Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы компьютерной математики. Задачи системного анализа и управления. Учебное пособие
.pdf
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
101
увеличении объема производства рост доходов замедляется, а затем доход снижается. Это объясняется тем, что объемы продаж не растут (рынок уже насыщен), но увеличиваются потери, связанные с хранением нереализованной продукции, снижением стоимости, порчей и т. п.
Рис. 4.18. Определение максимальной прибыли
Прибыль графически можно представить в виде отрезка, построенного па-
раллельно оси ординат, между кривыми дохода и издержек для фиксированного объема производства Q. Если кривая дохода расположена выше линии из-
держек, то разность между доходом и издержками положительная, следовательно, в данной точке предприятие получает прибыль. Если разность
отрицательная, то ее модуль определяет размер убытков. На рисунке 4.18 приведены точки пересечения кривых R(Q) и C(Q) Q1 и Q2, в которых доход равен
издержкам, то есть прибыль равна нулю. Эти точки носят название «мертвых
точек». Они определяют границы прибыльного производства, в которых эффективно вести выпуск продукции: на отрезке от Q1 до Q2 доход превышает
издержки, прибыль положительная, за границами этого отрезка – отрицательная. Следовательно, максимальную прибыль необходимо искать именно в этих
границах. Максимальная прибыль достигается в точке, где расстояние между
кривыми дохода и издержек наибольшее.
Порядок решения задачи в Mathcad:
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Определите функцию полного дохода как функцию объема продан-
ного товара.
102
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
3. Определите функцию издержек как функцию объема проданного товара.
4. Постройте на одном графике кривую полного дохода и линию издержек.
5. Найдите графически максимальную прибыль и границы доходного
производства.
6. Постройте график функции прибыли.
7. Найдите аналитически границы прибыльного производства, производ-
ную функции прибыли и точку максимальной прибыли.
8. Вычислите максимальную прибыль.
9. Сделайте выводы.
Пример выполнения задания.
Найти графически и численно максимальную прибыль и границы прибыльного производства для заданной функции цены и функции издержек:
, , где , , .
Рис. 4.19. Результат расчета модели оптимальной прибыли в Mathcad
Исходные данные
Функция цены
Функция издержек
Функция дохода
Функция прибыли
Расчет границ прибыльного производства:
выбираем точки в положительной полуплоскости, поскольку объем производства не может быть отрицательным
ед. ед.
Расчет оптимального объема производства:
- производная функции прибыли
ORIGIN 1=
A 9=
Cf25=
Cv2.9=
P Q( ) A Q Q2−=
C Q( ) CfCv+ Q+=
R Q( ) Q P Q( ) Q 9 Q Q2−
( )
→=
PR Q( ) R Q( ) C Q( )−=
Q
pr
R Q( ) C Q( )− solve
2.082
8.496
1.578−
→=
Q
pr
1
2.082=
Q
pr
2
8.496=
Q
PR Q( )
d
d
9 Q Q2− Q 2 Q 9−( )− 1−→
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
103
Рис. 4.20. Графическое представление результатов расчета оптимальной
прибыли в Mathcad
- оптимальный объем производства
- учитывая, что точка оптимального объема должна находиться в границах
прибыльного производства, выбираем
ед. прибыль в данной точке ден. ед.
Графическое представление результатов расчета
- график функций дохода, издержек с обозначенными границами прибыльного производства и точкой максимальной прибыли
- график функции прибыли с обозначением точки максимальной прибыли
Q
opt
Q
PR Q( )
d
d
solve
78
3
3+
3
78
3
−
→=
Q
opt
5.944
0.056
=
Q
opt
1
5.944=
PR Q
opt
1
( )
74.128=
0 2 4 6 8 10
0
50
100
108
0
R Q( )
C Q( )
C Q
.pr
1
( )
C Q
.pr
2
( )
R Q
.opt
1
( )
100 Q Q Q
.pr
1
Q
.pr
2
Q
.opt
1
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
74.128
0
PR Q( )
PR Q
.opt
1
( )
100 Q Q
.opt
1
104
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Пример 4.10. Модель межотраслевого баланса Леонтьева позволяет
ознакомиться с понятием межотраслевого баланса, принципами построения
зависимости выпуска каждой отрасли от конечного спроса, нахождения объема выпуска отрасли по заданному конечному спросу.
Межотраслевой баланс – метод анализа взаимосвязей между различными
секторами экономической системы. Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разбить на несколько отраслей (секторов), производящих различные товары и услуги (например, сельское хозяйство, транспорт,
энергетика и т. д.). При производстве в каждом секторе расходуются ресурсы в
виде сырья и рабочей силы, которые производятся как в данном секторе, так и в
других секторах. Это означает, что каждый сектор выступает и в роли производителя, и в роли потребителя. Цель балансового анализа – определить, сколько
товаров и услуг должен произвести каждый сектор, чтобы удовлетворить и свои
потребности, и потребности остальных секторов [11].
Рассмотрим упрощенную модель, когда вся система экономики состоит
из трех секторов: сельское хозяйство, тяжелая промышленность, легкая промышленность. В качестве единицы измерения выберем стоимость товаров и
услуг [11].
Пусть сельское хозяйство выпускает 200 денежных единиц продукции,
потребление внутри этого сектора составляет 50 денежных единиц, тяжелая
промышленность потребляет 40 единиц, а легкая – 110. Аналогично распределяется потребление продукции, произведенной в других секторах в соответствии с данными, представленными в таблице 6.
По строкам таблицы в ячейках указано распределение продукции по секторам. Числа в столбцах отражают потребление продукции всех секторов,
необходимой для обеспечения производства в данном секторе.
Таблица 6
Таблица межотраслевого баланса
Сектор
экономики
Сельское
хозяйство
Тяжелая
промышленность
Легкая
промышленность
Общий
выпуск
Сельское
хозяйство
50
40
110
200
Тяжелая
промышленность
70
30
150
250
Легкая
промышленность
80
180
40
300
Затраты
200
250
300
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
105
Система считается замкнутой, если вся произведенная в секторах про-
дукция потребляется этими же секторами.
Матрица межотраслевого баланса
(матрица Леонтьева) –
это матрица, элементы которой
показывают количество товаров и услуг
i-го сектора, потребляемого в j-м секторе. В замкнутой экономической си-
стеме баланс между общим выпуском и затратами можно описать следующим равенством [11]:
В открытой системе всю произведенную продукцию можно разделить на
две части:
– продукт, который потребляется секторами для производства своей про-
дукции, так называемый промежуточный продукт;
– продукт, который потребляется в секторе конечного спроса, то есть ко-
нечный продукт.
Обозначим:
– объем выпуска i-го сектора,
;
– объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемого в j-м;
– конечный продукт i-го сектора (потребляется в секторе конечного спроса);
– количество продукции i-го сектора, которое расходуется при
производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициент прямых
затрат).
Для открытой системы межотраслевой баланс будет обеспечен при равенстве объемов выпуска производящего сектора и суммарного объема его
продукции, потребляемого производящими секторами, плюс потребление в
секторе конечного спроса [11]:
Учитывая коэффициент прямых затрат, уравнение баланса:
106
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Обозначим через вектор выпуска, вектор конечного потребления – Y,
структурную матрицу экономики – A, элементами которой являются
. За-
пишем уравнение баланса в матричной форме:
где E – единичная матрица.
Структурную матрицу экономики A называют матрицей прямых затрат.
Задача расчета межотраслевого баланса сводится к определению вектора выпуска X при заданных матрице прямых затрат A и известном векторе спроса
Y [11].
Матрица полных затрат
содержит элементы
, которые
показывают, насколько надо увеличить выпуск i-го сектора при увеличении
на единицу конечного спроса
на продукцию j-го сектора.
Решением задачи является вектор выпуска
В экономической системе, заданной структурной матрицей A, спрос все-
гда удовлетворяется, если для любого вектора спроса Y существует вектор
производства X, все компоненты которого неотрицательны. Для неотрицательности компонент необходимо выполнение условия Хаукинса – Саймона,
которое заключается в том, что все угловые миноры матрицы D от
до
больше нуля [11].
Главная задача межотраслевого баланса некоторой экономической си-
стемы – при известной структурной матрице и заданном спросе определить
вектор выпуска.
Модель Леонтьева применима для анализа структуры экономики реги-
она, страны или импорта-экспорта.
Порядок решения задачи в Mathcad:
1. Установите режим символьных вычислений и режим отображения ре-
зультатов символьных вычислений по горизонтали.
2. Составьте и введите матрицу межотраслевого баланса.
3. Вычислите объем выпуска и платежи в сектор конечного спроса для
каждой отрасли.
4. Составьте структурную матрицу экономики.
5. Проверьте справедливость условия Хаукинса – Саймона.
6. Найдите матрицу D.
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
107
7. Вычислите объем выпуска для каждого сектора экономики по задан-
ному конечному спросу.
8. Вычислите увеличение объема выпуска продукции при заданном из-
менении начального спроса на продукцию указанного сектора.
Пример выполнения задания:
Пусть рассматриваемая модель экономики (табл. 7) включает четыре сек-
тора: три производящих (сельское хозяйство, промышленность, транспорт)
и домашнее хозяйство в качестве сектора конечного спроса.
Таблица 7
Таблица межотраслевого баланса открытой системы
Сектор
Сельское
хозяйство
Промыш-
ленность
Транспорт
Домашнее
хозяйство
Общий
выпуск
Сельское
хозяйство
50
16
120
60
246
Промышленность
30
10
180
100
320
Транспорт
15
14
80
80
249
Необходимо определить вектор выпуска X для известного вектора конеч-
ного спроса
. Найти изменение выпуска каждого сектора при ро-
сте спроса на транспортные услуги на 7 %.
108
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
Рис. 4.21. Расчет модели межотраслевого баланса в Mathcad (начало)
Исходные данные
Объем выпуска по отраслям
Построение структурной матрицы
ORIGIN 1=
B
80
50
25
25
10
19
140
160
70
100
95
60
=
Y
80
140
100
=
S
rows
B
1
1
1
1
=
S
rows
345
315
174
=
i 1 3=
Z
i
1
S
rows
i
=
Z
2.899 103−
3.175 103−
5.747 103−
=
diag Z( )
2.899 103−
0
0
0
3.175 103−
0
0
0
5.747 103−
=
4. Решение прикладных задач системного анализа и управления
109
Рис. 4.22. Расчет модели межотраслевого баланса в Mathcad (окончание)
Рассчитаем матрицу прямых затрат
Проверка условий Хаукинса-Саймона
Расчет матрицы прямых затрат
Расчет вектора выпуска
Расчет изменения выпуска при изменении спроса на транспортные услуги
на 7 %
A submatrix B 1 3 1 3 ( ) diag Z( )=
A
0.232
0.145
0.072
0.079
0.032
0.06
0.805
0.92
0.402
=
EA identity 3( ) A−=
EA
0.768
0.145−
0.072−
0.079−
0.968
0.06−
0.805−
0.92−
0.598
=
EA 0.326=
submatrix EA 1 2 1 2 ( ) 0.732=
submatrix EA 1 1 1 1 ( ) 0.768=
D EA( )
1−
=
D
1.604
0.47
0.242
0.294
1.228
0.16
2.611
2.522
2.244
=
X D Y=
X
430.617
461.771
266.114
=
0.07 X3 18.628=
0.07 X3 D
3
48.645
46.983
41.805
=
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Вычислить
2. Найти значения функции
когда аргумент пробегает отрезок [1; 2] с шагом 0,1.
3. Вычислить для каждого значения функции
с семью десятичными знаками.
4. Найти действительную и мнимую части, модуль, аргумент комплекс-
ного числа
. Найти сопряженное к нему комплексное число.
5. Вычислить символьно, приведя к алгебраической форме записи, ком-
плексное число
.
6. Определить матрицы Aи :
7. Вычислить
.
8. Найти определитель матрицы A, минор
и алгебраическое допол-
нение :
.
Указание: миноры сформировать из матрицы A с помощью матричных
функций – submatrix(A, r1, r2, c1, c2), augment(А, B, C ...), stack(А, B, C ...).
9. Для заданной матрицы A найти обратную матрицу:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]