Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные электрические колебания в электронной цепи. Учебное пособие
.pdf
3.4. Дифференциальное уравнение и условие самовозбуждения гармонических…
𝐿
𝑑𝑖
𝑑
𝑡
+
𝑟
𝑑𝑖
𝑑
𝑡
−
1
𝐶
∙
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
=0.
𝑑𝑖
𝑑
𝑡
+
𝑟
𝐿
∙
𝑑𝑖
𝑑
𝑡
−
1
𝐿𝐶
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
−
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
=0
.
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
=
1
𝑀
𝑢
;
𝑑𝑖
𝑑
𝑡
=
1
𝑀
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
;
𝑑𝑖
𝑑
𝑡
=
1
𝑀
∙
𝑑𝑢
𝑑
𝑡
.
𝑑𝑢
𝑑
𝑡
+
𝑟
𝐿
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
−
𝑀
𝐿𝐶
∙
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐿𝐶
𝑢=0
.
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
=
𝜕
𝑖
𝜕
𝑢
∙
𝑑
𝑢
𝑑𝑡
+
𝜕
𝑖
𝜕
𝑢
∙
𝑑
𝑢
𝑑𝑡
=
𝑆
𝑑
𝑢
𝑑𝑡
+
1
𝑅
∙
𝑑
𝑢
𝑑𝑡
,
𝑢=
𝐸−
𝑢=
𝐸−𝑟
𝑖+
𝐿
Для дальнейшего символьного анализа электронной цепи преобразуем систему математических операторов (3.43)–(3.45), продифференцировав второе уравнение (3.44) дважды по времени t:
(3.46)
Подставляя в соотношение (3.46) значение тока ic = ia – iL, получим
(3.47)
Воспользуемся далее следующими обозначениями:
(3.48)
(3.49)
(3.50)
Тогда оператор (3.47) принимает вид
(3.51)
В дифференциальное соотношение (3.51) входит неизвестные величины u(t) и ia(t). В общем случае анодный ток лампы зависит от сеточного
ug и анодного ua напряжений, т.е.
𝑖=𝑓𝑢, 𝑢. (3.52)
Поэтому изменения анодного тока в функции напряжений имеет
следующий вид
(3.53)
где S, Ri – крутизна анодно-сеточной характеристики и внутреннее сопротивление лампы.
С другой стороны, анодное напряжение имеет вид:
.
(3.54)
71
3. Моделирование автоколебательных процессов в электронной цепи
𝑑
𝑢
𝑑𝑡
=−𝑟
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
−
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
−
𝑟
𝑀
𝑢
−
𝐿
𝑀
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
.
𝑑
𝑢
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑡
.
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
=𝑆
−
𝐿
𝑀
𝑅
𝑑𝑢
𝑑𝑡
−
𝑟
𝑀
𝑅
𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+
1
𝐿
𝑟+
𝐿
𝐶
𝑅
−
𝑀𝑆
𝐶
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+
𝜔
1
+
𝑟
𝑅
𝑢=0.
𝑑𝑢
𝑑
𝑡
+
1
𝐿
𝑟−
𝑀𝑆
𝐶
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+
𝜔
𝑢=0
.
Поэтому производная принимает следующий вид:
(3.55)
Согласно уравнению (3.45) производная принимает вид:
(3.56)
Следовательно,
(3.57)
Подставляя значение dia/dt (3.57) в равенство (3.51), окончательно
записываем
(3.58)
Таким образом, стационарные электрические процессы в исследуемой
электронной цепи описываются резистивно-негатронной нелинейной макромодели триодного устройства. Дело в том, что коэффициенты дифференциального уравнения (3.58) зависят от параметров Ri и S лампы, которые в свою
очередь являются функциями u.
Когда амплитудно-зависимое сопротивление Ri(u)>>r лампы велико,
и, кроме того, справедливо неравенство 𝑅(𝑢)≫𝑅э=
, где Rэ – входное
сопротивление контура при резонансе на частоте ω0, то уравнение (3.58)
принимает более наглядный вид:
(3.59)
Проведем символьный анализ полученного оператора (3.59), аналитически описывающего электрическое равновесие электронной цепи и
следующего из второго закона Кирхгофа. Разность 𝑟э= 𝑟−
, входящая
в множитель первой производной du/dt, имеет размерность сопротивления. Величина r характеризует «полезные» потери колебательной энер-
гии контура, например, на его излучение. В то же время вычитаемое
имеет отрицательный знак. Следовательно, триод, охваченный положительной обратной связью, при определенных условиях, может играть
72
3.4. Дифференциальное уравнение и условие самовозбуждения гармонических…
𝑟вн=
−
𝑀𝑆
𝐶
.
𝑑𝑢
𝑑
𝑡
+2𝑎
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+
𝜔
𝑢=0
,
𝑎э=
1
2
𝐿
𝑟−
𝑀
𝑆
𝐶
,
𝑟
−
𝑀
𝑆
𝐶
<0.
𝑟э=𝑟+
𝐿
𝐶
𝑅
−
𝑀
𝑆
𝐶
,
роль негатрона, а второй член в круглых скобках представляет собой сопротивление, вносимое в колебательный контур лампой:
(3.60)
Параметры эквивалентного резистора rвн определяются коэффициентом β обратной связи. С ростом взаимной индуктивности М абсолютное
значение вносимого в контур сопротивления rвн увеличивается. Поэтому
величина коэффициента 𝑟 −
второго слагаемого в уравнении (3.59)
есть результирующее сопротивление контура при наличии обратной связи.
Установим в явном виде импедансное условие самовозбуждения
электронной цепи. Считаем, что рассматриваемая модель в окрестностях
начальной рабочей точки на ВАХ триода линейна, и процессы в ней описываются линейным дифференциальным уравнением
э
(3.61)
где коэффициент
(3.62)
в котором величина S0 = S (0) задает крутизну анодно-сеточной характеристики лампы в исходной рабочей точке. Тогда условие самовозбуждения
электронной цепи иметь вид неравенства
(3.63)
При реализации критерия (3.63) сопротивление rэ контура оказывается отрицательным, и автоколебания в ламповом устройстве управляемо
нарастают.
Вернемся к рассмотрению дифференциальному уравнению (3.58). Активное сопротивление контура в этом случае
(3.64)
т.е. здесь появляется дополнительный член
=
, учитывающий шунти-
рующее действие внутреннего сопротивления лампы.
В этой макромодели можно показать, что самовозбуждение автогенератора наступает при условии
73
3. Моделирование автоколебательных процессов в электронной цепи
𝑟
+
𝐿
𝐶
𝑅
−
𝑀
𝑆
𝐶
<0,
𝑀
𝐿
>
1
𝑅𝑆
+
𝐶𝑟
𝑆𝐿
.
1
𝑅𝑆
=𝐷,
|𝛽|
>𝐷+
1
𝑆𝑅
э
.
|𝛽|
>
1
𝑆𝑅
э
,
𝛽кр=𝐷+
1
𝑆𝑅
э
,
(3.65)
или в иной форме записи
(3.66)
Одновременно отношение M/L равно абсолютному значению коэф-
фициента обратной связи β:
где D – проницаемость лампы;
=𝑅
, то окончательно будем иметь
э
(3.67)
(3.68)
При величине D = 0 (т. е. Ri = ∞) это неравенство приобретает форму
(3.69)
аналогичную условию (3.63). В дальнейшем символьном анализе циркуляции тока в триодном генераторе вместо |β| будем писать просто β, понимая
под этим абсолютное значение коэффициента связи.
Таким образом, для самовозбуждения электронной цепи при заданных параметрах контура и лампы необходимо, чтобы коэффициент обратной связи был больше величины
(3.70)
которая классифицируется как критический коэффициент обратной связи в
схеме (рис. 3.9). Аналогичное моделирование генератора ЭДС переменного
тока можно провести для резистивно-негатронного НЭ, имеющего другую
конструкцию и природу появления свободных электронов в них, например,
биполярном или полевом транзисторе.
74
3.4. Дифференциальное уравнение и условие самовозбуждения гармонических…
𝑒=–
𝑑𝛹
𝑑𝑡
=–𝐿
𝑑
𝑖
𝑑𝑡
=–𝑢.
𝛹=
Ф.
4. ТЕОРИЯ МАГНИТНОЙ СВЯЗИ
УЧАСТКОВ ЭЛЕКТРОННОЙ ЦЕПИ
4.1. Общие сведения о свойствах
магнитно-связанных цепей
Моделирование запасания энергии магнитного поля участком электронной цепи, по которой циркулирует постоянный и переменный ток, проведено в подразд. 3.5. С точки зрения КТИ он представляет собой
одномерный отрезок металлического провода или спираль различной конфигурации, намотанной на диэлектрический каркас или без него.
Показано, что:
1) параметром математической модели подобных радиоэлементов,
количественно характеризующим явление накопления магнитной энергии
в них, является индуктивность (L=Ф/iL) витка, равная отношению магнитного потока и связанного с ним тока;
2) условным графическим изображением и обобщенным геометрическим образом является проводник, свернутый в катушку. Связь между мгновенным напряжением (uL) на её концах и током (iL,) текущим в ней,
определяется законом электромагнитной индукции. Из него следует, что вариация потокосцепления Ψ или полного магнитного потока Ф, пронизывающего
катушку, имеющую n витков, наводит в ней ЭДС
(4.1)
Величина e пропорциональна скорости изменения потокосцепления
Ψ катушки, равного алгебраической сумме магнитных потоков Фn отдель-
ных витков
(4.2)
Выбор направления ЭДС e в идеализированной сосредоточенной
схеме участка электронной цепи определяется тем, что вызываемый ею ток
iL препятствует изменению магнитного потока Ф.
Теперь рассмотрим математическую модель двух индуктивных элементов, расположенных рядом друг с другом, задаваемых ветвями 1, 2
75
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
𝛷=
𝑛𝛷
.
𝐿=
𝛷
𝑖
.
б
𝛷=
𝑛𝛷
,
𝛷=
𝑛𝛷
,
𝐿=
𝛷
𝑖
.
электронной цепи (рис. 4.1, а,б). Они классифицируются как взаимодействующие катушки индуктивности её резонансных контуров.
1. Считаем, что ветвь 2 цепи разомкнута. В подобной модели ток
(iL=i1) течет только через катушку 1, а связанный с ней поток самоиндукции
(рис. 4.1, а) равен
Здесь 𝛷
– магнитный поток, пронизывающий каждый из n1 витков
(4.3)
катушки 1. При этом её индуктивность характеризуется формулой
(4.4)
а
Рис. 4.1. Графическое изображение магнитной связи
контуров электронной цепи
Обозначаем как 𝛷
′
часть потока 𝛷
, проходящего через отдельный
виток катушки 2. Тогда полным потоком взаимной индукции ветви 1 или её
потокосцеплением Ψ со всей катушкой 2, называется величина
где 𝑛
, – число витков катушки 2.
(4.5)
2. Если ветвь 1 разомкнута и ток (iL=i2) протекает лишь через катушку 2, то её свойства характеризуются потоком Ф (или потокосцеплением Ψ) самоиндукции (рис. 4.1, б)
(4.6)
а величина индуктивности ветви 2 равна
(4.7)
76
4.1. Общие сведения о свойствах магнитно-связанных цепей
𝛷=
𝑛𝛷
.
𝑀
=
𝛷
𝑖
=
𝛷
𝑖
𝛷
=
𝛷
+
𝛷
.
𝛷
=
𝛷
+
𝛷
.
𝛷=
𝛷±
𝛷
Здесь 𝑛, 𝛷
– количество витков и магнитный поток, пронизываю-
щий каждый виток катушки 2.
Далее предполагаем, что часть потока 𝛷
′
, равная 𝛷
′
, проникает
сквозь отдельный виток катушки 1. Поэтому полный поток, сцепленный со
всей катушкой 1, или поток взаимоиндукции катушки 2, записываем в виде
(4.8)
Кроме того, трактуем отношение потока взаимоиндукции к связан-
ному с ним току:
(4.9)
как взаимную индуктивность М изучаемых участков электронной цепи,
накапливающих магнитную энергию. Величина параметра M так же, как и
индуктивность L, указывается в Генри.
Компонента потока 𝛷
потоком рассеяния 𝛷
мгновенные значения 𝛷
Составляющая потока 𝛷
нуя катушку 1, считается потоком рассеяния 𝛷
, не проходящая через катушку 2, называется
индуктивного элемента 1 (см. рис. 4.1, а). Поэтому
определяются равенством
′
, замыкающаяся в электронной цепи, ми-
′
индуктивного элемента 2
(4.10)
(см. рис. 4.1, б), а суммарная величина
(4.11)
В электротехнике постулируется, что 1) положительные направления магнитного потока Ф и создающего его тока iL связаны правилом
правоходового винта; 2) катушки включены «согласно» когда направления
магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции совпадают. При
этом согласными являются положительные направления токов катушек i1
и i2. В противном случае гальваническое и кондуктивное соединение катушек по постоянному и переменному току называют «встречным».
Если наблюдается одновременная циркуляция токов i1, i2 в контурах в
1, 2 электронной цепи, то результирующий поток катушки 1 равен
(4.12)
В формуле (4.12):
77
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
𝛷=
𝛷±
𝛷.
а) верхний знак (+) иллюстрирует согласное включение индуктивных элементов 1, 2 и совпадение по направлению их магнитных полей взаимоиндукции и самоиндукции;
б) нижний знак (–) соответствует встречному включению катушек 1,
2 и потокам взаимоиндукции и самоиндукции, направленным навстречу
друг другу.
Тогда суммарный магнитный поток индуктивного элемента 2 характеризуется формулой
(4.13)
В идеализированной последовательной цепи выполняется равенство
𝑖=𝑖= 𝑖 токов (рис. 4.2).
При одинаковой намотке катушек 1, 2 эти магнитные участки можно
связать между собой двояким образом:
а) при гальваническом контакте конца 𝐾 и начала 𝐻
соседних ви-
тых проводников (рис. 4.2, а) получим «согласное» их включение;
б) «встречная» комбинация индуктивных элементов наблюдается в
случае непосредственного замыкания металлических концов 𝐾 и 𝐾
спи-
ральных проводов (рис. 4.2, б).
а б
Рис. 4.2. Схемы согласного (а) и встречного (б) соединения
индуктивных элементов электронной цепи
Зажимы Н1, Н2 и К1, К2 классифицируются как одноименные. Они
обладают следующей особенностью: если на эквивалентной схеме электронной цепи токи i1, i2 направлены одинаково по отношению к ним, то
включение оказывается согласным. Для того чтобы судить о топологии
связи катушек на её графическом изображении указывают направления токов и одну из пар одноименных зажимов (например, «начала» Н1 и Н2) отмечать точками и звездочками.
Суммарный магнитный поток Ф пары катушек, связанных последовательно, равен
78
4.2. Моделирование гармонического воздействия и отклика…
𝛷=𝛷+
𝛷,
𝐿
=
𝛷+
𝛷
𝑖
.
𝐿=𝐿+
𝐿±2𝑀
.
𝑒=−𝑛
𝑑
𝛷
𝑑𝑡
=
−
𝑑
𝛷
𝑑𝑡
.
𝑒=−𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡
.
(4.14)
а их общая индуктивность равна
Подставив в числитель дроби (4.15) значения 𝛷 и 𝛷
из формул (4.12),
(4.15)
(4.13) и приняв во внимание соотношения (4.4), (4.7), (4.9), получим
(4.16)
Обозначения «плюс» и «минус» в соотношении (4.16) детермини-
руют согласное и встречное соединение индуктивных элементов.
Следовательно, слагаемое М в отличие от индуктивностей L1, L2 может рассматриваться как переменная алгебраическая величина, имеющая
тот или иной знак.
Значения 𝑀>0 и 𝑀<0 соответствуют согласному и встречному
включения индуктивностей 1, 2 (см. рис. 4.2). Отметим, что изменения
знака и величины М можно обеспечить, не варьируя контакты индуктивных
элементов между собой, а регулируя положение одной катушки относительно другой в окружающем пространстве.
4.2. Моделирование гармонического воздействия и отклика в
магнитно-связанных контурах электронной цепи
Предположим, что к двум магнитно-связанным катушкам, включенным согласно, подведено ЭДС e источника напряжения, имеющего частоту
ω гармонического сигнала (рис. 4.3, а).
При протекании тока 𝑖=𝑖 через индуктивный элемент 1 его полный поток взаимной индукции 𝛷
наводит в катушке 2 ЭДС:
(4.17)
Используя соотношение (4.9), формулу (4.17) можно записать
(4.18)
В то же время поле взаимоиндукции тока 𝑖=𝑖 обуславливает воз-
никновение в катушке 1 ЭДС:
79
4. Теория магнитной связи участков электронной цепи
𝑒=−𝑛
𝑑
𝛷
𝑑𝑡
=
−
𝑑
𝛷
𝑑𝑡
=−𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=−𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=−𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡
.
𝑒−𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
−
𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡
−
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
−
𝑀
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=0.
𝑒
−(𝐿+
𝐿+2𝑀
)
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=𝑢.
(4.19)
При согласном включении катушек (𝑀>0) и положительном
направлении токов, отмеченном на рис. 4.3, а, источники 𝑒 и 𝑒
кую же полярность, как ЭДС самоиндукции, 𝑒 и 𝑒
а
б
Рис. 4.3. Мгновенные эквивалентные схемы согласного
включение магнитно-связанных ветвей электронной цепи
(рис. 4.3, б).
имеют та-
Тогда второй закон Кирхгофа для обоих графических инвариантов
идеализированной цепи (рис. 4.3) можно представить в дифференциальной
форме
(4.20)
С другой стороны, если в катушках 1, 2 течет один и тот же ток (𝑖=
= 𝑖= 𝑖), то равенство (4.20) записывается в наглядном виде
Таким образом, идеализированная цепь (см. рис. 4.3, а), равнозначна
одной индуктивности 𝐿+ 𝐿+ 𝐿+ 2𝑀.
По технологии символьного анализа в теории электронной цепи за-
висимые ЭДС самоиндукции 𝑒 и 𝑒
80
заменяем напряжениями
(4.21)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]