Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные электрические колебания в электронной цепи. Учебное пособие
.pdf
1.1. Основные уравнения теории нелинейных двух- и четырехполюсников
(рис.1.2). Этот случай наблюдается, когда энергетическое влияние на ЭП моделируется резистивно-негатронным НЭ и требуется определить ток или
напряжение активной ветви, содержащей тот или иной тип генератора ЭДС.
Поэтому в алгоритме идентификации контуров электронной цепи используются термины «стороны» или «порта», которые служат одновременно входом и выходом для мгновенной суммы x прямых и обратных воздействий.
В связи с указанным обстоятельством клеммы, образующие одну сторону
многополюсника, отмечаются буквенно-цифровыми символами со штрихом
и без него (1–1, 2–2’, n–n’ на рис. 1.1, 1.2).
Инвариантные схемы замещения, имеющие 2n-полюсов или n-сторон,
справедливы для конформных объектов, имеющих любое (одно-, двух- и
трехмерное) КТИ. Они феноменологически и рекурсивно учитывают импедансные свойства узлов настройки и питания, крепления и теплоотвода ЭП,
вводов и вывода сигналов, реализующих прием и переизлучение колебательной энергии в окружающее пространство.
4. Термин «структура» характеризует электрическое строение неавтономных блоков в общем ЭМ поле, скрытое несущей платформой и теплоотводом, диэлектрическим компаундом, выполняющим герметизирующую и
защитную функцию и т.д. Такая градация открытых изделий радио-, микрои наноэлектроники определяет варьируемую топологию беспроводных внутренних и внешних обратных связей дискретных ЭП с электростатическим
управлением при фиксированной геометрии и форме металлических питающих соединений.
Например, в интегральных схемах гига- и терагерцового (ИС ГГц и
ТГц) диапазонов, «интеллектуальных» композиционных материалах маскирующих покрытий, нанесенных на поверхность конформного объекта для
решения задач СТЕЛС технологии в 21 веке, полупроводниковых ЭП с развитой периферией в виде совокупности точечных диодов и транзисторов, регулярной или неоднородной активной линии передачи СВЧ-энергии [1–27].
Создание конформного КТИ РЭА и ЭВА иллюстрируется не только
сборочным чертежом и деталировками, но и условным графическим изображением «электронного строения» объекта, окруженного ЭМ полем, в виде
отдельного или объединения множества неавтономных блоков. Они трактуются как структурная, функциональная и принципиальная эквивалентная
схема путей циркуляции постоянного и переменного тока, сопровождаемой
перераспределением амплитуды напряжения и интенсивности сигналов.
11
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
𝑖=
𝑓
(
𝑢+
𝑢
)
;
𝑖=
𝑓
(
𝑢+
𝑢
)
.
Первоначально в структурной идеализированной нелинейной электрической цепи (рис. 1.2), справедливой для области между электродами
ЭП, выделяем вход 1, соответствующий зажимам 1–1 (рис. 1.1) неавтономного блока. Они являются общими при дальнейшем рекурсивном формировании составных двух-, четырех- и многополюсников, иллюстрирующих
совместное протекание токов переноса, проводимости и смещения. После
чего, базируясь на законе сохранения энергии и теореме об активном двухполюснике, задаем ЭДС x1(t) первичного источника (ПИ), где t – время, , xмгновенное суммарное воздействие в выбранной точке пространства. Тогда амплитудно-зависимая реакция y2(t,x1) её резистивно-негатронных
участков, задается управляемым вторичным источником (ВИ) u(t,i) напряжения и (или) i(t,u) тока. Он расположен на выходе 2 (рис.1.2) многополюсника и отдает колебательную мощность меньше, равную или больше чем
на него падает, соответствующую режимам рекуперации и усиления ЭП.
Таким образом следующим промежуточным или базовым инвариантом
служит совмещенная схема элементарного и составного одно- и двухпортовых нелинейных элементов (НЭ) отражательного и проходного типа.
Считаем, что отклик y2(t,u1) выходных ветвей и контуров как с сосредо-
точенными, так и распределенными параметрами подводится обратно к
(
)
(
входу 1 электронной цепи. В этом случае искомые 𝑖
𝑢, 𝑢
и 𝑖
𝑢, 𝑢
)
токи
на клеммах 1–1 и 2–2 зависят от алгебраической или геометрической суммы
первичного и вторичного воздействий 𝑢= 𝑢 + + 𝑢(𝑢):
(1.1)
(1.2)
Условно положительные направления этих величин, характеризуемых постоянными и переменными функциями в пространстве и времени,
отмечены на рис. 1.1.
Соотношения (1.1.), (1.2) справедливы при произвольной форме сигнала, номинальной величине постоянного тока и напряжения питании ЭП,
определяемой отводом тепла от активных и пассивных нелинейных элементов (НЭ) аналоговых и цифровых устройств. Эти соотношения обеспечивают
корректность применения законов Кирхгофа в одной точке ЭМ поля, находящейся внутри системы ЭП и проводников.
В этом случае результирующее напряжение u на зажимах 1–1
(рис. 1.1) макромодели электрической структуры РЭА и ЭВА варьируется
12
1.1. Основные уравнения теории нелинейных двух- и четырехполюсников
𝑑𝑖(𝑑𝑢)
=
𝜕𝑓(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢+
𝜕𝑓(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢=
𝜕𝑖(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢+
𝜕𝑖(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢;
𝑑𝑖(𝑑𝑢)
=
𝜕𝑓(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢+
𝜕𝑓(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢=
𝜕𝑖(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢+
𝜕𝑖(𝑢)
𝜕𝑢
𝑑𝑢.
из-за когерентных флюктуаций интенсивности входного и выходного 𝑑𝑢
и 𝑑𝑢 напряжений. Соответствующие изменения токов 𝑑𝑖(𝑑𝑢) и 𝑑𝑖(𝑑𝑢)
проходного участка адекватно определяются полными дифференциалами:
(1.3)
(1.4)
Частные производные в уравнениях (1.3), (1.4), являющиеся вещественными числами, имеют размерность проводимости. Они классифицируются в рамках импедансного подхода и закона сохранения энергии, как
нелинейные внешние g(u) – параметры взаимно уравновешенных ПИ и ВИ,
включенных по схеме соответственно на «отражение» либо «проход».
Напомним, что:
1. Двухполюсник или односторонний четырехполюсник (при n =
= 1) является самой общей моделью и одновременно простейшим представителем многополюсников с сосредоточенными и распределенными параметрами.
2. Явление «регенерации» трактуется как ослабление затуханий ЭМ
колебаний и увеличение добротности резонансных контуров при наличии
положительной обратной связи. В этом случае «потери» активной мощности в ветвях частично компенсируются энергией переменного тока, например, получаемой из анодной цепи лампы. Одновременно наблюдаются
рекуперативный или усилительный режимы ЭП, определяемые по его коэффициенту усиления мощности Kp, принимающему значения меньше или
больше единицы.
3. В современной теории цепей 2n-полюсник считают пассивным,
когда в нем отсутствуют генераторы возмущений ЭМ поля. Если же он содержит источники ЭДС произвольного типа, его описывают как активный
НЭ. Однако в нелинейной теории многополюсников подобное деление является неоднозначным, так как одни и те же ЭП ВИ могут работать в режиме генерации, рекуперации и усиления сигналов в зависимости от
прямого и обратного воздействия.
Именно поэтому инженерный подход, ориентированный на минимизацию энергопотребления и повышение диапазона рабочих частот РЭА и
ЭВА, использует:
13
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
𝜕𝑖(
𝑢)
𝜕𝑢
=
𝑔(
𝑢)
;
𝜕𝑖(
𝑢)
𝜕𝑢
=
𝑔(
𝑢)
;
𝜕𝑖(
𝑢)
𝜕𝑢
=
𝑔
(
)
;
𝜕𝑖(
𝑢)
𝜕𝑢
=
𝑔(
𝑢)
.
𝑑𝑖
(
𝑢
)
=
𝑔
(
𝑢
)
𝑑𝑢+
𝑔
(
𝑢
)
𝑑𝑢(
𝑢)
;
𝑑𝑖
(
𝑢
)
=
𝑔
(
𝑢
)
𝑑𝑢+
𝑔
(
𝑢
)
𝑑𝑢(
𝑢)
.
а) аналитический итерационный (или рекурсивный) расчет электронной цепи и импедансную трактовку теоремы Телледжена (т.е. закона
сохранения энергии);
б) диагностику существующей конструкции технического объекта и
модификации его электронного строения в ЭМ поле.
4. Неавтономный и автономный проходные четырехполюсники называют двухпортовыми (или двусторонними) многополюсниками. Каждый из
них имеет по две пары внешних зажимов, служащих для присоединения ПИ
и ВИ сигнала. Они разнятся тем, что при подобной классификации схем электронной цепи, в упомянутой первой модели, токи КЗ или напряжения ХХ
могут принимать значения равные нулю, а во второй – нет.
5) Между портами 2n-полюсника не должно существовать внешних
соединений по отношению к нему. Более того, токи, втекающие и вытекающие через клеммы одного порта, равны друг другу. Из этого определения
многополюсника и понятия о его автономности следует, что зажимы всех НЭ
исходного графического оператора открытой системы ЭП (рис. 1.2) должны
быть расположены и соединяться внутри неё. На рис. 1.2 окружающая её область пространства отмечена пунктиром.
Интересуясь совместной циркуляцией постоянного и переменного
тока в электронной цепи, введем обозначения:
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
и перепишем соотношения (1.3), (1.4) в форме основных уравнений, соответствующей известной теории проходных четырехполюсников:
14
(1.9)
(1.10)
1.1. Основные уравнения теории нелинейных двух- и четырехполюсников
∆
𝑖(∆𝑢)=𝑔
∆
𝑢+
𝑔
∆
𝑢(∆𝑢)
,
∆
𝑖(∆𝑢)=𝑔
∆
𝑢+
𝑔
∆
𝑢(∆𝑢)
.
𝑔
(∆𝑢)
=
∆
𝑖(∆𝑢)
∆
𝑢
𝑔
(∆𝑢)
=
∆
𝑖(∆𝑢)
∆
𝑢(∆𝑢)
.
𝑔
(∆
)
=
∆
𝑖(∆𝑢)
∆
𝑢
Нелинейные функции (1.9), (1.10) феноменологически демонстрируют коррелированную реакцию ЭП, зависящую от мгновенного положения
«рабочей» точки на ВАХ каждого из них. При этом амплитудно-зависимая
рекуперация и усиление энергии сигнала одиночным и семейством управляемых ВИ определяется резистивной и негатронной проводимостью составного двух- и четырехполюсного (или одно- и двустороннего) НЭ. Подобная
электрическая макромодель объемного, плоского и продольно-удлиненного
фрагмента аналоговой или цифровой аппаратуры адекватно формализует, в
частности, температурные флюктуации постоянного тока, являющихся первопричиной её «самовозбуждения».
Конкретизируем электрический смысл граничных условий в проходном нелинейном четырехполюснике с сосредоточенными и распределенными параметрами (рис. 1.1). Считаем символьно-знаковые равенства (1.9),
(1.10) справедливыми для конечных приращений напряжений и токов участков электронной цепи:
(1.11)
(1.12)
Из уравнения (1.11) следует, что коэффициент
(1.13)
характеризует входную проводимость активного и пассивного четырехполюсника и эквивалентного двухполюсного (или однопортового) НЭ при фик-
(
сированном напряжении ∆𝑢
)
∆𝑢
=0 или 𝑢= const на его выходе.
Одновременно, обратная проходная проводимость этого идеализированного участка обозначается
(1.14)
Она рассчитывается при конкретной амплитуде 𝑢= const сигнала
(∆𝑢= 0) на входе двухпортового НЭ. Из формулы (1.12) следует, что
оператор
(1.15)
определяет прямую проходную проводимость четырехполюсника, найден-
ную при фиксированной реакции ∆𝑢=0, 𝑢= const,
15
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
g
(∆𝑢)
=
∆
𝑖(∆𝑢)
∆
𝑢(∆𝑢)
,
)
Наконец, величина
(1.16
трактуется как выходная проводимость изучаемого нелинейного четырех-
полюсника, соответствующая неизменному входному воздействию 𝑢=
= const и ∆𝑢=0.
Однако перечисленные электрические параметры (1.13)–(1.16) неавтономного блока, имеющего конформное КТИ, не могут быть найдены
только традиционным путем теоретического и экспериментального моделирования тепловых флюктуаций постоянного напряжения и тока в деталях и узлах фрагментов РЭА и ЭВА:
1) при возбуждении четырехполюсника слева (рис. 1.3, а) и коротком
замыкании (КЗ) выхода 2–2;
2) в случае КЗ входа 1–1 и воздействии на двухпортовый НЭ справа
(рис. 1.3, б).
Дело в том, что применять принцип суперпозиции и теорему взаимности для конкретизации внешней характеристики и внутренней проводимости управляемого ВИ варьируемого типа или целевой функции оптимизации
начальных и граничных условий в электронной цепи не корректно.
Поэтому, алгебраизацию математических операторов и аналитический
расчет композиции сигналов реализуем на основе законов Кирхгофа и теоремы Телледжена методами эквивалентных синусоид и гармонической лине-
аризации, а приращения ∆𝑢 и ∆𝑢
описываем монохроматическими
функциями времени t. Они характеризуют энергетические процессы, имеющие угловую частоту ω, в смежных точках фрагментов конструкции аналоговых и цифровых устройств, соответствующих местам размещения
дискретных ЭП.
В этом случае четырехполюсные проходные участки становятся односторонними (рис. 1.3), т.е. превращаются в активный и пассивный двухполюсник, коллективное электрическое равновесие которых описывается
теоремами Тевенина (Тевенена) и Нортона. Однако адекватно отображать
стрелками положительные направления ПИ и ВИ переменных токов и напряжений, перманентно варьируемых за каждый полупериод колебаний и скрытых прямоугольной конфигурацией (рис. 1.11.3) идеализированных схем,
не возможно. Вместе с тем такое требование является первоочередным при
16
1.1. Основные уравнения теории нелинейных двух- и четырехполюсников
составлении уравнений Кирхгофа, иллюстрируемых топологическими и сигнальными графами. Более того необоснованное суммирование мгновенных
токов и напряжений с помощью алгоритма произвольного выбора обхода
контуров в резистивно-негатронной цепи приводит к искажению информации о рекуперативных и усилительных свойствах ВИ при регенерации колебательной энергии электронными компонентами.
а
б
Рис.1.3. Точечные двухполюсные модели прямого
и обратного нелинейного четырехполюсника
Именно поэтому в нелинейной теории многополюсников:
1) применяется импедансный способ, так как сопротивления и проводимости являются величинами, не имеющими направления, и порядок проставления буквенно-цифровых индексов возле них безразличен;
2) передача ЭМ поля между взаимно уравновешенными ПИ и ВИ
определяется теоремами Теледжена и активного двухполюсника.
Предлагаемый способ алгебраизации дифференциальных уравнений
(1.3), (1.4) позволяет обосновать использование аналитического инварианта в виде комплексной частотной характеристики (КЧХ) одно- и двустороннего многополюсного НЭ. Она определяется как отношение символьнознаковых изображений его отклика на воздействие в показательной, тригонометрической и алгебраической импедансной Ẏ(U)- и Ż(I)- форме. В этом
случае активные и пассивные свойства НЭ графически иллюстрируются по
отдельности амплитудно-частотной, фазо-частотной характеристиками
(АЧХ и ФЧХ) и годографом, построенным на комплексной плоскости (или
амплитудно-фазовой характеристикой – АФХ).
17
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
Кроме того, на первом этапе расчета мгновенных состояний электронной цепи с помощью законов Кирхгофа постулируем, что она обладает резонансными и селективными, резистивными и негатронными свойствами.
В результате отклики двух- и четырехполюсников имеют синусоидальную
форму, а основные уравнения (1.11) и (1.12) её электрической структуры достоверно отображаются в символическом виде, соответствующем угловой
(или круговой) частоте ω сигнала [41, 49].
При таком алгоритме прямого и обращенного анализа рекуперативного и усилительного режимов ВИ отфильтрованные и регенерированные
токи и напряжения на входе 1–1 и выходе 2–2 четырехполюсника корректно
заменяются комплексными функциями
İ1(ω,U) = I1; İ2(ω,U) =I2; U1(ω,U)=U1; U2(ω,U) =U2;
U(ω,U1,U2)=U1(ω,U) +U2(ω,U),
или
U=U1+U2. (1.17)
Одновременно вместо вещественных g(u) коэффициентов в основных уравнениях (1.11), (1.12) четырехполюсника фигурируют импедансные Ẏ(ω,U)-параметры, содержащие как действительную, так и мнимую
составляющие.
Алгебраические операторы инвариантной проходной модели, аналогичные (1.13) – (1.16), могут быть установлены для комплексных амплитуд
U
(ω,U), U
1
рассматриваем напряжения U = U
двухпортового НЭ, как сумму сигналов U
(ω,U), İ1(ω,U), İ2(ω,U) воздействий и окликов. В этом случае
2
(ω)+U
1
(ω,U) на зажимах 1–1 пассивного
2
(ω) независимого ПИ и U
1
(ω,U1)
2
управляемого ВИ. Кроме того, считаем токи İ1(ω,U1), İ2(ω,U2) на входе и
выходе четырехполюсника:
I1 = İ1(ω,U) = İ1'(ω,U1)+I1''(ω,U2), (1.18)
I2 = İ2(ω,U) = I2'(ω,U1)+İ2''(ω,U2). (1.19)
Здесь компоненты İ1'(ω,U1), İ2''(ω,U2) и İ1''(ω,U1), İ2''(ω,U2), вызываются действием только ПИ U1 или ВИ U2 в электронной цепи произвольной
топологии. Тогда слагаемые İ1(ω,U), İ2(ω,U) в равенствах (1.18), (1.19), соответствующих по форме первому закону Кирхгофа, представляем в виде:
İ1'(ω,U1) = Ẏ11(ω,U)·U
18
= Y11U1, (1.20)
1
1.1. Основные уравнения теории нелинейных двух- и четырехполюсников
𝑰=
𝒀
𝑼
+
𝒀
𝑼
,
𝑰=
𝒀
𝑼
+
𝒀
𝑼
.
İ1''(ω,U2) = Ẏ12(ω,U)·U
İ2'(ω,U1) = Ẏ21(ω,U)·U
İ2''(ω,U2) = Ẏ22(ω,U)·U
= Y12U2, (1.21)
2
= Y21U1, (1.22)
1
= Y22U2. (1.23)
2
С учетом уточнений (1.20)–(1.23) основные уравнения, связываю-
щие комплексные амплитуды напряжений U
(ω), U
1
(ω,U1), и токов İ1(ω,U),
2
İ1(ω,U) нелинейного четырехполюсника, независимо от параметров состав-
ляющих его элементов, запишем следующим образом:
(1.24)
(1.25)
Соотношения (1.24), (1.25) являются инвариантами нелинейной теории многополюсников, так как аналогичны аналитическим операторам
(1.9), (1.10) мгновенных напряжений и токов.
Импедансная Y – идентификация одно- и двухсторонней модели,
отображающей электронное строение объекта, имеет амплитудно-зависимый смысл:
1) входной проводимости четырехполюсного НЭ для КЗ ветви на за-
жимах 2–2:
(,)
(
𝑌
𝜔, 𝑈)=𝒀=
для случая переменной 𝑈= 0;
(,)
2) его прямой передаточной проводимости:
(,)
𝑌
(𝜔, 𝑈) =𝒀=
при КЗ ветви 1–1 и равенстве напряжения
(,)
𝑈= 0;
3) обратной передаточной проводимости проходного НЭ:
(,)
𝑌
(𝜔, 𝑈) =𝒀=
для КЗ выходных зажимах 2–2 и величине
(,)
𝑈= 0;
4) выходная проводимость двухпортового НЭ:
(,)
𝑌
(𝜔, 𝑈) =𝒀=
при КЗ входа 1–1 и значении 𝑈= 0.
(,)
Одновременно традиционно классифицируем первый вариант связи
(рис. 1.3, а) четырехполюсника и ПИ как прямой, а вторую схему его присоединения к ВИ (рис. 1.3, б) – обратный. Они соответствуют прямому и
обращенному символьному анализу суммирования нелинейных компонент
(1.18), (1.19).
19
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
𝑰
𝑰
=‖𝒀‖×
𝑼
𝑼
.
‖𝒀‖
=
𝒀
𝒀
𝒀
𝒀
.
Для символьного анализа токораспределения в фрагментах и во всем
конформном объекте амплитудно-зависимые основные уравнения (1.24)–
(1.25) его двухпортовой макромодели корректно записать в более компактной форме:
(1.26)
Здесь граничные условия в ЭМ поле электрической структуры, задаваемые явлениями композиции и регенерации сигналов, допустимым тепловым сопротивлением, радиационной стойкостью (и другими требованиями к
смежным ЭП), характеризуются в общем виде аналитическим оператором
(1.27)
Он представляет собой Ẏ(ω,U)- или Y-матрицу комплексной проводимости инвариантов активного и пассивного нелинейного 2n- полюсника,
имеющего одновременно участки с сосредоточенными и распределенными
параметрами (рис. 1.1–1.3).
Рассмотрим импедансные свойства сосредоточенной макромодели
проходного четырехполюсника, справедливой для расчета малосигнального импеданса одиночного ЭП в одночастотном приближении при фиксированном токе питания. Она является тестовым линейным инвариантом
рекуперативного режима электронной цепи, используемым для проверки
адекватности её КТИ, соответствия её графических и аналитических операторов друг другу, сопоставимости и достоверности теоретических исследований экспериментальным результатам. Понятие «линейность» означает
независимость внешних характеристик многополюсника любого типа от
мощности (интенсивности) прямого и обратного воздействий, а в эквивалентных схемах (рис. 1.1–1.3) справедлива теорема наложения.
Пусть такой верификационный проходной четырехполюсник возбуж-
дается слева независимым генератором напряжения 𝑈
его КЗ ветви 2–2 проходит ток 𝐼
(𝜔)
такой источник ЭДС на клеммы 2–2 (𝑈
= 𝐼
(рис. 1.3, а). Если пересоединить
(𝜔)
= 𝑈
= 𝑈
(𝜔)
= 𝑈
= 𝑈, а по
) линейной схемы в
соответствии с принципом взаимности, то через её замкнутый накоротко
′
порт 1–1 (рис. 1.3, б) потечет ток 𝐼
В свою очередь из уравнения (1.25) при напряжении 𝑈
= 𝐼
.
= 𝑈 и 𝑈
=0
имеем
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]