:
.
.
Учитывая формулу для производной сложной функции (правило V
в табл. 2) и то, что в каждой скобке, как аргумент, должна быть запи-
сана функция, стоящая слева над «стрелкой», находим
диаграмме справа налево.
Шаг 1: производная от
по аргументу
, двигаясь по
, т. е.
;
48
шаг 2: по правилу V в таблице 2 умножаем полученное выражение на
2
1
2
2ln x
ln
ln
2
2
11
' 2ln
1 ln 1
yx
x
x
3
tg (5 1)
sintg(5 1)
x
y
x
3
tg (5 1)ux
sintg(5 1)vx
(
)
S
i
n
(
)
y
x
tg()
5() +1
:
_
u
v
3
'y
2
'
''u vu v u
v
v
3
2
2
2
для нахождения ' двигаемся по ветви справа налево,
вычисляя производные от , от tg , и от 5 1,
1
и перемножая их : ' 3tg (5 1) 5.
cos (5 1)
1
Аналогично, находим ' costg(5 1) 5
cos (5 1)
u
ux
x
vx
x
производную от
дает
или
по аргументу
, что по формуле 2 табл. 1,
, так как слева от этой стрелки стоит стрелка с
функцией
;
шаг 3: вновь по правилу V в табл. 2 умножаем полученное выражение на производную от
тельно получаем ответ:
по аргументу
, т.е. по x и оконча-
.
П р и м е р 6. Вычислить производную функции
Р е ш е н и е. Строим диаграмму функции, на которой для удобства
вычислений производной введены обозначения ветвей:
.
Вычисляем производную, двигаясь по диаграмме справа налево:
.
,
49
2
3
22
2
15tg (5 1) 5costg(5 1)
sintg(5 1) tg (5 1)
cos (5 1) cos (5 1)
sin tg(5 1)
xx
xx
xx
x
2
22
5tg (5 1)
3sintg(5 1) tg(5 1)costg(5 1)
cos (5 1)sin tg(5 1)
x
x x x
xx
2
cosyx
tg2 lnsinxx
2
1
cosux
2
tg2ux
lnsinvx
y
x
+
()
2
C
o
s
u
u
u
1
2
S
i
n
v
(
)
()
(
)
2 tg
()
ln()
'y
1 2 1 2 1
( )' ' ' ' ' ' ' 2cos sin ;uv u v uv u u v u u v u x x
2
2
1
' 2;
cos 2ux
2
12
' cos 2sin cos lnsin
sin
cos
v x x x x
x
x
2
cos
cos tg2
sin
x
xx
x
cos
sin
x
yx
()
()
gx
fx
( ) ( )ln ( )
()
g x g x f x
f x e
П р и м е р 7. Вычислить производную функции
.
Р е ш е н и е. Строим диаграмму функции, на которой введены обозначения ветвей:
,
,
.
Находим производную, двигаясь по диаграмме справа налево:
. Это и есть ответ.
Особое внимание необходимо обратить на пример следующего вида.
.
П р и м е р 8. Вычислить производную функции
Р е ш е н и е. Указанная функция относится к типу
.
и на-
зывается степенно – показательной функцией. Она сочетает в себе
признаки и степенной функции и показательной. Такой функции нет в
таблице производных. Для вычисления ее производной необходимо,
прежде всего, преобразовать функцию, используя свойство логариф-
мической функции:
. Тем самым, функция превра-
тилась в сложную показательную функцию, от которой уже можно на-
50
ходить производную. В нашем примере получим
cos
sin
x
yx
cos lnsinxx
e
' по правилу V таблицы 2y
cos lnsin
cos lnsin '
xx
e x x
по правилу III таблицы 2
cos lnsin
cos
sin lncos cos
sin
xx
x
e x x x
x
22
cos
cos sin lnsin
sin
sin
x
x x x
x
x
5
3
4
7 ( 6)
41
xx
y
xx
5
3
4
7 ( 6)
ln ln ln ln ln
41
x x a
y a b
b
xx
5
3
4
ln( ) ln ln ,
ln 7 ( 6) ln 4 1
ln ln
b
ab a b
x x x x
a b a
1 1 1
ln( 7) 5ln( 6) ln( 4) ln( 1)
3 4 2
x x x x
1 1 1
ln ln( 7) 5ln( 6) ln( 4) ln( 1)
3 4 2
y x x x x
x
. Поэтому:
.
В некоторых случаях для вычисления производных применяется
метод логарифмического дифференцирования.
П р и м е р 9. Вычислить производную функции
.
Р е ш е н и е. Если попытаться находить производную «напрямую»
от этой функции, возникнут столь громоздкие выражения, в которых
легко сделать ошибки. Можно существенно упростить задачу, воспользовавшись свойствами логарифма. Для этого, прежде всего прологарифмируем заданную функцию:
Таким образом,
Теперь дифференцируем это равенство по переменной
ти:
.
.
. В левой час-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]