Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
4. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
И УПРАВЛЕНИЯ
Профессиональная деятельность системного аналитика связана с разрешением противоречий и проблем, возникающих в сложных системах. При
этом одним из важнейших инструментариев аналитика является математическое моделирование, позволяющее создать образ сложной системы и исследовать его с целью определения оптимальных параметров и режимов
функционирования. Специалисты в области управления организационнотехническими системами должны обладать знаниями как в сфере организационно-экономического моделирования, так и в сфере моделирования технических систем, понимать и применять методы теории управления для
обеспечения эффективного функционирования этих систем. Пакет Mathcad
предоставляет аналитику мощный инструментарий для построения и анализа различных математических моделей и решения задач оптимизации.
В случае непрерывных систем автоматического регулирования (САР) с
сосредоточенными параметрами их математическим описанием (моделью)
являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с частными производными используются для описания непрерывных САР с распределенными параметрами. Дискретные системы
представляются математическими моделями в виде разностных уравнений.
Процессы в САР могут быть описаны как линейными, так и нелинейными
уравнениями, соответственно, и системы автоматического регулирования
относят к линейным или нелинейным. Среди линейных систем значительная
часть имеет постоянные параметры. Такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Для линейных систем, в которых параметры изменяются во времени, описанием служат линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.
4.1. Численное решение дифференциальных уравнений и систем
Система компьютерной математики Mathcad позволяет численно решать
дифференциальные уравнения и системы. Самый простой и наглядный способ их решения с помощью вычислительного блока Given – Odesolve.
82
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Для решения задачи Коши для одного обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения на интервале (t0; t1) используется функция Odesolve(t, t1, step),
где t – переменная, относительно которой оно ищется, step – необязательный
параметр численного метода, определяющий количество шагов, за которое
решение будет получено. Между ключевыми словами Given и Odesolve вводится само дифференциальное уравнение, а также начальные условия, записанные с помощью логических операторов.
При решении системы дифференциальных уравнений задействуется до-
полнительный параметр vector функции Odesolve(vector, t, t1), содержащий
имена функций без имени переменной, относительно которых решается система дифференциальных уравнений.
Пример 4.1. Решить задачи Коши:
a)
;
b)
.
Решения приведены на рисунках 4.1 и 4.2. Заметим, для набора штриха
служит комбинация клавиш [Ctrl]+[F7] и при вводе дифференциального
уравнения необходимо указать, что y является функцией от переменной x.
Рис. 4.1. Численное решение дифференциального уравнения первого порядка
При решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений также можно воспользоваться блоком Given – Odesolve. В этом
Given
Given
x
y x( )
d
d
y x( ) tan x( )−
1
cos x( )
=
y 0( ) 0=
y Odesolve x 1.5 ( )=
0 0.5 1 1.5
10
20
y x( )
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
83
случае необходимо вместо начальных данных задать краевые условия на
границах интервала (рис. 4.3).
Рис. 4.2. Численное решение дифференциального уравнения второго порядка
Рис. 4.3. Численное решение краевой задачи
Пример 4.2. Решить систему дифференциальных уравнений:
Решение приведено на рисунке 4.4.
Given
x 1+( )y'' x( ) x y' x( )
2
+ y' x( )=
y 1( ) 2−=
y' 1( ) 4=
y Odesolve x 5 ( )=
1 2 3 4 5
2−
1−
1
2
3
y x( )
Given
y'' x( ) y x( )+ 1=
y 0( ) 0=
y
π
2
0=
y Odesolve x 2 20 ( )=
0 0.5 1 1.5 2
0.6−
0.4−
0.2−
0.2
0.4
0.6
y x( )
84
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Рис. 4.4. Численное решение системы дифференциальных уравнений
4.2. Интегральные и Z-преобразования
Интегральные преобразования широко применяются в операционном исчислении, поскольку многие математические операции проще проводить
над изображениями, чем над оригиналами. Например, при данных преобразованиях линейное обыкновенное дифференциальное уравнение переходит
в алгебраическое уравнение.
Изображением по Лапласу функции-оригинала f(t) называется функция
комплексной переменной s, определяемая равенством [15]
Преобразование Фурье функции-оригинала g(t) (см. [15]) определяется в
системе Mathcad следующим образом:
Для применения к указанной функции соответствующего интегрального
преобразования используются следующие ключевые слова, расположенные
Given
xdd
4z x( )− y x( )− 36x+ 1=
y 0( ) 0=
x
z x( )
d
d
2z x( )+ y x( )− 2ex+ 0=
z 0( ) 1=
y
z
Odesolve
y
z
x 2
=
0 0.5 1 1.5 2
100−
50−
y x( )
z x( )
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
85
на панели Symbolic: laplace – преобразование Лапласа и fourier – преобразование Фурье. На рисунке 4.5 продемонстрировано применение интегральных преобразований. В результате применения преобразования Лапласа получены функции, зависящие от переменной s. За это действие отвечает параметр, содержащийся во втором маркере после оператора laplace. Здесь Δ –
-функция Дирака ([15]).
Рис. 4.5. Применение интегральных преобразований
Наряду с прямыми преобразованиями имеется возможность совершать
обратные интегральные преобразования с помощью ключевых слов invfou-
rier – обратное преобразование Фурье, invlaplace – обратное преобразование
Лапласа (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Применение обратных интегральных преобразований
Пример 4.3. Построить график оригинала
и
найти его изображение по Лапласу.
Решение. Определим функцию f(t) следующим образом:
t3cos 3t( ) laplace t s
6 s454 s2− 81+
( )
s29+
( )
4
→
etcosh t( )+ laplace t s
2 s 1+
s21−
→
etfourier t 2 i−( )→
cos 3t( ) fourier t 3−( ) 3+( )+( )→
s sin 5( ) 3cos 5( )+
s29+
1
s
2
+ invlaplace s t t sin 3 t 5+( )+→
i−( ) i+( )−( )
invfourier t
simplify
sinh t( )→
86
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
где (t) – функция Хевисайда (см. [15]). В Mathcad данная функция обозначается (t). Теперь к заданной таким образом функции можно применять
преобразование Лапласа. Решение приведено на рисунке 4.7.
Рис. 4.7. Изображение по Лапласу
Пример 4.4. Построить график оригинала
и найти его изображение по Лапласу.
Решение: функция f(t) является периодической на [0; ∞) с периодом
T = 1, определим функцию
и построим ее график (рис. 4.8). Функция
f(t) образована повторением функции
, т. е.
Для построения графика оригинала зададим функцию f(t, k), где k – число
повторений функции
, и f(t) = f(t, k) на [0; k]. Далее найдем преобразо-
вание Лапласа
оригинала
и изображение F(p) периодической
функции f(t) по формуле
f t( ) etsin 8t( ) t
8
−
=
1− 0 1 2 3
20−
10−
10
20
f t( )
f t( ) laplace t p
e
p 1−( )
8
−
p 1−( )
p22 p− 65+
−→
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
87
Рис. 4.8. Изображение по Лапласу периодической функции
Для применения к функции Z-преобразования используется оператор
ztrans, обратное преобразование совершается с помощью ключевого слова
invztrans (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Прямое и обратное Z-преобразования
Отметим, что Z-преобразованием последовательности называется
функция
f0t( ) t t( ) t 1−( )−( )=
f t k ( )
0
k 1−
n
f0t n−( ) t n−( )
( )
=
=
0 2 4
0.5−
0.5
1
1.5
f0t( )
t
0 2 4
0.5−
0.5
1
1.5
f t 10 ( )
t
F0p( ) f0t( ) laplace t p
e
p−
p ep−+ 1−
p
2
−→=
F p( )
0
p
ep1−
simplify
1
p
2
1
p ep1−
( )
−→=
1−( )n1+ ztrans n z
2 z2
z21−
→
3 z
z 3−( )
2
invztrans z n 3nn→
88
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Пример 4.5. Найти Z-изображение последовательности
Решение приведено на рисунке 4.10.
Рис. 4.10. Z-изображение последовательности
4.3. Аналитическое решение задач исследования
процессов систем, описываемых дифференциальными
и разностными уравнениями
Методы операционного исчисления являются одним из важнейших математических инструментов, используемых в теории управления. Для решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в этом случае используют преобразование Лапласа, которое переводит
дифференциальное уравнение в соответствующее алгебраическое. Аналитически решив последнее и применив к нему операцию обратного преобразования Лапласа, получаем решение задачи Коши.
Пример 4.6. Найти реакцию одномерной динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением, на входной сигнал при заданных
начальных условиях:
Решение: применяем к входному сигналу g(x) и дифференциальному выражению преобразование Лапласа, учитывая начальное условие (рис. 4.10);
преобразование Лапласа функции y(x) обозначим через Y; далее полученное
алгебраическое уравнение разрешаем относительно переменной Y– изобра-
жения по Лапласу выходного сигнала и применяем обратное преобразование
Лапласа. Таким образом, нашли выходной сигнал
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
89
График
также представлен на рисунке 4.11.
Рис. 4.11. Реакция одномерной динамической системы на входной сигнал
Пример 4.7. Найти законы изменения векторов состояния
и вы-
хода
многомерной системы, описываемой системой
du x y ( )
x
y x( )
d
d
3y x( )+=
g x( ) ex−=
G p( ) g x( ) laplace x p
1
p 1+
→=
y x( ) Y p( ) invlaplace p x
ex−e
2− x
1+
( )
2
→=
0 1 2 3 4 5
0.2−
0.5
1.2
y x( )
x
90
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, где правая часть моделирует входной сигнал:
Решение: применяем к системе дифференциальных уравнений преобразование Лапласа, учитывая начальные условия (рис. 4.12); преобразование
Лапласа функции y(x) обозначим через Y, функции z(x) – через Z, входного
сигнала g(x) – через G(p); далее полученную систему алгебраических уравнений разрешаем относительно переменных Y и Z и применяем обратное
преобразование Лапласа. Таким образом, находим вектор состояния и выходной сигнал
Графики y(x) и z(x) также представлены на рисунке 4.12.
Пример 4.8. Дискретная система описывается уравнением
Найти реакцию системы на входной сигнал
при начальном
условии
Решение: применяем к левой части уравнения и входному сигналу
Z-преобразование, учитывая начальное условие (рис. 4.13);
Z-преобразование последовательности
обозначим через F, входного сиг-
нала
– через L(z); далее полученное алгебраическое уравнение
разрешаем относительно переменной F и применяем обратное
Z-преобразование. Таким образом, нашли выходной сигнал
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]