Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные электрические колебания в электронной цепи. Учебное пособие
.pdf
4.2. Моделирование гармонического воздействия и отклика…
𝑢
=−𝑒
𝑢
=−𝑒
𝑢=−𝑒=
𝑀
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
𝑢
=−𝑒=
𝑀
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
.
𝑢
+
𝑢
+
𝑢+
𝑢
=𝑒.
𝑈
=−𝐸
=
𝑗𝜔𝑀
𝐼
𝑈
=−𝐸
=
𝑗𝜔𝑀
𝐼
𝑥св=𝜔𝑀.
𝑈
=𝑗𝑥св𝐼
=
𝑍
св
𝐼
𝑈
=𝑗𝑥св𝐼
=
𝑍
св
𝐼
,
(4.22)
и
Кроме того, действие ЭДС взаимоиндукции 𝑒 и 𝑒
рассматриваем
(4.23)
как напряжения
и
′
(4.24)
.(4.25)
Тогда вместо уравнения (4.21) получим
Первые два члена uL1, u
левой части равенства (4.26) представляют
L2
(4.26)
собой напряжения на индуктивностях L1, L2. Вторая пара слагаемых в
сумме (4.26) детерминирует напряжения от взаимной индукции первой и
второй катушки.
Для изучения энергетических свойств магнитно-связанных ветвей
электронной цепи перейдем от мгновенных значений напряжений и токов
к их комплексным амплитудам:
(4.27)
Входящее в формулы (4.27) произведение 𝜔𝑀 называется реактив-
ным сопротивлением связи
Поэтому напряжения 𝑈
и 𝑈
можно выразить так:
(4.28)
(4.29)
где 𝑍
св
=𝑗𝑥
– комплексное сопротивление связи.
св
Диаграмма (рис. 4.4) наглядно иллюстрирует соотношение фаз
тока 𝐼
, ЭДС 𝐸
1
и напряжения 𝑈
Их вектора демонстрируют, что в зависимости от знака М сдвиг фаз
между величинами 𝐸
параметр 𝑀>0, ЭДС 𝐸
и 𝐼
.
равен ±
. При согласном включении, когда
отстает от тока 𝐼
на угол
, а напряжение 𝑈
81
2
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
опережает ток 𝐼
ток 𝐼
, а напряжение 𝑈
(рис. 4.4, а). Когда значение 𝑀<0, то ЭДС 𝐸
, наоборот, отстает от него (рис. 4.4, б). Следова-
2
опережает
21
тельно, меняя местами зажимы катушки 2, можно управлять фазой ЭДС
𝐸
на 180°.
21
а б
Рис. 4.4. Векторные диаграммы тока и напряжения
в магнитно-связанной электронной цепи
4.3. Моделирование трансформаторов
напряжения и сопротивления
Рассмотрим четырехполюсником схему трансформатора, в котором
два магнитно-связанных индуктивных элемента 1, 2 не соединены между
собой гальванически (см. рис. 4.2), а взаимодействуют только кондуктивно
через общий магнитный поток (рис. 4.5). Обмотку трансформатора, присоединенную к источнику воздействия, считаем первичной катушкой, а другую его обмотку – вторичной катушкой.
Рис. 4.5. Идеализированная четырехполюсная схема,
иллюстрирующая два варианта возбуждения трансформатора
82
4.3. Моделирование трансформаторов напряжения и сопротивления
𝑈
=
𝑗𝜔𝐿𝐼
=
𝑗𝑥𝐼,
𝑈
=
𝑗𝜔𝑀
𝐼
,
𝐾
=
𝑈
𝑈
=
𝑀
𝐿
=
𝑥
св
𝑥
𝑈
=
𝑗𝜔𝐿𝐼
=
𝑗𝑥𝐼
.
𝑈
=
𝑗𝜔𝑀
𝐼
.
𝐾
=
𝑈
𝑈
=
𝑀
𝐿
=
𝑥
св
𝑥
,
𝑘
=𝐾𝐾,
Найдем аналитическую функцию, описывающую магнитную связь
катушек 1, 2 при воздействии гармонического сигнала, для случаев:
1. Когда возбуждение трансформатора происходит со стороны контура 1 (рис. 4.5, а) (т.е. обмотка 1 является первичной), а его ветвь 2 разомкнута. Тогда напряжения имеют вид
где величина 𝑥= 𝜔𝐿
рассматривается как реактивное сопротивление
(4.30)
(4.31)
участка 1 электронной цепи. Количественно степень воздействия контура
1 на ветвь 2 характеризует коэффициент передачи сигнала магнитно-связанными ветвями
(4.32)
в феноменологической импедансной трактовке.
2. Когда считаются первичной и вторичной, соответственно, обмотки 2 и 1, так как генератор сигнала подключен справа в эквивалентной
схеме (рис. 4.5, б) трансформатора.
Если в контуре 1 магнитно-связанной цепи реализован ХХ, то напря-
жение на клеммах ветви 2
Здесь сомножитель 𝑥= 𝜔𝐿
трактуется как реактивное сопротивле-
(4.33)
ние катушки 2, а напряжение на обмотке 1
(4.34)
Коэффициент передачи трансформатора
(4.35)
задает в импедансной форме воздействие цепи 2 на ветвь 1.
Далее рассмотрим случай, когда токи i1, i2 циркулируют в обеих обмотках трансформатора. Для символьного анализа влияния первичной и
вторичной цепей друг на друга, в математическую модель магнитных процессов вводят коэффициент связи
(4.36)
83
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
𝑘
=
𝑀
𝐿𝐿
=
𝑥
св
√
𝑥𝑥
,
𝐾
=
𝛷
𝛷
=
𝑛𝛷
𝑛𝛷
,
𝐾
=
𝛷
𝛷
=
𝑛𝛷
𝑛𝛷
,
𝑘
=
𝛷
𝛷
𝛷
𝛷
.
𝛷
=
𝛷
,
𝛷
=
𝛷
.
𝐾=
𝑈𝑈=
𝑛𝑛=𝑚,
𝐾=
𝑈
𝑈
=
𝑛
𝑛
=
1
𝑚
⎭
.
равный среднему геометрическому между числовыми значениями 𝐾, 𝐾
Этот единый параметр позволяет количественно оценить и наглядно продемонстрировать свойства трансформатора.
Объединив формулы (4.32), (4.35), (4.36), получим его импедансное
описание
(4.37)
в трансцендентной форме от величины реактивных сопротивлений двух
магнитно-связанных ветвей 1, 2.
Для расчета диапазона изменения k полученные соотношения (4.4) и
(4.7), (4.9) и (4.37) можно записать через более конкретные, но громоздкие
выражения магнитных потоков. Они феноменологически учитывают конфигурацию и размеры металлического провода, ферромагнитного сердечника и диэлектрического каркаса, межвитковые и межобмоточные емкости
в следующем виде:
(4.38)
(4.39)
Так как справедливы неравенства 𝛷
′
<𝛷
′
и 𝛷
′
< 𝛷
(4.40)
′
, то значе-
ние k всегда меньше 1.
Рассмотрим верификационную модель идеализированного трансформатора, в котором отсутствует рассеяние магнитных потоков обмоток.
Тогда одновременно справедливы следующие равенства:
(4.41)
Поэтому его коэффициенты передачи равен
.
84
(4.42)
4.3. Моделирование трансформаторов напряжения и сопротивления
Из формул (4.42) следует, что отношение вторичного и первичного
напряжений при холостом ходе цепи 2 определяется числом витков обмоток, а параметр m называется коэффициентом трансформации.
При подключении вторичной обмотки реального трансформатора к
нагрузке соотношение напряжений 𝑈/𝑈
всегда меньше т, в силу ряда
причин:
1) в существующих конструкциях магнитно-связанной цепи поток рас-
′
′
′
сеяния не равен нулю, и выполняются неравенства 𝛷
< 𝛷
и 𝛷
< 𝛷
′
;
2) омическое сопротивление витков металлических проводов обуславливает падение напряжения вдоль них, уменьшающее выходное напряжение трансформатора.
Четырехполюсная эквивалентная схема участка электронной цепи,
образованного магнитно-связанными ветвями без ферромагнитного сердечника, отмечена пунктиром на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Верификационная четырехполюсная схема
замещения идеального трансформатора
Подобная инвариантная двухпортовая макромодель взаимодействующих индуктивных элементов верифицирует результаты символьного анализа
магнитно-связанного участка в регенеративном устройстве, топологию пути
циркуляции постоянного и переменного тока в нем. Она удовлетворяет следующим критериям:
поток рассеяния Ф
равен нулю (𝛷
s
=𝛷
; 𝛷
=𝛷
), а коэф-
фициент связи между обмотками 𝑘=1;
в трансформаторе потери энергии магнитного поля отсутствуют и ком-
плексные мощности его первичной и вторичной обмоток равны между собой:
85
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
𝑈
𝐼
∗
=
𝑈
𝐼
∗
.
𝑈
𝑈
=𝑚=
𝑈
𝑈
,
𝐼
𝐼
=
1
𝑚
=
𝐼
𝐼
.
𝑍
вх.т
=
𝑈
𝐼
=
𝑈
𝑚
∙
1
𝑚
𝐼
=
𝑍
н
𝑚
,
𝑍
н
𝑍
вх.т
=
𝑚.
(4.43)
Соотношение (4.43) демонстрирует, что при холостом ходе обмотки 2,
когда 𝐼= 0 трансформатора, первичный ток I
(называемый током намагни-
1хх
чивания) также должен быть равен нулю. Из формулы (4.30) видно, что ток
намагничивания равен нулю, когда индуктивность 𝐿→ ∞.
При заданной угловой частоте ω гармонического сигнала отношение
напряжений в первичном и вторичном контурах электронной цепи равно
коэффициенту трансформации:
(4.44)
а в соответствии с формулой (4.43) соотношение токов в них:
(4.45)
Мощности, расходуемые во вторичной цепи идеального трансфор-
матора и подводимой источником сигнала, равны, а КПД 𝜂=1 верифика-
ционного варианта магнитно-связанной цепи.
Входное сопротивление модели идеального трансформатора равно
(4.45)
где величина 𝑍
=
задает нагрузку во вторичной обмотке. Аналитиче-
н
ский оператор (4.45) наглядно поясняет включение идеального трансфор-
матора (см. рис. 4.6) с коэффициентом m между сопротивлением 𝑍
и
н
генератором сигнала, имеющим частоту ω. При таких обстоятельствах источник гармонической ЭДС оказывается присоединенным к сопротивле-
нию 𝑍
, имеющим те же параметры, что и нагрузка 𝑍
вх.т
измененные в 𝑚
раз. В этом случае четырехполюсник магнитно-связан-
, но по величине
н
ного участка электронной цепи играет роль трансформатора сопротивления, характеризуемого коэффициентом
(4.46)
Для того чтобы магнитно-связанный участок реальной электронной
цепи по своим свойствам приближался к идеальному трансформатору его
катушки помещаются на ферромагнитный сердечник, благодаря чему:
86
4.4. Эквивалентные схемы трансформатора, содержащие нелинейные…
во-первых, уменьшается рассеяние и магнитный поток одной об-
мотки почти весь сцепляется с витками другой обмотки;
во-вторых, существенно увеличивается индуктивность первичной
(и вторичной) катушки, что способствует минимизации тока намагничивания. Одновременно принимаются меры по снижению уровня потерь в обмотках и сердечнике.
С другой стороны, вебер-амперные характеристики индуктивных
элементов становятся гистерезисными, а процессы в них описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Вместе с тем, для модернизации КТИ подобных регенеративных устройств часто приходится
реализовать трансформатором сопротивлений комплексно сопряженную
настройку ЭП, согласование параметров питающих проводов и «полезной»
нагрузки с энергетической точки зрения.
4.4. Эквивалентные схемы трансформатора,
содержащие нелинейные двухполюсные элементы
В технологии математического моделирования инженерным методом эквивалентных схем при символьном анализе передачи сигналов,
направленном на проектирование конформных изделий электронной техники, используется семейство двух-, четырех- и многополюсных инвариантов (см. рис. 1.1–1.3).
Они позволяют, в отличие от моделей физической электроники и наноэлектроники, пояснить общие закономерности комбинирования прямых и обратных воздействий, обусловленных само- и взаимной индукцией в системе
питающих проводников и ЭП, без использования принципа суперпозиции и
независимо от их конкретного КТИ и назначения. Например, совместно рассмотреть энергетические и тепловые процессы по переменному и постоянному
току в питающих проводах, соединяющих ЭП, с помощью закона сохранения
энергии и заряда, ЭМ индукции и Джоуля-Ленца и т.д.
Однако для формулировки алгоритмов оптимизации электронное
строение и ликвидации многозначности целевых функций, описывающих
колебательные и волновые явления в её стационарных и неустойчивых состояниях, необходимо идентифицировать электрическую структуру неавтономного блока.
87
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
𝐸
=−𝑗𝜔𝑀𝐼
,
𝐸
=−𝑗𝜔𝑀𝐼
𝒁𝐼
+
𝑗𝜔𝐿𝐼
=𝑈−
𝑗𝜔𝑀
𝐼
,
𝒁𝐼
+
𝑗𝜔𝐿𝐼
=−𝑗𝜔𝑀
𝐼
,
Поэтому в теории электронной цепи, имеющей участки, рекуперирующие и усиливающие, накапливающие и рассеивающие электрическую и магнитную энергию, синтез резистивно-негатронных операторов – равносильных
схем и формул – следует дополнительно проводить в рамках универсальных
одно- и двухпортовых Г-, Т-, П-образных точечных моделей ЭП (см. рис. 1.5).
На рис. 4.7 изображена исходная сосредоточенная эквивалентная
(принципиальная) схема соединения зависимого источника напряжения U
и нагрузки наглядно определяющая конструкцию двух индуктивно связанных ветвей. В её первичном и вторичном контуре включены сопротивления
𝒁=𝑍
(𝜔, 𝐼
) ПИ, 𝒁= 𝑍
(𝜔, 𝐼
) ВИ, и необходимо осуществить их ком-
плексно сопряженную настройку при одновременной оптимизации энергетических и тепловых параметров.
Рис. 4.7. Графическая макромодель индуктивно связанной цепи,
нагруженной сопротивлением Z
2
В алгоритме составлении уравнений электрического равновесия по
второму закону Кирхгофа в явном виде следует учитывать, что в идеализированной цепи, кроме источника сигнала U, присутствует ЭДС, вызванная
протеканием вторичного тока:
(4.47)
а во вторичном контуре действует ЭДС, индуктированная первичным
током:
(4.48)
В итоге получаем два математических соотношения:
(4.49)
(4.50)
или
88
4.4. Эквивалентные схемы трансформатора, содержащие нелинейные…
𝒁𝐼
+
𝑗𝜔𝐿𝐼
+
𝑗𝜔𝑀
𝐼
=
𝑈
𝒁𝐼
+
𝑗𝜔𝐿𝐼
+
𝑗𝜔𝑀
𝐼
=0.
𝒁𝐼+
𝑗𝜔(𝐿−
𝑀)𝐼+
𝑗𝜔𝑀
(
𝐼+
𝐼
)
=𝑈;
𝒁𝐼+
𝑗𝜔(𝐿−
𝑀)𝐼+
𝑗𝜔𝑀
(
𝐼+
𝐼
)
=0.
(4.51)
(4.52)
Совместное решение алгебраических уравнений (4.51), (4.52) дает
возможность применить разложение в ряд Тейлора и аналитически оце-
нить величину токов 𝐼
и 𝐼
при известных параметрах ЭП и заданном
воздействии.
Например, в ряде случаев, чтобы произвести наглядный символьный
расчет импедансных граничных условий и режимов конформной РЭА и
ЭВА, желательно заменить первоначальную идеализированную четырехполюсную цепь (см. рис. 4.7), содержащую магнитно-связанные элементы
другой эквивалентной схемой, в которой бы они отсутствовали (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Эквивалентная Т-схема индуктивно связанных
цепей – трансформатора
Подобный алгоритм необходим для корректного совместного использования уравнений Максвелла и Лоренца, теорем Теледжена и Кирхгофа,
справедливых в сосредоточенных цепях, построенных относительно точки,
находящихся внутри пролетных областей ЭП.
Его можно реализовать, если к правой и левой части уравнений
(4.51), (4.52) прибавить соответственно величины 𝑗𝜔𝑀𝐼 и 𝑗𝜔𝑀𝐼
. Тогда
получим
(4.53)
(4.54)
Математические соотношения (4.53) (4.54) описывают ЭМ процессы
в идеализированной цепи с двухполюсными элементами, изображенной на
рис. 4.8, которая и является равнозначной исходной макромодели (рис. 4.7)
регенеративного устройства.
Однако идеализированная Т-схема рис. 4.8 магнитного участка, соединяющего смежные ЭП, не содержит индуктивно связанных элементов.
89
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
Вместо них в нее входят сосредоточенные индуктивности, величина ко-
торых пропорциональна 𝐿− 𝑀 и 𝐿− 𝑀. Отметим, что когда справед-
ливы неравенства M > L1 или M > L2 одна из эквивалентных
индуктивностей оказывается отрицательной. Следовательно, электронную цепь (рис.4.7) нельзя описать сосредоточенной моделью, синтезированной только в индуктивном базисе. Расчет такой нелинейной цепи
может быть произведен сначала известными методами гармонической линеаризации и баланса, а затем классическим и операторным методом анализа переходных электрических процессов. Отметим, что допустимы и
несколько иные сосредоточенные инварианты эквивалентных схем индуктивно связанных электронных цепей при создании гираторов на
негатронах, используемых в микро- и наноэлектронике. Они соответствуют активным и пассивным проходным четырехполюсникам, замещающим вакуумные и полупроводниковые ЭП совокупностью резистивнонегатронных и реактивных двухполюсников (см. рис. 4.9).
а
б
Рис. 4.9. Эквивалентные схемы транзистора в виде
четырехполюсника (а) и модели Эберса –Молла (б)
С другой стороны, предлагаемая методология многоступенчатого ре-
куррентного математического моделирования систем ЭП позволяет:
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]