Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
1. Основы работы с системой Mathcad
21
– identity (n) определяет единичную матрица размера ;
– diag (v) определяет матрицу, на диагонали которой находятся элементы вектора v;
– submatrix (A, r1, r2, c1, c2) извлекает часть матрицы A, находящуюся
между строками r1 и r2 и столбцами c1 и c2 включительно;
– augment (А, B, C, ...) формирует матрицу слиянием матриц-аргументов
слева направо, А, B, C, ... – матрицы с одинаковым количеством строк;
– stack (А, B, C, ...) формирует матрицу слиянием матриц-аргументов
сверху вниз, А, B, C, ... – матрицы с одинаковым количеством столбцов;
– rank (A) вычисляет ранг матрицы;
– eigenvals (A) вычисляет вектор, элементами которого являются соб-
ственные значения матрицы A;
– eigenvecs (A) вычисляет матрицу, содержащую нормированные соб-
ственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы A.
На рисунке 1.19 приведены примеры использования встроенных функций.
Рис. 1.19. Матричные функции
identity 3( )10
0
0
1
0
0
0
1
=
diag12
3
1
0
0
0
2
0
0
0
3
=
A
1
1−
1
2
2−
2−
=
B
3
3
3−
4−
4
4−
=
rank B( ) 2=
C augment A B ( )
1
1−
1
2
2−
2−
3
3
3−
4−
4
4−
==
D submatrix C 0 1 2 3 ( )
334−
4
==
stack A D ( )
1
1−
1
3
3
2
2−
2−
4−
4
=
M
0
1−
1−
1
0
1
1−
1
0
=
eigenvals M( )
1
0
1−
→
eigenvecs M( )
1
0
1
1
1
1
0
1
1
→
22
1. Основы работы с системой Mathcad
1.3. Символьные преобразования
При помощи символьного процессора Mathcad можно производить все
основные алгебраические преобразования, такие как упрощение выражений,
разложение на множители, приведение подобных слагаемых и т. д. Существует также возможность аналитического решения многих математических
задач без применения численных методов и, соответственно, без погрешностей вычислений. Для того чтобы указать символьному процессору, какое
действие необходимо выполнять, используются ключевые слова, расположенные на панели Symbolic (рис. 1.20).
Рис. 1.20. Панель Symbolic
Ключевое слово solve указывает, что необходимо решить уравнение, запи-
санное с помощью логического знака равенства, расположенного на панели
Boolean, относительно данной переменной (рис. 1.21). Аналогичным образом
можно решать системы линейных алгебраических уравнений и неравенства.
Mathcad представляет результат в виде чисел с плавающей точкой, если
за вычисляемым символьно выражением следует оператор численного расчета float. Количество выводимых разрядов задает целое число, вводимое
после ключевого слова (рис. 1.21).
Ключевое слово simplify, следующее после выражения, указывает на
необходимость сделать упрощения в нем. На рисунке 1.22 приведен пример
применения оператора simplify.
Ключевое слово assume указывает, что символьные вычисления должны про-
изводиться в предположении о выполнении условия, записанного после слова as-
sume через запятую (рис. 1.22). Условие должно ограничивать либо область опре-
деления переменной, либо ее тип. Для задания типа переменной можно обратиться
к панели специальных ключевых слов Modifiers панели Symbolic (рис. 1.23).
1. Основы работы с системой Mathcad
23
Рис. 1.21. Операторы solve, float
Рис. 1.22. Операторы simplify, assume
Рис. 1.23. Панель Modifiers
x 1+
x3x2+ x+
1
x4x−
( )
1−
x2− simplify 1−→
x2assume x 0 x−→
24
1. Основы работы с системой Mathcad
Панель содержит пять ключевых слов:
– integer – переменная является целочисленной;
– real – переменная является вещественной;
– RealRange (a, b) – переменная определена на отрезке [a, b];
– complex – переменная является комплексной;
– fully – используется для поиска периодических корней уравнений, ну-
лей функции.
Нередко при символьных расчетах возникают ситуации, требующие замены
переменной в выражении, которая осуществляется вводом ключевого слова sub-
stitute с конкретной формулой подстановки (рис. 1.22). Отметим, что оператор
substitute позволяет замещать не только переменные, но и целые выражения.
Действие операции expand в известном смысле противоположно дей-
ствию операции simplify. В ходе разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости разлагаются с помощью тригонометрических тождеств (рис. 1.24). Нередко правый маркер удаляют. В данной ситуации аналитический процессор старается разложить
выражение «по максимуму».
Рис. 1.24. Операторы substitute, expand
Ключевое слово factor используется для разложения выражений или чисел
на простые множители (рис. 1.25). Можно разложить на множители только не
очень сложное алгебраическое выражение. К примеру, данный оператор позволяет разложить полиномы на произведение более простых полиномов, а целые числа – на простые сомножители. Помимо этого, оператор factor позволяет
приводить дроби к общему знаменателю, переводить десятичные дроби в
обыкновенные, избавляться от иррациональности в знаменателе.
cos 2x( ) 1+( )2expand 2x cos 2 x( )22 cos 2 x( )+ 1+→
5x22x+ 4− x23+
( )
3
+ expand x69 x4+ 32 x2+ 2 x+ 23+→
1. Основы работы с системой Mathcad
25
Рис. 1.25. Оператор factor
Для вынесения общего множителя за скобку необходимо ввести ключевое
слово collect и переменную, по которой будет производиться данное преобразо-
вание. После ключевого слова collect допускается задание нескольких перемен-
ных через запятую (рис. 1.26). В такой ситуации производится последовательное
приведение подобных слагаемых по всем переменным.
Рис. 1.26. Операторы collect, parfrac
Ключевое слово parfrac позволяет ввести специальный символьный оператор parfrac – разложить на сумму простейших дробей (рис. 1.26).
Ключевое слово coeffs позволяет представлять коэффициенты полинома
в виде вектора
. Причем полином может
быть представлен в неразвернутой форме:
.
x 3−( )34x 1+( )
2
+ 27x− 24+ coeffs
2−
8
7
1
→
x4625− factor x 5−( ) x 5+( ) x225+
( )
→
584 factor 2373→
1
x1x 1−
−
1
x
2
+ factor
1
x2x 1−( )
−→
x3y z y−( )
z x y2 x2y+
( )
+
collect x y2z y y z−( )−
x3 y3z x+→
x3y z y−( )
z x y2 x2y+
( )
+
collect x y z 1−( ) y2 z y+
x3 z y3 x+→
7x33x+ 10−
x34x2− 3x+
parfrac
94
3 x 3−( )
10
3 x
− 7+→
26
1. Основы работы с системой Mathcad
Ключевое слово series служит для разложения функции по формуле Тейлора
(или Лорана). Данный оператор содержит три маркера. В первый вводится функция, во втором указывается имя переменной, по которой производится разложение, и в третьем – порядок аппроксимации. По умолчанию разложение производится в окрестности точки 0. Если нужно разложить функцию в окрестности
точки , то во втором маркере оператора series переменной следует присвоить с
помощью логического равенства нужное значение (рис. 1.27).
Рис. 1.27. Оператор series
1.4. Основы графической визуализации данных
Одной из сильных сторон системы Mathcad является построение разнообразных графиков. В Mathcad встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы.
Двумерные графики:
– график кривой в декартовой системе координат (X-Y Plot);
– график кривой в полярной системе координат (Polar Plot).
Трехмерные графики:
– график трехмерной поверхности (Surface Plot);
– график линий уровня (Contour Plot);
– трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);
– трехмерный график рассеяния (3D Scatter Plot);
– график векторного поля (Vector Field Plot).
Рассмотрим особенности создания двумерных графиков кривых (2D-
графиков).
Создать график кривой в декартовой системе координат можно с панели
Graph, нажав кнопку [ X-Y Plot ] (рис. 1.28).
2x2x+ 1−
x22x+
series x 6
341
2 x
−
5 x
8
+
5 x2
16
−
5 x3
32
+
5 x4
64
−→
1. Основы работы с системой Mathcad
27
Рис. 1.28. Создание X-Y Plot
Графическая область представляет собой две вложенные рамки. Во внутренней отображаются непосредственно кривые зависимостей. Пространство
между рамками служит для визуализации разного рода служебной информации.
Если в местозаполнители ввести по оси X имя переменной и по оси Y имя
функции (рис. 1.29), то в блоке появится нужный график. Имеется возможность изменения созданного графика форматированием его внешнего вида,
добавлением дополнительных элементов оформления или путем изменения
данных.
Построить график в Mathcad можно и по готовым векторам или таблицам
данных, полученных, к примеру, экспериментально. Естественно, при этом
векторы должны быть соразмерны.
Рис. 1.29. График функции одной переменной
f x( ) 5 x
x
3
12
−
2
3
+=
10− 5− 0 5 10
40−
20−
0
20
40
f x( )
x
28
1. Основы работы с системой Mathcad
Пример 1.10. Изобразить на декартовой плоскости точку с координа-
тами (6, 4).
Построение: создадим графическую область, введем в местозаполнители
по оси X число 6, по оси Y число 4, установим толщину линии равной 5 (рис.
1.30).
Пример 1.11. Изобразить на декартовой плоскости горизонтальную пря-
мую y = 4.
Построение: создадим графическую область, введем в маркеры по оси X
переменную x и по оси Y число 4 (рис. 1.30).
Рис. 1.30. Построение точки и прямой
Пример 1.12. Построить график зависимостей, заданных таблицей зна-
чений. В первом столбце заданы значения переменной x, во втором – значения переменной y (рис. 1.31).
Рис. 1.31. Построение зависимостей, заданных таблицей
Пример 1.13. Построить график параметрически заданной функции
0 2 4 6 8
2
4
6
4
6
0 2 4 6 8
2
4
6
4
x
A
001-2213-14
-2
5
0
6
0.5
=
0 2 4 6
3−
2−
1−
1
2
A
1
A
0
1. Основы работы с системой Mathcad
29
Построение: создадим графическую область, введем в местозаполнители
по оси X функцию sinh(t) и по оси Y – et. Результат этих действий показан на
рисунке 1.32.
Создание графиков в полярной системе координат аналогично заданию
кривой на декартовой плоскости. Для этого необходимо с помощью кнопки
[ Polar Plot ] на панели Graph создать графическую область и ввести в ме-
стозаполнители имена функции (полярный радиус) и переменной (угол). Отметим, что поменять стандартную величину изменения угла (от 0о до 360о)
непосредственно на графической области нельзя. Осуществление данной манипуляции возможно введением ранжированной переменной (рис. 1.33).
Рис. 1.32. Построение параметрически заданной функции
Рис. 1.33. Создание графиков в полярной системе координат (спираль Архимеда)
10− 5− 0 5
5
10
e
t
sinh t( )
t 0 0.01 20=
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0 10 20
4y
y
0
90
180
270
0 40 80
4t
t
30
1. Основы работы с системой Mathcad
На одну графическую область можно поместить несколько кривых. Для
этого после введения по оси Y имени первой функции необходимо добавить
нажатием клавиши [ , ] местозаполнитель для второй функции. На рисунке
1.34 построены графики одного и того же аргумента x. Об этом говорит един-
ственная метка x у оси абсцисс. Вместе с тем имеется возможность отображения на одном и том же графике зависимостей разных аргументов. Для
этого достаточно расставить по очереди метки всех зависимостей у обеих
осей (рис. 1.35).
Рис. 1.34. Построение нескольких графиков в одной области
Рис. 1.35. Построение зависимостей разных аргументов
В Mathcad’е имеется возможность определять координаты точек на гра-
фике. Трассировка начинает работать после выделения графика и открытия
панели инструмента X-Y Trace. При этом координаты текущей точки, на которую установлено перекрестие, отображаются в окне трассировки в полях
10− 5− 0 5 10
10−
5−
5
10
x
x sin x( )
x
f z( ) z−=
10− 5− 0 5 10
10−
5−
5
10
f z( )
x sin x( )
z x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]