Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
2. Основы математических расчетов
61
Решение приведено на рисунке 2.29. Заметим, что предварительно сле-
дует раскрыть скобки в числителе, иначе Mathcad не справляется с поставленной задачей.
Рис. 2.29. Нахождение суммы ряда
0n
e
s 2 n s+( )−
e
2 s 2 n s+( )−
+
1 s2+
=
assume s 0
rewrite exp
simplify
factor
e
s−
s21+
( )
e
s−
1−
( )
−→
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
3.1. Поиск экстремума функции одной переменной
Для решения задач поиска минимума и максимума в Mathcad имеются
встроенные функции Minimize(f, x1, x2, …) (определяет минимум) и
Maximize(f, x1, x2, …) (определяет максимум). Перед обращением к указанным функциям обязательно задать начальное приближение параметров.
Пример 3.1. Найти точки локального экстремума следующих функций
одной переменной:
Решение: графически определим приблизительное расположение точек
локального экстремума. У функции y(x) имеется одна точка локального минимума и одна точка локального максимума (рис. 3.1). В качестве начального приближения выбираем x = 0, далее применяем функции Minimize(y, x)
и Maximize(y, x).
Рис. 3.1. Поиск точек локального экстремума функции y(x)
При нахождении точек локального экстремума в случае их бесконечного
количества целесообразно использовать блок Given – Minimize или Given –
Maximize и указать интервал поиска необходимого локального экстремума.
Найдем локальный минимум функции g(x) на (1; 3) (рис. 3.2). Аналогично
находятся и другие точки локального экстремума данной функции с помощью функций Minimize и Maximize.
Пример 3.2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции одной
переменной на отрезке [0; 4]:
y x( ) 3 x2 x3− 3 x+ 4−=
2− 0 2 4
20−
10−
10
20
y x( )
x 0=
x
min
Minimize y x ( )=
x
min
0.414−=
x
max
Maximize y x ( )=
x
max
2.414=
3. Решение задач оптимизации
63
Рис. 3.2. Поиск точек локального экстремума функции g(x)
Решение: построим график функции на отрезке [0; 4], чтобы в дальней-
шем удостовериться в правильности решения. Зададим начальное приближение x = 1, внутри вычислительных блоков Given – Minimize и Given –
Maximize укажем отрезок, на котором происходит поиск наименьшего и
наибольшего значений функции (рис. 3.3). Итак, наименьшее значение
функции на отрезке [0; 4] достигается в точке x = 0 и равно –4, наибольшее –
в точке x = 2,414 и равно 6,657.
Рис. 3.3. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной
g x( ) cos x( )22sin x( )−=
10− 6− 2− 2 6 10
2−
1−
1
2
g x( )
x 0=
Given
1 x 3
x
min
Minimize g x ( )=
x
min
1.571=
y x( ) 3 x2 x3− 3 x+ 4−=
0 1 2 3 4
10−
5−
5
10
y x( )
x 1=
Given
0 x 4
x
min
Minimize y x ( )=
x
min
0=
y x
min
( )
4−=
Given
0 x 4
x
max
Maximize y x ( )=
x
max
2.414=
y x
max
( )
6.657=
64
3. Решение задач оптимизации
3.2. Поиск экстремума функции нескольких переменных
Нахождение экстремума, наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных не несет принципиальных особенностей по сравнению с функциями одной переменной.
Пример 3.3. Найти точки локального экстремума функции
Решение: определим функцию f(x, y), построим поверхность и контурный
график данной функции. При нахождении точек локального максимума Mathcad
выдает ошибку, окрашивая функцию Maximize в красный цвет, а анализ графика
функции показывает, что точки локального максимума отсутствуют. Настроим
контурный график следующим образом: диапазон изменения переменной x
установим [0; 6], переменной y – [-4; 4] , число узлов сетки – равным 90. Графики
показывают, что у данной функции существуют две точки локального минимума. Выбирая точки начального приближения (4; 2) и (4; -2), с помощью функции Minimize находим их (рис. 3.4).
Пример 3.4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на компакте: .
Решение: зададим функцию f(x, y), начальное приближение x = 1, y = 1,
внутри вычислительных блоков Given – Minimize и Given – Maximize укажем
неравенства, определяющие компакт, на котором происходит поиск
наименьшего и наибольшего значений функции (рис. 3.5). В результате по-
лучаем, что наименьшее значение равно -4,187 и достигается в точке ,
наибольшее значение равно 263 и достигается в точке .
Пример 3.5. Исследовать на условный экстремум функцию
при условии связи .
Решение: зададим функцию f(x, y) и параметрическое уравнение
цилиндра C(t, h) (рис. 3.6).
Построим данные поверхности, определив диапазоны изменения пере-
менных следующим образом: , ,
с количеством узлов сетки 80 и с количеством узлов
сетки 80.
3. Решение задач оптимизации
65
Далее построим в той же графической области линию пересечения G(t)
плоскости f и цилиндра C, для этого необходимо установить тип графика
«Scatter Plot». Здесь так же с количеством узлов сетки 80. Геомет-
рически задача сводится к исследованию на экстремум функции G(t).
Дальнейшее решение задачи приведено на рисунке 3.6.
Рис. 3.4. Точки локального экстремума функции двух переменных
f x y ( ) y42x y
2
− 2x2+ 7x− 7+=
f
f
x 1=
y 1=
Maximize f x y ( ) =Maximize f x y ( ) =
x 4=
y 2=
x
1
y
1
Minimize f x y ( )
3.5
1.871
==
f x1y1
( )
5.25−=
x 4=
y 2−=
x
2
y
2
Minimize f x y ( )
3.5
1.871−
==
f x2y2
( )
5.25−=
66
3. Решение задач оптимизации
Рис. 3.5. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных
f x y ( ) 2x 5y−=
C t h ( )
2cos t( )
2sin t( )
h
=
G t( )
2cos t( )
2sin t( )
4cos t( ) 10 sin t( )−
=
f C G
f x y ( ) y42x y
2
− 2x2+ 7x− 7+=
x 1=
y 1=
Given
x 0
y 0
x y+ 4
x
1
y
1
Minimize f x y ( )
2.5
1.5
==
f x1y1
( )
4.187−=
Given
x 0
y 0
x y+ 4
x
2
y
2
Maximize f x y ( )
0
4
==
f x2y2
( )
263=
3. Решение задач оптимизации
67
Рис. 3.6. Нахождение условного экстремума функции двух переменных
3.3. Решение задач линейного программирования
Пример 3.6. Механический цех может изготовить за смену 600 деталей № 1
или 1200 деталей № 2. Производственная мощность термического цеха, куда эти
детали поступают на обработку в тот же день, позволяет обработать за смену
1200 деталей № 1 или 800 деталей № 2. Цены на детали одинаковы.
Определить ежедневный производственный план выпуска деталей, мак-
симизирующий товарную продукцию предприятия, при следующих дополнительных условиях:
a) оба цеха работают в одну смену;
b) механический цех работает в три смены, а термический – в две смены;
c) предприятие работает в две смены, при этом деталей № 1 должно быть
изготовлено не более 800 шт., а деталей № 2 – не более 1000 шт ([4]).
Решение: составим математическую модель данной задачи. Предположим, что
предприятие ежедневно выпускает делателей № 1 и
делателей № 2. Зададим
целевую функцию
. Если объем рабочего времени за одну смену
принять за 1, то механический цех за смену изготавливает продукцию
за
долю смены, а термический – за
. Системы огра-
ничений для каждого случая представлены на рисунке 3.7. Для нахождения максимума целевой функции применяем вычислительный блок Given – Maximize.
x 0=
y 2=
Given
x
min
y
min
Minimize f x y ( )
0.744−
1.857
==
f x
minymin
( )
10.77−=
Given
x
max
y
max
Maximize f x y ( )
0.743
1.857−
==
f x
maxymax
( )
10.77=
68
3. Решение задач оптимизации
Таким образом, ежедневный план выпуска: a) 300 деталей № 1 и 600 деталей № 2; b) 1500 деталей № 1 и 600 деталей № 2; c) 700 деталей № 1 и 1000
деталей № 2.
Рис. 3.7. Поиск оптимального плана задачи линейного программирования
Пример 3.7. Решить задачу линейного программирования средствами
Mathcad:
Осуществить проверку решения геометрическим методом.
a)
b)
c)
ORIGIN 1=
f x( ) x1x2+=
x11=
x21=
Given
1
600
x
1
1
1200
x
2
+ 1
1
1200
x
1
1
800
x
2
+ 1
x 0
xaMaximize f x ( )
300
600
==
f x
a
( )
900=
Given
1
600
x
1
1
1200
x
2
+ 3
1
1200
x
1
1
800
x
2
+ 2
x 0
xbMaximize f x ( )
1500
600
==
f x
b
( )
2100=
Given
1
600
x
1
1
1200
x
2
+ 2
1
1200
x
1
1
800
x
2
+ 2
x1800
x21000
x 0
xcMaximize f x ( )
700
1000
==
f x
c
( )
1700=
3. Решение задач оптимизации
69
Решение: определим целевую функцию f(x), зададим начальное прибли-
жение
, внутри вычислительного блока Given – Maximize запишем
систему ограничений задачи, в результате действия функции Maximize полу-
чаем оптимальный план
и находим
(рис. 3.8).
Линии уровня целевой функции, определяемые уравнением f(x) = C, обра-
зуют семейство параллельных прямых. Для построения опорных прямых (т. е.
линий уровня, имеющих хотя бы одну общую точку с областью допустимых
решений и таких что указанная область расположена в одной из полуплоскостей, порожденных данной прямой) вводим функцию g(t, C) (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Решение простейшей задачи линейного программирования
Построим область допустимых решений задачи – множество, определя-
емое системой неравенств
которое представляет собой треугольник D; векторы нормали прямых, лежащие в указанных полуплоскостях; опорную прямую g(x1, 9), проходящую
через оптимальный план
(рис. 3.9).
ORIGIN 1=
f x( ) 2x1x2+=
x10=
x20=
Given
x1− 3x2+ 6
2x1x2+ 9
x1x2− 3
x 0
x
opt
Maximize f x ( )
3.6
1.8
==
f x
opt
( )
9=
70
3. Решение задач оптимизации
Рис. 3.9. Проверка решения задачи линейного программирования
D
v1
5
5 0.2+
11
3
11
3
0.6−
=
v2
3.3
3.3 0.6+
2.4
2.4 0.3+
=
v3
5
5 0.5−
2
2 0.5+
=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
v1
v2
v3
x_opt
I
II
III
opt_plan
x1
x2
v1
2
v2
2
v3
2
x
opt
2
2
x1
3
+
9 2 x1−
x1 3−
g x1 9 ( )
v1
1
v2
1
v3
1
x
opt
1
x1
a2g a19
( )
3==
b2g b19
( )
1==
f a( ) 9=
f b( ) 9=
x
opt
( ) a 1 −( ) b+
4 −
2 1+
→=
f x
opt
( )
( )
assume 0 1 9→
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]