Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
1. Основы работы с системой Mathcad
31
X- / Y- / Y2-Value. Если установлен флажок Track Data Points, как это показано на рисунке 1.36, то линии трассировки следуют точно вдоль графика.
При отсутствии флажка они могут перемещаться по всей области графика.
Рис. 1.36. Трассировка графика
Для анализа результатов экспериментов, например, в физике, теории
управления, метрологии на полученных графиках принято откладывать
погрешность эксперимента. Делается это, в частности, с помощью вертикальных отрезков, проводимых, как правило, с равным расстоянием
между ними. Откладываются они, исходя из физического смысла погрешности. Абсолютная погрешность – это отклонение измеренного значения
от действительного, она может быть как положительной, если измеренное
значение меньше действительного, так и отрицательной, в противном случае. Поэтому на графике границы отрезков, обозначающих погрешность,
располагаются как выше, так и ниже экспериментальной кривой. Длина
отрезков определяется величиной погрешности. В Mathcad’е существует
возможность построения графика с отложенными ошибками подобного
типа.
Пример 1.14. Построить график с отложенной погрешностью.
Построение: зададим исходные данные T, t, f(t), погрешность измерений
Δ, функции f
lower
, f
top
, которые определяют нижнюю и верхнюю ошибку.
Строим график: определяем в маркере функций все три ряда данных, меняем
тип отображения функций f
lower
, f
top
с Lines на Error. В результате получим
график, изображенный на рисунке 1.37.
Построить только верхнюю или только нижнюю ошибку нельзя: тип
отображения Error, в отличие от всех остальных, требует задания двух рядов
данных.
10− 5− 0 5
5
10
e
t
1
t
−
sinh t( )
32
1. Основы работы с системой Mathcad
Далее рассмотрим особенности создания трехмерных графиков (3D-
графиков).
Рис. 1.37. График с отложенной погрешностью
Тема трехмерных графиков очень объемная и довольно сложная, она
содержит множество методик, специальных функций и параметров.
В данном разделе рассмотрим только вопросы создания трехмерных
графиков, исходя из функции двух переменных или множества параметрических функций, а также некоторые аспекты форматирования графиков.
На рисунке 1.38 приведены два 3D-графика со специальным форматиро-
ванием. 3D-график слева представляет поверхность, заданную функцией
двух независимых переменных. График справа представляет параметрическую поверхность, заданную тремя функциями двух независимых параметров, определяющими декартовы x, y и z координаты. Обратите внимание, что
в местозаполнитель графической области вводится только имя функции без
последующей скобки и аргументов.
T 30s=
t 0s 4s 2T=
1=
f t( ) 4cos
t
T
5sin
t
T
−=
f
lower
t( ) f t( ) −=
f
top
t( ) f t( ) +=
0 20 40 60
10−
5−
5
10
f t( )
f
top
t( )
f
lower
t( )
t
1. Основы работы с системой Mathcad
33
Рис. 1.38. 3D-графики
При построении поверхности Mathcad по умолчанию определяет перемен-
ные на промежутках [-5, 5] и число узлов сетки равным двадцати. Чтобы изме-
нить диапазоны переменных, необходимо вызвать окно форматирования 3-D
Plot Format и на вкладке QuickPlot Data изменить стартовое и конечное значения
каждой переменной, а также число узлов сетки (рис. 1.39).
Пример 1.15. Построить верхнюю полусферу единичного радиуса с цен-
тром в начале координат.
Рис. 1.39. Диалоговое окно форматирования
Построение: функции X(u, v), Y(u, v), Z(u, v), определяют параметрическое зада-
ние сферы единичного радиуса, промежуток изменения переменной u установим
от 0 до 2π, переменной v – от 0 до
, окрасим поверхность – вкладка Appearance.
Получим поверхность, изображенную на рисунке 1.40.
Fx u v ( ) u sin v( )=
f x y ( ) x2y2+=
Fy u v ( ) u cos v( )=
Fz u v ( ) u sin u( )
6
=
f
Fx Fy Fz ( )
34
1. Основы работы с системой Mathcad
Рис. 1.40. Верхняя полусфера
Рассмотрим далее построение графиков кривых в пространстве.
Пример 1.16. Построить три витка винтовой линии, если параметриче-
ские уравнения этой кривой задаются следующими формулами:
Построение: определим функции X(u, v), Y(u, v), Z(u, v), создадим трехмерный точечный график – 3D Scatter Plot, зададим диапазон изменения переменной t (Range 1) от 0 до 6π = 18,85 и число узлов сетки равным 80, на
вкладке Appearance в группе Line Options установим свойство Lines. Получим кривую, изображенную на рисунке 1.41.
Рис. 1.41. Винтовая линия
X t( ) cos t( )=
Y t( ) sin t( )=
Z t( ) 0.1t=
X Y Z ( )
X u v ( ) cos u( ) cos v( )=
Y u v ( ) sin u( ) cos v( )=
Z u v ( ) sin v( )=
X Y Z ( )
1. Основы работы с системой Mathcad
35
Следующий пример демонстрирует применение матричной функции
CreateMesh, которая возвращает упакованный массив, содержащий основные параметры будущего графика.
Пример 1.17. Построить график функции:
с числом узлов по каждой переменной равным 30.
Построение: определим функцию U(x, y), нижние и верхние пределы переменных x и y, число узлов по каждой переменной (рис. 1.42). Построить
Surface Plot функции U(x, y) без дополнительных настроек Mathcad не может, поскольку в точке (0; 0) она терпит разрыв. Применяем матричную
функцию CreateMesh.
Рис. 1.42. Функция CreateMesh
Помимо этого, существует специальная функция CreateSpace, создающая массив точек для построения пространственной кривой.
x
start
50−=
x
end
50=
y
start
50−=
y
end
50=
gridx30=
gridy30=
M CreateMesh U x
start
x
end
y
start
y
end
gridx gridy
( )
=
M
36
1. Основы работы с системой Mathcad
Пример 1.18. Построение расходящейся спирали с помощью функции
CreateSpace.
Построение: определим функцию H(t), начальное и конечное значение
переменной t, количество точек сетки, применяем функцию CreateSpace
(рис. 1.43). На вкладке Appearance в группе Line Options установим свойство
Lines.
Рис. 1.43. Расходящаяся спираль
1.5. Основы программирования
Программирование в Mathcad позволяет решать самые различные, в том
числе и довольно сложные, задачи: определение условий сравнения и ветвления, организация циклических расчетов, проведение итерационных расчетов и т. д.
H t( )
t cos t( )
t sin t( )
t
=
t
start
0=
t
end
20=
gridt100=
N CreateSpace H t
start
t
end
grid
t
( )
=
N
1. Основы работы с системой Mathcad
37
Создать программный модуль можно с помощью рабочей панели Pro-
gramming, которая содержит следующие операторы:
Add Line – добавляет строку в программном блоке;
– присваивает значение локальной переменной;
if – условный оператор (оператор ветвления);
otherwise – оператор, который исполняется в случае невыполнения
условия оператора if;
for – оператор задания цикла for с фиксированным числом повторений;
while – оператор задания цикла while, который выполняется, пока ис-
тинно некоторое условие;
break – оператор преждевременного завершения цикла;
continue – оператор преждевременного завершения текущей итерации
цикла;
return – оператор преждевременного завершения подпрограммы-функ-
ции и возврата значения;
on error – оператор обработки ошибок.
Пример 1.19. Определить следующие функции и построить их
графики:
Решение: для задания функции f(t) использовали оператор Add Line
и условный оператор if. Поскольку функция h(t) является периодической на множестве [0; ∞) с периодом T = 1, то задать ее в Mathcad на
всей вещественной прямой не получается. Поэтому определяем функцию h(t,k), которая совпадает с h(t) на (-∞; kT], с помощью цикла for,
когда переменная-счетчик принимает значения 1, 2, …, k. Далее строим
графики функций f(t) на [-1; 3] и h(t, 7) на [-3; 7], при этом график последней совпадает с графиком функции h(t) на указанном множестве
(рис. 1.44).
38
1. Основы работы с системой Mathcad
Рис. 1.44. Создание программных модулей
Пример 1.20. Численно решить задачу Коши для дифференциального
уравнения и заданного начального условия
методом Рунге-Кутты четвертого порядка на отрезке [0; 1] с шагом интегрирования h = 0,01. Построить график функций y(x).
f t( ) etsin 8t( ) t
8
if
0 otherwise
=
1− 0 1 2 3
20−
10−
10
f t( )
t
h t k ( )
t n 1−( )−return n 1− t nif
n 1 kfor
0
=
2− 0 2 4
0.5−
0.5
1
1.5
h t 7 ( )
t
1. Основы работы с системой Mathcad
39
Решение: зададим функцию , начальное условие
определяет и .
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка является одним из самых широко используемых методов для решения задачи Коши и записывается в
виде совокупности формул:
Используя приведенные выше формулы, задаем вектор x с помощью рекуррентного соотношения, связывающего его координаты, и создаем подпрограмму для вычисления координат вектора y и возвращающую данный
вектор.
Далее строим график решения задачи (рис. 1.45).
40
1. Основы работы с системой Mathcad
Рис. 1.45. Реализация метода Рунге-Кутты 4 порядка
f x y ( ) sin x( ) y−=
x00=
y01=
h 0.01=
k 1 100=
xkx
k 1−
h+=
y
K1 h f x
k 1−yk 1−
( )
K2 h f x
k 1−
1
2
h+ y
k 1−
1
2
K1+
K3 h f x
k 1−
1
2
h+ y
k 1−
1
2
K2+
K4 h f x
k 1−
h+ y
k 1−
K3+
( )
yky
k 1−
1
6
K1 2K2+ 2K3+ K4+( )+
k 1 100for
y
=
x
T
012345678
9
000.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
...
=
y
T
012345678
010.99
0.98
0.971
0.962
0.952
0.944
0.935
...
=
0 0.5 1 1.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]