Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
91
Рис. 4.12. Реакция двумерной динамической системы на входной сигнал
g x( )
sin x( )
cos x( )
=
G p( ) g x( ) laplace x p
1
p21+
p
p21+
→=
YZ p( ) SDU Y Z p ( ) G p( )− solve Y Z
p 2+
p21+
p 1−
p21+
→=
y x( ) YZ p( )0invlaplace p x cos x( ) 2 sin x( )+→=
z x( ) YZ p( )1invlaplace p x cos x( ) sin x( )−→=
0 2 4 6 8 10
3−
2−
1−
1
2
3
y x( )
z x( )
x
w x( )
11−2
1
y x( )
z x( )
3 cos x( )
3− sin x( )
→=
92
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Рис. 4.13. Реакция дискретной системы на входной сигнал
Пример 4.9. Найти передаточную функцию, свободное и вынужденное
движения, выходной сигнал одномерной линейной системы, описываемой
дифференциальным уравнением
с начальными условиями
и входным сигна-
лом g(t) = t.
Решение: найдем изображение по Лапласу входного сигнала G(p), определим векторы коэффициентов левой и правой части дифференциального
уравнения a и b, соответственно, а также вектор начальных условий x0 (рис.
4.14). Согласно формулам раздела 2.1.8 [15] находим характеристический
многочлен дифференциального уравнения D(p), многочлены , соответ-
ствующий правой части уравнения, и
передаточную функцию W(p), изображения по Лапласу свободного движе-
ния
и вынужденного движения
(рис. 4.14 и 4.15). Далее,
применяя обратное преобразование Лапласа, находим свободное и вынужденное движения и выходной сигнал системы x(t) (рис. 4.15).
l n( ) n 2−( )n=
L z( ) l n( ) ztrans n z
2 z
z 2+( )
2
−→=
F z( ) RU F z ( ) L z( )−
solve F
simplify
2 z z 3+( )
z 2+( )
2
→=
f n( ) F z( )
invztrans z n
factor
2−( )nn 2−( )−→=
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
93
Рис. 4.14. Нахождение передаточной функции одномерной системы
g t( ) t=
G p( ) g t( ) laplace t p
1
p
2
→=
n 3=
m 2=
a
1
2
2
4
=
b
0
1
2
=
x0
1
0
1−
=
D p( )
0nk
akpk
( )
=
4 p3 2 p2+ 2 p+ 1+→=
Drp( )
0
m
k
bkpk
( )
=
2 p2 p+→=
W p( )
Drp( )
D p( )
2 p2 p+
4 p3 2 p2+ 2 p+ 1+
→=
94
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Рис. 4.15. Свободное и вынужденное движения, выходной сигнал одномерной системы
D0 p( )
0
n 1−
k
x0( )
k
k 1+
n
l
alp
l k− 1−
( )
=
=
→ 4 p2 2 p+ 2−→=
X
free
p( )
D0 p( )
D p( )
4 p2 2 p+ 2−
4 p3 2 p2+ 2 p+ 1+
→=
X
forced
p( ) W p( ) G p( ) simplify
1
2 p3 p+
→=
x
free
t( ) X
free
p( ) invlaplace p t
5 cos
2 t
2
3
2 e
t
2
−
3
−
2 sin
2 t
2
3
−→=
x
forced
t( ) X
forced
p( ) invlaplace p t 1 cos
1
2
2 t
−→=
x t( ) x
free
t( ) x
forced
t( )+=
x t( )
2 cos
2 t
2
3
2 e
t
2
−
3
−
2 sin
2 t
2
3
− 1+→
0 10 20 30 40 50
0.5
1
1.5
2
x t( )
t
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
95
4.4. Решение задач моделирования экономических систем
Пример 4.10. Моделирование рыночного равновесия дает понимание
основополагающих процессов, происходящих на рынке товаров или услуг,
поведения покупателей и производителей, позволяет провести классификацию и анализ возможных ситуаций на рынке и дает представление о рыночном равновесии.
Рынок товаров (услуг) можно рассматривать как систему, в которой присутствует множество производителей, постоянно конкурирующих между собой. В результате конкурентной борьбы одни производители продолжают развиваться и завоевывают все большую долю рынка, другие, напротив, теряют
свою долю, разоряются и вынуждены уйти с рынка. Крупные производители
благодаря известной репутации и существенно меньшим удельным издержкам имеют возможность диктовать свои условия. Снижая цены, они могут
влиять на мелких производителей, вынуждая последних подстраиваться, а
также постепенно вытеснять других игроков с рынка. В предельном случае может возникнуть ситуация монополии, когда на рынке присутствует только
один крупный производитель [11].
Вне зависимости от количества производителей на рынке, соотношения
крупных и мелких игроков, общий объем продаж некоторого товара или
услуги будет неизменным. Он определяется потребностями населения в товаре, покупательской способностью потребителей (которая, в свою очередь,
зависит от уровня доходов и расходов), политической и экономической ситуацией в стране, регионе, модными тенденциями, демографическими особенностями и др. Каждый производитель стремится произвести и продать
как можно больше товаров, однако в совокупности все производители не могут продать больше, чем может купить потребитель. Применяя различные
методы повышения продаж (реклама, улучшение качества и др.), производитель может только повысить свою долю на рынке, при этом общий объем
проданных товаров всеми производителями остается постоянным. Производителю, особенно небольшим фирмам, важна информация о спросе, чтобы
подстроить выпуск товаров (предложение) в соответствии с имеющимися
потребностями.
Как отмечено выше, спрос определяется состоянием экономической системы, он связан с потребностями покупателей. Но простое желание
96
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
приобрести товар не является спросом. Необходимо, чтобы производитель
имел достаточные денежные средства для покупки, то есть спрос должен
быть платежеспособным. Значение спроса определяется ценой : чем выше
цена товара (услуги), тем меньшее количество покупателей будет способно
его приобрести и наоборот, чем ниже цена, тем большее количество покупателей сможет его купить, тем больший объем товара Q будет продан. Математически эта зависимость описывается кривой спроса P = D(Q), характеризующей зависимость объема спроса от цены товара. Интересы покупателей
находятся ниже кривой, поскольку покупатель хочет купить товар по как
можно более низкой цене. Эта функция монотонно убывающая, она ограничивает интересы покупателей сверху: каждая точка кривой – это максимальная цена, которую готов заплатить потребитель за некоторый объем товара.
Чтобы произошла сделка купли-продажи, производитель должен не
только иметь возможность для производства и доставки товара на рынок, но
и быть готовым продать его по некоторой цене. Целью каждого производителя является получение как можно большей прибыли. Чем выше предложенная цена, тем большее количество товара готов продать производитель,
чем цена ниже, тем меньше желающих продать товар по данной цене, поэтому функция предложения P = S(Q) является монотонно возрастающей. В
реальной системе функция предложения может иметь ограничение сверху,
обусловленное имеющими производственными мощностями производителей. Интересы производителей лежат выше кривой, поскольку производитель хочет продать товар по большей цене. Каждая точка кривой спроса –
это минимальная цена, по которой производитель готов продать данное количество товара.
Совместно построенные функции спроса и предложения образуют че-
тыре области (сектора), как это показано на рисунке 4.16. Учитывая, в каких
полуплоскостях, образуемых кривыми спроса и предложения, находятся интересы производителей и потребителей, можно провести анализ каждого из
четырех секторов.
В секторе I расположено множество цен, превышающих максимально
возможную для покупателей и ниже минимально допустимой для продавцов. Заинтересованности в заключении сделок по таким ценам нет ни у производителей, ни у потребителей.
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
97
Рис. 4.16. Графики функций спроса и предложения
В секторе II находятся цены, превышающие минимально возможные для
производителя, появляется односторонняя заинтересованность продавцов. Эта
зона называется зоной возможных продаж, однако цены в этой области превышают возможности покупателей, поэтому покупка таких объемов товаров по таким ценам невозможна. Исключением является ситуация, когда на рынке
наблюдается монополия одного или нескольких крупных производителей, заключивших соглашение об удержании цен. В этом случае потребитель вынужден приобретать продукцию (услугу) по определенной монополистом цене.
В Российской Федерации существую законы, препятствующие возникновению
подобной ситуации, Федеральная антимонопольная служба реализует функции,
направленные на обеспечение свободной конкуренции.
В секторе III наоборот, находятся цены, благоприятные для покупателя,
но слишком низкие для продавца. Производителю невыгодно продавать товары ниже себестоимости. Такая ситуация на рынке возможна при перепроизводстве.
В секторе IV совпадают интересы и производителей, и потребителей.
Любая точка этой области моделирует условия возможной сделки: для некоторого объема товара (услуги) цена здесь будет ниже, чем максимально возможная для покупателя и выше, чем минимально допустимая для продавца.
Рассмотрим некоторые точки этой области.
98
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Точка А описывает ситуацию, когда на пределе возможностей находится
покупатель. В этом случае продавцы диктуют свои условия, что характерно
для монополии или соглашения крупных производителей.
Точка В описывает ситуацию, в которой уже продавцы находятся на пределе своих возможностей. Такое положение характерно для мелких производителей, которые, балансируя на грани банкротства, согласны продать
свой товар по минимально возможным ценам.
Между кривыми спроса и предложения находится точка С, в которой интересы и продавцов, и покупателей совпадают. Но эта точка неустойчивая, поскольку продавцы стремятся повысить цены, а покупатели хотят их снижения.
Равновесие между этими противоположными стремлениями достигается в
точке D, которая находится на пересечении кривых спроса и предложения.
Объем товара Q в этой точке соответствует максимальной цене P
opt
, по которой
его могут приобрести покупатели, совпадающей с минимальной ценой, по которой продавцы согласны продать этот товар. Эта точка называется равновесной, Q
opt
и P
opt
– соответственно, равновесные объем и цена [11].
Целью работы является построение кривых спроса и предложения, опре-
деление равновесного объема и цены и анализ полученной модели.
Порядок решения задачи в Mathcad:
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. В соответствии с заданием определите функции спроса и предложения
как функции переменной Q.
3. Постройте на одном графике кривую спроса и кривую предложения.
Найдите графически координаты точки пересечения.
4. Найдите символьное значение Q, при котором достигается равновесная цена.
5. Вычислите равновесную цену как значение функции спроса в соответ-
ствующей точке.
6. Сделайте выводы.
Пример выполнения задания.
Пусть функции спроса и предложения имеют следующий вид:
– функция спроса,
– функция предложения,
где A = 12, B = 200, C = 70, F = 0,5, E = 150.
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
99
Для заданных функций спроса и предложения графически и численно
определить равновесный объем продаж и равновесную цену продукции.
Рис. 4.17. Результат расчета модели рыночного равновесия в Mathcad
Исходные данные
Функция спроса
Функция предложения
Расчет точки равновесия
Равновесный объем продукции
Равновесная цена
Графическое представление результатов расчета
ORIGIN 1=
A 12=
B 200=
C 70=
F 0.5=
E 150=
D Q( ) B A Q−=
S Q( )
Q
2
CQF
+ E+=
Q
opt
Q
2
CQF
+ E+ B− A Q+ solve
3.56
983.56−
→=
Q
opt
3.559
983.559−
=
Q
opt
1
3.559=
P
opt
D Q
opt
1
( )
157.298==
0 5 10 15
100
200
300
400
500
D Q( )
S Q( )
P
opt
Q Q Q
opt
1
100
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Пример 4.10. Модель определения максимальной прибыли. Целью
изучения этой модели является знакомство понятием прибыли производственной системы, принципами построения графиков дохода и затрат,
нахождения максимальной прибыли, точек безубыточности и интервала
прибыльности производства [11].
В рыночных условиях целью любого товаропроизводителя является получе-
ние максимальной прибыли. Под прибылью РR понимают разность между дохо-
дом от реализации продукции R и общими издержками производства С [11]:
.
Доход зависит от ряда факторов, главными из которых являются цена,
которую заплатили покупатели, и объем реализованной продукции за определенный период времени, поэтому доход рассчитываем как произведение
объема проданного товара (услуги) Q на его стоимость Р:
.
В структуре издержек выделяют условно-постоянные издержки Cf, вели-
чина которых не зависит от объема произведенной продукции, например, затраты на аренду помещений, заработную плату организационно-управленческого аппарата, амортизационные отчисления и др., а также условно-переменные удельные издержки Cv, величина которых зависит от объема
выпускаемой продукции, например, затраты на сырье, покупные материалы,
полуфабрикаты, комплектующие, заработную плату производственных рабочих и т. п.
Таким образом, общие издержки на производство продукции:
Целью исследования данной модели является решение задачи оптимиза-
ции, которая заключается в определении такого объема производства Q
max
,
при котором обеспечивается максимальная прибыль:
.
Рассмотрим графики функций дохода и издержек (рис. 4.18).
Условно-постоянные издержки графически можно представить как отрезок,
отсекаемый линией полных затрат на оси ординат, а условно-переменные – это
тангенс угла наклона этой прямой. Кривая дохода в общем случае имеет нелинейный вид. Действительно, при увеличении объема производства доход растет,
однако он определяется не только количеством проданного товара, но и его ценой, что определяет нелинейный характер зависимости. При дальнейшем
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]