Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
И. С. Шабаршина, Е. В. Корохова, В. В. Корохов
ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ.
Задачи системного анализа и управления
Учебное пособие
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2019
УДК 004.4:303.732:519.8:517:519.71
ББК 32.973-018.2я73
Ш 12
Печатается по решению кафедры системного анализа и управления
Института высоких технологий и пьезотехники Южного федерального
университета (протокол № 1 от 24 января 2018 г.)
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматика и телемеханика»
Южно-Российского государственного политехнического
университета (НПИ) им. М. И. Платова К. Ю. Соломенцев
кандидат технических наук, доцент кафедры информационных и измерительных
технологий Института высоких технологий и пьезотехники Южного федерального
университета А. В. Нагаенко
Шабаршина, И. С.
Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и
управления : учебное пособие / И. С. Шабаршина, Е. В. Корохова,
В. В. Корохов ; Южный федеральный университет. – Ростов-наДону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2019. – 142 с.
ISBN 978-5-9275-3118-9
Учебное пособие предназначено для студентов Южного федерального универси-
тета, обучающихся по направлениям укрупненных групп специальностей
27.00.00 «Управление в технических системах», 01.00.00 «Математика и механика»,
09.00.00 «Информатика и вычислительная техника», для формирования компетенций,
связанных с применением компьютерных технологий при решении задач моделирования,
анализа и управления различными системами, в том числе организационно-экономическими. Пособие может быть использовано преподавателями вузов, а также студентами
бакалавриата и магистратуры инженерных и естественнонаучных направлений при изучении основ компьютерной математики, организационно-экономического и математического моделирования и других дисциплин, а также в своей практической
деятельности.
УДК 004.4:303.732:519.8:517:519.71
ББК 32.973-018.2я73
ISBN 978-5-9275-3118-9
© Южный федеральный университет, 2019
© Шабаршина И. С., Корохова Е. В., Корохов В. В., 2019
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2019
Ш 12
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................................................................... 4
1. Основы работы с системой Mathcad .......................................................... 8
1.1. Основные понятия и приемы работы в системе ........................................ 8
1.2. Матричные вычисления ............................................................................. 16
1.3. Символьные преобразования .................................................................... 22
1.4. Основы графической визуализации данных ............................................ 26
1.5. Основы программирования ....................................................................... 36
2. Основы математических расчетов........................................................... 41
2.1. Решение уравнений и неравенств ............................................................. 41
2.2. Решение систем уравнений и неравенств ................................................ 48
2.3. Нахождение пределов, производных, интегралов .................................. 52
2.4. Вычисление сумм и произведений ........................................................... 59
3. Решение задач оптимизации ..................................................................... 62
3.1. Поиск экстремума функции одной переменной...................................... 62
3.2. Поиск экстремума функции нескольких переменных ............................ 64
3.3. Решение задач линейного программирования ........................................ 67
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления ....... 81
4.1. Численное решение дифференциальных уравнений и систем .............. 81
4.2. Интегральные и Z-преобразования ........................................................... 84
4.3. Аналитическое решение задач исследования процессов систем,
описываемых дифференциальными и разностными уравнениями ............. 88
4.4. Решение задач моделирования экономических систем .......................... 95
Задания для самостоятельной работы ...................................................... 110
Индивидуальные задания ............................................................................ 115
Тестовые задания ........................................................................................... 123
Литература ...................................................................................................... 140
ВВЕДЕНИЕ
Работа современного инженера, менеджера, ученого предполагает наличие системного мышления и свободного владения информационными технологиями и математическими методами. Целью учебного пособия является
формирование актуальных компетенций, необходимых при решении практических задач системного анализа и управления с использованием математического пакета Mathcad. Основная концепция данной книги заключается
в том, чтобы показать, как, используя системы компьютерной математики,
можно уничтожить рутину математических расчетов при решении задач и
обработке экспериментальных данных. Это стимулирует интерес учащихся
одновременно к математике, новейшим информационным технологиям и
программированию, раскрывает возможности практического применения
полученных знаний в своей профессиональной деятельности. Работая с системами компьютерной математики, учащийся не только осваивает и применяет возможности математики, но и закрепляет и существенно расширяет
свои навыки работы с прикладными программами. Одновременно он осваивает и основы визуально-ориентированного прикладного программирования.
Учебник состоит из 4 разделов. В разделе 1 происходит освоение первых
шагов в работе с одной из самых популярных и массовых систем – Mathcad;
описаны особенности создания и редактирования массивов данных и операции с ними; показано, как применять возможности символьного процессора
при различных алгебраических преобразованиях; а также освещены основы
графической визуализации данных для двумерного и трехмерного случаев,
описаны методы задания, редактирования и форматирования графиков. В
разделе 2 изучены методы решения уравнений, сис-тем линейных и нелинейных уравнений средствами Mathcad; рассмотрены способности системы
Mathcad в области решения неравенств и системы неравенств, а также основы математических вычислений и методы их реализации в данной системе, такие как нахождение производных и интегралов, вычисление пределов, сумм и произведений. В разделе 3 изложены методы поиска экстремума
функций одной и нескольких переменных, решения задач линейного программирования, транспортных задач с правильным и неправильным балансом. В разделе 4 описаны способы численного решения дифференциальных
Введение
5
уравнений и систем в Mathcad; методы нахождения интегральных преобразований функций-оригиналов, в том числе и периодических, и Z-преобразований последовательностей; операционные методы решения дифференциальных и разностных уравнений и систем; рассмотрены прикладные задачи
построения и анализа экономико-математических моделей. В пособии приведены упражнения как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной
работы студентов.
Учебное пособие соответствует программе дисциплины «Основы компь-
ютерной математики», разработано для студентов, обучающихся по направлениям укрупненных групп специальностей 27.00.00 «Управление в технических системах», 01.00.00 «Математика и механика», 09.00.00 «Информатика и вычислительная техника», для формирования компетенций,
связанных с применением компьютерных технологий при решении задач
моделирования, анализа и управления различными системами, в том числе
организационно-экономическими. Пособие может быть использовано преподавателями вузов, а также студентами бакалавриата и магистратуры инженерных и естественнонаучных направлений при изучении основ компьютерной математики, организационно-экономического и математического
моделирования и других дисциплин, а также в своей практической деятельности. Материал, содержащийся в пособии, может быть полезен как студентам, изучающим данный курс, в самостоятельной работе в течение семестра
и при подготовке к зачетам и экзаменам, так и преподавателям при планировании и проведении аудиторных занятий.
Пособие может быть интересно уже работающим специалистам, а также
слушателям соответствующих курсов повышения квалификации, которые
получат реальную возможность самостоятельно ставить и решать многие
практические задачи в сфере инженерных расчетов.
Цели, задачи и требования к результатам освоения дисциплины
Цели освоения дисциплины «Основы компьютерной математики»:
– сформировать у студентов теоретические основы знаний;
– показать значимость применения современных информационных технологий;
– познакомить с основными средствами компьютерной математики для
решения математических, физических, технических задач, задач системного
6
Введение
анализа, с наиболее известными системами компьютерной математики, такими как Mathematica, Maple, Matlab, Mathcad;
– изучить теоретические основы и инструментальные средства системы
Mathcad;
– освоить практические аспекты применения популярного математиче-
ского пакета в математических и инженерных расчетах.
Задачи освоения дисциплины:
– выработка знаний, умений и навыков, необходимых студентам для ре-
шения задач;
– формирование у студентов целостного системного представления о со-
временных системах компьютерной математики, об особенностях программных продуктов, реализующих основные вычислительные процессы, и
умении применять полученные знания и навыки при решении прикладных
задач.
Учебная дисциплина «Основы компьютерной математики» относится к
циклу дисциплин вариативной части блока 1. Для изучения данной учебной
дисциплины необходимы следующие знания, умения и навыки, формируемые предшествующими и текущими дисциплинами «Информатика», «Математика», «Физика»:
знания – основных понятий алгебры и аналитической геометрии, математического анализа, общей физики, структур алгоритмов; структур данных;
умения – выполнение основных операций с текстом в текстовом редакторе, решение уравнений, неравенств, систем, выполнение операций с матрицами, вычисление пределов, техника дифференцирования и интегрирования, исследование функций, разложения по формуле Тейлора, параметрическое задание кривых и поверхностей, решение задач по общей физике;
навыки – владение типовыми методами работы с файловой системой
компьютера; методами работы со стандартными приложениями Windows;
методами создания и редактирования документов с помощью текстового
процессора.
Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы
знания, умения и навыки, формируемые данной учебной дисциплиной:
«Объектно-ориентированное программирование», «Численные методы»,
«Математические основы теории управления», «Основы статистического
Введение
7
анализа», «Теория автоматического управления», «Методы оптимизации»,
«Системный анализ и принятие решений» и др.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов
следующих компетенций в соответствии с образовательным стандартом ВО
ЮФУ по направлению подготовки 27.03.03 – Системный анализ и управление:
ОПК-5 – способность эффективно применять технические и программ-
ные средства и технологии в профессиональной деятельности;
ПК-4 – способность создавать прикладное программное обеспечение для
решения задач системного анализа и синтеза сложных систем.
Таблица 1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине,
соотнесенных c планируемыми результатами освоения
образовательной программы
Шифр и формули-
ровка
компетенций (ре-
зультаты
освоения ОП)
Элементы компетенций, формируемые
дисциплиной
Общепрофессиональные компетенции (ОПК)
ОПК-5: способность эффективно
применять технические и
программные
средства и технологии в профессиональной
деятельности
Знания: сформировать базовые знания о функционале
системы компьютерной математики Mathcad,
об использовании инструментария системы для
использования в профессиональной деятельности
Умения: эффективно использовать системы компьютерной математики обеспечения с учетом задач профессиональной деятельности
Навыки: овладеть приемами эффективной работы
в системе компьютерной математики Mathcad для решения задач профессиональной деятельности
Профессиональные компетенции (ПК)
ПК-4: способность
создавать прикладное программное
обеспечение для
решения задач
системного
анализа и синтеза
сложных систем
Знания: формирование целостного системного представления о
современных системах компьютерной математики, об особенностях программных продуктов, реализующих основные вычислительные процессы, о методах решения прикладных задач системного анализа с помощью системы Mathcad
Умения: закрепить и существенно расширить умение в работе с
прикладными программами, параллельно освоить основы визуально-ориентированного прикладного программирования
Навыки: применения системы компьютерной
математики Mathcad для решения задач системного
анализа
1. ОСНОВЫ РАБОТЫ С СИСТЕМОЙ MATHCAD
1.1. Основные понятия и приемы работы в системе
Mathcad – одна из наиболее распространенных систем компьютерной математики, направленная на выполнение как аналитических, так и численных
расчетов с использованием естественного математического языка (подробнее с составом, возможностями, особенностями использования системы
Mathcad можно ознакомиться в [14]).
Отличительной чертой и неоспоримым достоинством системы Mathcad
является его сравнительная простота. Каждый, кто знаком с математической
формой записи и владеет основными навыками работы на компьютере и не
обладает специальными знаниями в области программирования, имеет возможность воспользоваться всеми преимуществами указанной системы.
Пользователь, фактически, оформляет в среде Mathcad свои математические
расчеты с использованием встроенного редактора формул, как при написании на бумаге.
Взаимодействие пользователя с системой Mathcad происходит на уровне
так называемого входного языка, максимально приближенного к стандартному языку описания математических задач. Входной язык Mathcad относится к интерпретирующему типу. Это означает, что система при опознании
какого-либо объекта немедленно выполняет указанные в блоке операции.
Объектами системы могут быть формульные, текстовые и графические
блоки. При этом формульные блоки могут иметь особые признаки – атрибуты, например, активности, пассивности и оптимизации.
Кроме элементов управления, которые являются характерными для типового текстового редактора, Mathcad обладает дополнительными средствами для ввода и редактирования математических символов, к которым
относится панель инструментов Math. На рисунке 1.1 представлены все рабочие панели семейства Math.
Необходимо учесть, что Mathcad осуществляет действия над блоками в
строгом порядке – блоки анализируются слева направо и сверху вниз. Это означает, что недопустимо располагать блоки в документе в произвольном порядке.
Блоки, готовящие какие-либо операции, должны предшествовать блокам, осуществляющим эти операции. Иначе появится сообщение об ошибке.
1. Основы работы с системой Mathcad
9
Рис. 1.1. Рабочие панели семейства Math
Ввод математических выражений производится с помощью клавиатуры
и кнопок панелей инструментов. Арифметические операции в рабочем окне
Mathcad представляются в обычной математической нотации – произведение как точка, деление как дробная черта и т. д. Если в конце выражения
ввести оператор вывода « = », Mathcad тут же отобразит результат вычислений, поскольку по умолчанию установлен режим автоматических вычислений.
Рассмотрим возможности задания переменных и функций в системе
Mathcad.
Переменные – это некоторые обобщенные объекты данных, значения ко-
торых могут изменяться по ходу выполнения документа. Используя имя переменной, можно обращаться к ней из любого участка документа, расположенного ниже или правее выражения ее задания. Для названия переменных
можно использовать произвольный набор латинских и греческих букв в сочетании с арабскими цифрами, главное, чтобы этот набор не начинался с
цифры. Имена переменных чувствительны к регистру, например, Sum1 и
sum1 – это разные переменные.
В Mathcad очень активно используются ранжированные переменные,
т. е. переменные, имеющие ряд равноотстоящих друг от друга (на величину
10
1. Основы работы с системой Mathcad
шага) значений, как аналог программных операторов цикла. В отличие от
обычной переменной, все значения ранжированной переменной не сохраняются в памяти, а генерируются «на лету» при обращении к ней. Ранжированная переменная определяется следующим выражением:
где a – начальное значение, h – шаг, b – конечное значение, в квадратных
скобках указан необязательный параметр. Если его нет, то шаг, по умолча-
нию, равен 1. Двоеточие [..] вводится кнопкой панели Matrix.
Пример 1.1. Определим ранжированную переменную на отрезке [2; 4] с
шагом 0,3. Результат представлен на рисунке 1.2.
Отметим, что если разность между конечным и начальным значениями
не кратна шагу, то конечное значение не входит в последовательность значений дискретной переменной. Заметим также, что в Mathcad имеются следующие встроенные математические константы:
Конструкция, применяемая в Mathcad для определения функции, не
отличается от той, что используется в большинстве учебников по математике. При задании имени функции применяется такое же правило, как
и при задании имени переменной. Если правая часть определения функции содержит буквенные параметры, все они должны иметь численное
значение. Иначе неопределенные параметры необходимо включить в
список аргументов функции в левой части определения, разделяя их запятыми.
Рис. 1.2. Задание ранжированной переменной
e 2.718=
3.142=
% 0.01=
1 10
307
=
x 2 2.3 4=
x
2
2.3
2.6
2.9
3.2
3.5
3.8
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]