Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
2. Основы математических расчетов
51
Рис. 2.11. Аналитическое решение системы уравнений методом решающего блока
Графически проведем проверку полученных решений. Выразив из пер-
вого и второго уравнения переменную и построив графики функций
и
, получим четыре точки пересечения данных графиков. Таким
образом, система решена верно.
Во втором случае перед решающим блоком задаем начальные приближе-
ния, после функции Find используем оператор вывода « = ». В результате
получим одно из решений системы численным методом (рис. 2.12).
Given
Find x y ( )
2161
2
−
2167
2
−
21
6
−
1
2
−
21
6
−
7
2
−
12−0
3−
→
2− 1− 0 1 2
5−
4−
3−
2−
1−
Y1x( )
Y2x( )
52
2. Основы математических расчетов
Рис. 2.12. Численное решение системы уравнений методом решающего блока
С помощью блока Given – Find можно также находить решения системы
неравенств (рис. 2.13), при этом необходимо применять оператор символьного вывода.
Рис. 2.13. Решение системы неравенств
методом решающего блока
2.3. Нахождение пределов, производных, интегралов
В системе Mathcad вычисления предела и производной возможны только
при символьном выводе. Шаблоны предела, правого и левого предела, производных первого и высшего порядков расположены на панели Calculus.
Примеры вычисления пределов приведены на рисунке 2.14. Следует обратить внимание, что выданное в первом случае сообщение undefined указы-
вает на отсутствие предела.
x 1−=
y 4−=
Given
Find x y ( )
1.264−
4.264−
=
Given
2
x 1+
2
x− 2−
+ 4
x 3+( )
1
4
3
Find x( ) 3− x log
2 7
4
1+ 2
→
2. Основы математических расчетов
53
Рис. 2.14. Вычисление пределов
Пример 2.9. Построить гиперболу, заданную уравнением
а также найти и построить ее асимптоты.
Решение: из уравнения гиперболы выразим переменную y, полученные
функции обозначим
и
соответственно и построим их графики
(рис. 2.15). У данной гиперболы существуют две наклонные асимптоты, ко-
торые задаются уравнениями и
, где коэффици-
енты вычисляются по формулам, приведенным на рисунке 2.15. В той же
графической области построим асимптоты гиперболы.
Примеры вычисления производных приведены на рисунке 2.16. Никаких принципиальных отличий между заданием простой и частной производной нет. Единственно, чтобы преобразовать оператор к виду частной производной, нужно установить курсор на операторе производной,
вызвать контекстное меню и выбрать View Derivative As \ Partial Deriva-
tive.
Пример 2.10. Для функции
в точке M(1; 0) найти градиент и производную по направлению l = (3; 7).
Решение: для нахождения градиента используем оператор , располо-
женный на панели Calculus; производная по направлению в точке M, которую обозначим fl, равна скалярному произведению градиента в точке M на
единичный вектор
(рис. 2.17).
x
sin x( )lim
→
undefined→
1x
x21−
ln x( )
lim
→
2→
0x
2
1
x
x
5
lim
−
→
0→
n
n
5 3
n 1−−
n4n+ 5−
lim
→
→
54
2. Основы математических расчетов
Рис. 2.15. Построение гиперболы и ее асимптот
Рис. 2.16. Вычисление производных
f x( ) x22x y+ 3y2−
4x 6y+ 1−+
solve y
x
3
2 2 x2 9 x+ 3+
3
− 1+
x
3
2 2 x2 9 x+ 3+
3
+ 1+
→=
k
0
x
f x( )
0
x
lim
→
1
3
−→=
b
0
x
f x( )0k0x−
( )
lim
→
1
2
−→=
k
1
x
f x( )
1
x
lim
→
1→=
b
1
x
f x( )1k1x−
( )
lim
→
5
2
→=
10− 5− 0 5
10−
5−
5
10
f x( )
0
f x( )
1
k0x b0+
k1x b1+
x
tan a x( )
5d
d
5 a tan a x( )
4
tan a x( )21+
( )
→
6
x
x ln 2x 3−( )( )
d
d
6
4608
2 x 3−( )
5
7680 x
2 x 3−( )
6
−→ simplify
1536 x 9−( )
2 x 3−( )
6
→
x
2
y
sin x( )
y
2
simplify cos x( ) sin x( )
y 1−
ln sin x( )( ) y ln sin x( )( ) 2+( )→
2. Основы математических расчетов
55
Рис. 2.17. Нахождение градиента и производной по направлению
Пример 2.11. Найти скорость v и ускорение a свободно падающего тела,
если зависимость расстояния s от времени t определена следующим образом:
Решение приведено на рисунке 2.18.
Рис. 2.18. Нахождение скорости и ускорения тела
Для интегрирования функций на панели Calculus предусмотрено два опе-
ратора: Indefinite Integral и Definite Integral. С оператором неопределенного
интеграла можно использовать только оператор символьного вывода.
На рисунке 2.19 приведены примеры вычисления неопределенных интегралов. Заметим, что в ответах аргумент логарифма берется без знака модуля, что является недостатком работы пакета Mathcad.
Mathcad зачастую «отказывается» давать ответ, хотя решение у задачи
имеется, решает задачу не полностью или дает громоздкий ответ, из-за чего
невозможно воспользоваться полученным результатом. Поэтому в таких
случаях рекомендуется предварительно подготовить интеграл для решения.
f x y ( ) xe
x y
y2sin x y+( )−=
x 1=
y 0=
l
3
7
=
grad
x y
f x y ( )
1
1
→=
flgrad
l
l
5 58
29
→=
s t v0 s0
( )
g
t
2
2
v0t+ s0+=
v t v0
( )
t
s t v0 s0
( )
d
d
v0t g+→=
a t( )
2
t
s t v0 s0
( )
d
d
2
g→=
56
2. Основы математических расчетов
Рис. 2.19. Вычисление неопределенных интегралов
Интеграл, представленный на рисунке 2.20, система компьютерной матема-
тики не смогла подсчитать и возвратила в качестве ответа исходное выражение.
Вычислить данный интеграл можно, если сделать замену переменной.
В отличие от неопределенного интеграла, определенный может быть вычислен как аналитически, так и численно. Естественно, символьный метод точнее
численного, выдаваемый им аналитический ответ информативнее, однако применим не для всех функций. А также при вычислении определенного интеграла
всегда следует помнить, что все числа и функции Mathcad рассматривает в ком-
плексной области. Поэтому, неправильно задав пределы интегрирования,
можно получить комплексное значение (рис. 2.21).
Рис. 2.20. Вычисление интеграла с помощью замены переменной
x
x
tan x( )
2
d ln sin x( )( )
x
2
2
− x cot x( )−→
x
x2x+
3x22x+ 5−
d
x3ln x 1−( )
4
+
5 ln x
5
3
+
36
−→
x
1
x3x+
d x
1
x x
1
3
+
d→
2. Основы математических расчетов
57
Рис. 2.21. Символьное вычисление определенных интегралов
Mathcad позволяет также вычислять несобственные интегралы, при этом
применяется шаблон «Definite Integral» (рис. 2.22), и кратные интегралы –
двукратным применением оператора определенного интеграла (рис. 2.23).
Рис. 2.22. Вычисление несобственных интегралов
1
64
x
1
13x+
d combine ln
27
2
ln
8
125
−→
0
xexsin x( )
d
e
212
+→
1−
1
xx
d
232
3
i+→
0
2
x
1
3
x
d
3 4
1
3
2
→
1
x
1
1 x2+
d
4
→
1
xsin 2x( )
d undefined→
0
3
x
x
27 x3−
d 1.047=
0
3
x
x
27 x3−
d
3x
2 asin
27x
3
2
27
3
lim
−
→
→
3x
2 asin
27x
3
2
27
3
lim
−
→
3
→
58
2. Основы математических расчетов
Рис. 2.23. Вычисление кратных интегралов
Пример 2.12. Рассчитать площадь фигуры, ограниченной кривыми
Решение: для наглядности изобразим кривые на координатной плоскости, найдем точки пересечения графиков функций f(x) и g(x) (рис. 2.24). И да-
лее учитывая, что при , находим площадь фигуры.
Рис. 2.24. Расчет площади фигуры, ограниченной заданными кривыми
f x( ) 5sin x( )=
g x( )
3
2
x −( )=
4− 2− 0 2 4
5−
5
f x( )
g x( )
x
x x 0
f x( ) g x( )−
solve
float 4
3.142→
S
0
xf x( ) g x( )−
d
3 2
4
10+→=
1−
1
x
0
3
yx2y+
( )
d
d 11=
0
2
y
y
2
y
xx2cos y( )+
( )
d
d
2
2
4
−
4
192
+
7
2688
− 1+→
2. Основы математических расчетов
59
Пример 2.13. Рассчитать объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной графиками функций ,
и , вокруг оси
Ox.
Решение: построим графики функций на координатной плоскости, найдем
точки пересечения кривых и (рис. 2.25). И далее учитывая, что
при , находим объем тела вращения фигуры вокруг оси Ox.
Рис. 2.25. Расчет объема тела вращения фигуры вокруг оси
2.4. Вычисление сумм и произведений
В Mathcad можно вычислять конечные и бесконечные суммы и произведе-
ния с помощью операторов «Summation» и «Iterated Product» соответственно,
шаблоны которых расположены на панели Calculus. Примеры нахождения
сумм и произведений приведены на рисунках 2.26 и 2.27. Обратите внимание
на то, что результат может содержать специальные математические функции и
f x( ) x 1+=
g x( )
1
2
x=
0 2 4 6 8
2
4
f x( )
g x( )
x
x x 0
b f x( ) g x( )− solve 2 3 4+→=
V
0
b
xf x( )2g x( )
2
−
d
4 2 3 4+
( )
3
2
3
2
3
+
→=
60
2. Основы математических расчетов
константы. На рисунке 2.26 в результате вычисления конечной суммы получены дигамма-функция Psi(z) и константа Эйлера γ.
Рис. 2.26. Вычисление конечных сумм и произведений
Рис. 2.27. Вычисление бесконечных сумм и произведений
Помимо стандартных операторов суммы и произведения в Mathcad есть
операторы ранжированных сумм и произведений. При использовании данных операторов нужно задать ранжированную переменную, ввести ее имя в
нижний маркер оператора. При этом будут просуммированы или перемножены все элементы последовательности, соответствующие заданным значениям ранжированной переменной (рис. 2.28).
Рис. 2.28. Вычисление ранжированных сумм и произведений
Пример 2.14. Найти сумму ряда:
120i
1
i
=
3.598=
1ni
1
i
=
Psi n 1+( )+→
220i
1
1
i
−
=
0.05=
1ni
i
=
n→
0i
1
i
=
e→
0i
q
i
=
1
q 1−
− q 1 q 1if
1 qif
→
2i
1
1
i
2
−
=
1
2
→
2i
1
1
2 i 1−( )
2
−
=
4
→
n 1 10=
n
2
n
2046→n1 2n−−
( )
0.289=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]