Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
1. Основы работы с системой Mathcad
11
Помимо этого, Mathcad имеет множество встроенных элементарных,
специальных и статистических функций. Наиболее известные из них могут
вводиться с клавиатуры прямо их обозначениями, например, sin(x), cos(x),
ln(x) и т. д. На первом этапе освоения системы для облегчения ввода математических функций можно воспользоваться кнопкой панели инструментов
, которая выведет окно с полным перечнем функций, разбитым на те-
матические разделы (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Окно Insert Function
В Mathcad реализовано два принципиально разных подхода к вычисле-
ниям – численный и символьный. Численный расчет характеризуется тем,
что подсчет значения функции или выражения производится приблизительно, для чего используются специальные численные алгоритмы. Символьный же подсчет происходит с помощью различных аналитических преобразований. Чтобы система могла определить, каким именно способом должен быть произведен расчет, существуют два оператора вывода: численный
« = » и символьный « → » (рис. 1.4).
Отметим, что для символьного вывода не требуется предварительного
определения переменных, входящих в левую часть выражения. Что дает возможность решать уравнения с параметрами, вычислять неопределенные интегралы, производные функций и т. д. (рис. 1.4).
12
1. Основы работы с системой Mathcad
Рис. 1.4. Символьные и численные вычисления
Разберем действие операторов Mathcad и возможности задания операторов пользователя. Отметим два достаточно необычных оператора:
« » – оператор смешанной дроби и « » – оператор линейного деления
(рис. 1.5).
Рис. 1.5. Операторы смешанной дроби и линейного деления
На панели Boolean расположены булевы (или логические) операторы. Ре-
зультатом действия этих операторов являются только числа: 0, если записанное с их помощью логическое выражение ложно, и 1 при истинности логического выражения.
Программирование является одним из важнейших возможностей системы Mathcad и реализуется благодаря наличию специальных операторов,
расположенных на панели Programming.
Пример 1.2. Создадим функцию модуля вещественного числа и вычислим значения данной функции в нескольких точках (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Функция модуля вещественного числа
64
2
5
64.4=
x22x+ 1+
x31−
2
x 1−
1+
simplify
x 1+
x2x+ 1+
→
abs x( ) x x 0if
x− otherwise
=
abs 5−( ) 5=
abs 7( ) 7=
2317
39
+
43
39
→
50 5 2→
20ex20 ex→
2317
39
+ 1.103=
50 7.071=
x
sin 2x 3+( )
d
d
2 cos 2 x 3+( )→
0
a
xx sin x( )
d sin a( ) a cos a( )−→
1. Основы работы с системой Mathcad
13
Помимо этого, Mathcad поддерживает возможность задания новых опе-
раторов пользователя. Выбор знаков для операторов ограничен, следовательно, нельзя применять уже используемые знаки операторов.
В Mathcad существуют операторы двух типов: бинарные и унарные. Дей-
ствие унарных зависит от одной переменной, бинарный оператор определяется в общем случае функцией двух переменных.
Панель Evaluation применяется для вставки созданных пользователем
операторов в документы. Унарный оператор вставляется нажатием кнопки
– Prefix Operator (префиксный оператор) либо кнопки – Postfix
Operator (постфиксный оператор). Существуют два вида вставки пользова-
тельского бинарного оператора, отличающиеся только отображением в документе: в виде последовательности «операнд – имя оператора – другой операнд» или в форме графа (дерева). Вводятся они, соответственно, кнопками
– Infix Operator и
– Tree Operator.
Пример 1.3. Определим унарный оператор пересчета температуры по
шкале Цельсия в температуру по шкале Фаренгейта и бинарный оператор
вычисления процента от числа (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Создание операторов пользователя
В Mathcad присутствует полная поддержка работы с комплексными чис-
лами. В среде Mathcad большинство операций по умолчанию осуществляются над комплексными числами. Например, при символьном и численном
решении уравнений определяются как действительные, так и мнимые корни
(рис. 1.8).
Мнимую единицу вводят, используя соответствующую кнопку на панели
Calculator, или комбинацией клавиш [1]+[i]. Если просто ввести символ [i],
то Mathcad воспринимает его как переменную i.
°C x( )
9
5
x 32+
F=
%ot x y ( )
x y
100
=
37 °C 98.6F=
10 %ot 60 6=
20
%ot
50
10=
14
1. Основы работы с системой Mathcad
Рис. 1.8. Аналитическое и символьное решение уравнения
В Mathcad имеются в наличии несколько функций, облегчающих работу
с комплексными числами:
– Re(z) определяет действительную часть комплексного числа z.
– Im(z) определяет мнимую часть комплексного числа z.
– |z| определяет модуль комплексного числа z.
– определяет сопряженное комплексное число. Чтобы ввести оператор
комплексного сопряжения, необходимо воспользоваться сочетанием клавиш
[Shift] + [‘].
– arg(z) определяет аргумент комплексного числа z, -π < arg(z) < π.
На рисунке 1.9 представлены результаты действия описанных выше ком-
плексных операторов.
Рис. 1.9. Расчет основных характеристик комплексного числа
z
2 5i+
i 3−
3
i
+=
z
1
10
−
47
10
i−→
Re z( ) 0.1−=
Re z( )
1
10
−→
Im z( ) 4.7−=
Im z( )
47
10
−→
z 4.701=
z
221
10
→
arg z( ) atan 47( ) −→
z
⎯
1
10
−
47
10
i+→
x 2=
root x21+ x
( )
i=
1. Основы работы с системой Mathcad
15
Пример 1.4. Для комплексного числа z = 5+8i найти вещественную и
мнимую части, модуль, аргумент, сопряженное число. Изобразить на комплексной плоскости само число и все найденные характеристики.
Решение представлено на рисунке 1.10. На комплексной плоскости отмечаем исходное число и его сопряженное. Модуль комплексного числа – это
расстояние от начала координат до точки z, аргумент – угол между положи-
тельным направлением оси и радиус-вектором точки z (подробнее опи-
сано в [15]). Для их построения вводим дополнительные функции f(x),
и b(t), c(t),
Рис. 1.10. Геометрическая интерпретация комплексного числа
z 5 8 i+=
Re z( ) 5=
Im z( ) 8=
arg z( ) 1.012=
z 9.434=
z⎯5 8i−=
f x( )
Im z( )
Re z( )
x=
x 0 5=
b t( ) 2cos
t
100
=
c t( ) 2sin
t
100
=
t 0 101=
0 5 10 15 20
10−
8−
6−
4−
2−
2
4
6
8
10
z
|z|
arg
z-conjugate
Im z( )
f x( )
c t( )
Im z
⎯
( )
Re z( ) x b t( ) Re z
⎯
( )
16
1. Основы работы с системой Mathcad
1.2. Матричные вычисления
Нередко в расчетах необходимо использовать массивы чисел. В Mathcad
поддерживаются два вида массивов – одномерные (векторы) и двумерные
(матрицы). На панели математических инструментов Matrix собраны основные операции для работы с векторами и матрицами.
Пример 1.5. Определим матрицу, элементы которой являются функци-
ями вещественной переменной , и вычислим ее значение в точке 1.
Результат вычисления в системе Mathcad приведен на рисунке 1.11.
Рис. 1.11. Задание матрицы в системе Mathcad
Значение любого элемента матрицы можно вывести, используя матричные индексы, для задания которых на панели Matrix имеется кнопка Sub-
script – . Нумерация строк и столбцов в Mathcad начинается с нуля. Из-
менить данную ситуацию можно, переопределив переменную ORIGIN, присвоив ей любое целое значение, даже отрицательное.
Пример 1.6. Определим матрицу A размером 3x3, вектор-столбец B раз-
мером 3x1, матрицу-строку C размером 1x3. Начало нумерации установим
равное 1 (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Изменение нумерации индексов в Mathcad
A x( )
x
2
cos x 1−( ) 1+
e
1 x−
2−
3
x
=
A 1( )
121−
3
=
ORIGIN 1=
A
5
19
6
2−
9
1−
32
33
7−
=
B
12
3
7
=
C 6 37− 21( )=
A
2 3
33=
B112=
C
1 2
37−=
1. Основы работы с системой Mathcad
17
Отметим, что доступ к элементам матрицы-строки требует задания двух
индексов, в то время как при доступе к компонентам вектора-столбца можно
ограничиться заданием только одного индекса – номера строки.
Кроме одного элемента, есть возможность выделить один столбец дву-
мерного массива кнопкой – Matrix Column. Для выделения строки
необходимо матрицу предварительно транспонировать с помощью опера-
тора Matrix Transpose – (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Выделение столбца и строки
Матрицы большого размера удобнее вводить с помощью таблицы ввода
(Input Table), которая вызывается с помощью опции меню Insert\Data\Table
(рис. 1.14).
Рис. 1.14. Вставка таблицы
A
2
2−
9
1−
=
A
T
( )
1
T
5 2− 32( )=
18
1. Основы работы с системой Mathcad
Пример 1.7. Зададим матрицу с помощью таблицы ввода. Для этого в
клетки таблицы введем числовые значения элементов матрицы (рис. 1.15).
Нулевым элементам матрицы Mathcad сам присвоит нули, поэтому их
можно не вводить. Но для правильного определения Mathcad-ом размеров
матрицы при нулевом последнем столбце или последней строке должен быть
введен хотя бы один их элемент.
Рис. 1.15. Задание матрицы таблицей ввода
Итак, существуют два стиля отображения массива: в форме матрицы и в
форме таблицы. Изменение стиля отображения какого-либо массива выполняется командой Format/Result, вызывающей диалоговое окно Result Format
(рис. 1.16).
Рис. 1.16. Изменение стиля отображения массива
C
123
1
2
3
-20507
1
9-30
=
C
2−
0
9
0
7
3−
5
1
0
=
1. Основы работы с системой Mathcad
19
На вкладке Display Options в списке Matrix display style необходимо вы-
брать один из стилей:
– Automatic – Mathcad самостоятельно выбирает стиль;
– Matrix – в виде матрицы;
– Table – в табличном виде.
Над матрицами в Mathcad можно осуществлять следующие опера-
ции:
– нахождение линейных комбинаций матриц одинакового размера;
– нахождение произведения матриц при условии равного количества
столбцов левого и строк правого сомножителей;
– вычисление определителя квадратной матрицы;
– вычисление евклидовой длины вектора;
– вычисление обратной матрицы для квадратной матрицы с ненулевым
определителем;
– транспонирование матрицы;
– суммирование координат вектора;
– вычисление скалярного и векторного произведения векторов.
Пример 1.8. Определим матрицы A, B размером 3x2, C размером 2x1,
D размером 3x3, векторы x, y размером 3x1. Найдем 3A-B-4, произведе-
ние матриц A и C, определитель матрицы |D|, обратную матрицу
,
транспонированную матрицу
, длину вектора |x|, скалярное и вектор-
ное произведение векторов , , сумму координат вектора .
Решение представлено на рисунке 1.17. Заметим, что существует возможность прибавлять к матрице любое число. В этом случае оно будет прибавлено к каждому элементу исходной матрицы.
Шаблоны следующих операторов вводятся соответствующими кнопками панели Matrix: знак определителя –
, операторы обратной мат-
рицы – , транспонирования матрицы – , суммирования – ,
скалярного и векторного умножения векторов – и . Для нахож-
дения длины вектора можно воспользоваться кнопкой
– модуль
числа – панели Calculator.
Для того, чтобы иметь возможность производить поэлементные вычисления над матрицами, используется оператор векторизации, который вво-
дится кнопкой панели Matrix.
20
1. Основы работы с системой Mathcad
Рис. 1.17. Операции с матрицами
Пример 1.9. Найдем скалярное произведение векторов и выполним ска-
лярное произведение векторов с использованием операции векторизации
(рис. 1.18). При использовании векторизации операция умножения над векторами производится покоординатно.
Рис. 1.18. Операция векторизации
Для облегчения работы с векторами и матрицами в системе Mathcad
предназначены следующие встроенные функции:
A
2
5
1
3
1−
2−
=
B
3
2
1
6
5
4
=
C
2−
1
=
D
1
1−
2−
2
5
3−
3
4
0
=
3A B− 4−
1−
9
2−
1−
12−
14−
=
A C
1−
11−
4−
=
D 35=
D
1−
12
35
8
35
−
13
35
9
35
−
6
35
1
35
−
1
5
−
1
5
−
1
5
→
D
T
1
2
3
1−
5
4
2−
3−
0
=
x
3
0
4−
=
y
1−
1
0
=
x y
4
4
3
=
x 5=
x y 3−=
x1−=
1−
1
0
3
2
4−
1−=
1−
1
0
3
2
4−
→
⎯⎯⎯⎯⎯
3−
2
0
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]