Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Нелинейные электрические колебания в электронной цепи. Учебное пособие
.pdf
1.1. Основные уравнения теории нелинейных двух- и четырехполюсников
𝐼
Одновременно равенство (1.24) показывает, что для случая 𝑈
𝑈
= 0:
𝐼
Так как в тестовой макромодели выполняется условие 𝐼
=𝑌
= 𝑌
𝑈
. (1.28)
𝑈
. (1.29)
= 𝐼
= 𝑈
′
, то её
и
импедансные параметры
𝑌
= 𝑌
. (1.30)
Откуда видно, что в пассивном четырехполюснике с сосредоточенными и распределенными линейными параметрами прямая и обратная
проходные проводимости Ẏ12(ω)= Ẏ12, Ẏ21(ω)= Ẏ21 идентичны друг другу.
Кроме того, такой четырехполюсник считают симметричным, если
при переносе источника ЭДС от зажимов 1–1 к 2–2 остаются равными вы-
ходные 𝐼, 𝐼
, и входные 𝐼, 𝐼
токи. Следовательно, подобный инвариант
интересен для верификации электрической структуры неавтономного
блока тем, что вариация подключения ПИ и ВИ не меняет сигналы в ходе
его прямого и обращенного анализа.
Из равенства (1.24) следует, что при реализации условий 𝑈=𝑈 и
𝑈= 0, тогда:
𝐼= 𝑌
𝑈, (1.31)
а для режима 𝑈= 𝑈 и 𝑈= 0 ток:
𝐼
В симметричном пассивном четырехполюснике токи 𝐼= 𝐼
=𝑌
𝑈. (1.32)
. По-
этому его входная и выходная проводимости равны между собой:
𝑌
= 𝑌
, (1.33)
Примером симметричного пассивного четырехполюсника может
служить его точечная Т-образная эквивалентная схема (рис. 1.4), у кото-
рого сопротивления 𝑍=𝑍= 𝑍 идеализированных двухполюсных эле-
ментов одинаковы.
Рассмотрим альтернативный инвариант проходного четырехполюсного НЭ (рис. 1.1), на входе которого действия ЭДС активного элемента в
виде ПИ гармонического тока İ1 равносильный в рамках импедансного подхода. В этом случае комплексная амплитуда суммарного сигнала İ(ω,İ1,İ2) задается переменной İ1(ω,I)=I1, искомыми величинами тока İ2(ω,I)=I2 и
21
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
напряжения U
(ω,I)=U1,U
1
(ω,I)=U2. Тогда исходные дифференциальные
2
функции (1), (2) нелинейной теории двух-, четырех- и многополюсников записываются следующим образом:
𝑼=𝒁
𝑼=𝒁
𝑰
𝑰
+ 𝒁
+ 𝒁
, (1.34)
𝑰
. (1.35)
𝑰
Рис. 1.4. Комплексная Т – схема соединения трех двухполюсников,
эквивалентная симметричному четырехполюснику
Коэффициенты Ż(ω,I) = Z аналитических операторов (1.34), (1.35)
имеют размерность сопротивления при корреляции воздействия постоянного и переменного тока и напряжения в изучаемой электрической структуре с помощью второго закона Кирхгофа. Они задаются импедансными
параметрами одномерных моделей переноса электронов и ЭМ поля в вакуумных и полупроводниковых ЭП при протекании суммарного тока
I = I1 + I2 и соответствуют зажимам 1–1 и 2–2 двухпортовых унифициро-
ванных схем (рис. 1.5), например, микротриодов и транзисторов.
Здесь:
(,)
Z
=
11
– входное сопротивление НЭ при разомкнутом выходе
(,)
(I2 = 0);
(,)
Z
=
12
– обратное проходное сопротивление НЭ (или сопротив-
(,)
ление обратной передачи) в случае ХХ входа (I1 = 0);
(,)
Z
=
22
– выходное сопротивление НЭ при разомкнутых зажи-
(,)
мах 1–1 и токе I1 = 0;
(,)
Z
=
21
– прямое проходное сопротивление НЭ (или сопротив-
(,)
ление прямой передачи) при разомкнутом выходе (I2 = 0).
Отметим, что одновременное использование равнозначных вариантов ЭДС сигналов в виде зависимых генераторов напряжения и (или) тока
22
1.2. Двухполюсные схемы замещения неавтономных проходных активного…
определяется перманентной вариацией мгновенного сопротивления ветвей
и контуров электронной цепи. Именно по этой причине её активные и пассивные участки первоначально замещаются резистивно-негатронными
одно-, двух- и многопортовыми элементами.
Совместно алгебраические равенства (1.24)–(1.25), (1.34)–(1.35) корректно и наглядно описывают КЧХ при флюктуациях «рабочих» точек на
ВАХ НЭ по постоянному и переменному току. Они сопровождаются изменением трактовки моделей управляемых ПИ и ВИ колебательной энергии,
зависящих от устойчивости её стационарного режима.
Напомним, что в линейной эквивалентной схеме (рис. 1.4) обычно
рекомендуется значения Z
= Ż11(ω), Z
11
= Ż21(ω) и Z
21
= Ż22(ω), Z
22
= Ż12(ω)
12
находить из опыта ХХ ветвей (I2 = 0, I1 = 0) ПИ и ВИ. Однако подобная
методика, ориентирующаяся на принцип суперпозиции, не применима как
в теории инвариантов электронной цепи, так и при экспериментальной верификации одно-, двух- и многопортового активного и пассивного НЭ.
Таким образом, графические (рис. 1.1–1.3) и аналитические образы
операторов (1.24)–(1.25), (1.34)–(1.35) по своей градации и форме аналогичны схемам и уравнениям линейных электро- радиотехнических цепей.
Однако теперь коэффициенты Y, Z токов и напряжений сами являются функ-
циями прямого и обратного суммарного U, I воздействия. Они обеспечивают
применимость законов Кирхгофа (вместо теоремы суперпозиции) для корректного расчета композиции интенсивности сигналов в отдельных точках
ЭМ поля, индуцируемого системой ЭП.
В свою очередь, начальный и последующий выбор типа ЭДС, описания амплитудной зависимости внешних характеристик и внутреннего сопротивления ПИ и ВИ с помощью инвариантной резистивно-негатронной
модели определяет дальнейший рекурсивный алгоритм символьного анализа граничных условий в электрической структуре РЭА и ЭВА.
1.2. Двухполюсные схемы замещения неавтономных
проходных активного и пассивного четырехполюсников
Буквенно-цифровые уравнения (1.24), (1.25), (1.34), (1.35) для токов
и напряжений содержат в общем случае четыре амплитудно-зависимых
слагаемых, которые определяют параметры ЭП в импедансной трактовке.
Кроме того, символьно-знаковые графические изображения (рис. 1.1–1.4)
23
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
точечных инвариантов составного НЭ не зависят от числа входящих в него
взаимно уравновешенных проходных 2n-полюсников, способа соединения
активного и пассивного участков.
Поэтому упомянутым операторам нелинейной теории электронной
цепи всегда можно поставить в однозначное соответствие оба закона
Кирхгофа, справедливых для пяти известных типов идеализированных двухполюсных элементов и эквивалентным сосредоточенным цепям на их основе.
Подобное описание электронной компонентной базы обусловлено:
1) феноменологическим подходом к моделированию композиции
сигнала электро- радиотехническими методами без использования принципа суперпозиции и потери данных об основном назначении конформного
КТИ объекта;
2) концепцией технологии символьного анализа нелинейных ЭМ
процессов путем синхронной геометрической и алгебраической формализации, сопровождаемой оптимизацией его электронного строения с энергетической точки зрения;
3) алгоритмом выделения – задания линейных и нелинейных участков 2n-полюсника электронной цепи.
В частности для проходного четырехполюсника, содержащего ВИ сигналов, можно синтезировать точечные Т- и П-образные (рис. 1.5, а, б, в) схемы
замещения неавтономного блока, имеющие различную топологию и отличающихся как изображением элементов, так и значениями их параметров.
Использование того или иного инварианта макромодели диагностируемого технического объекта, находящегося в ЭМ поле определяется:
a) методикой расчета импеданса ПИ и ВИ, ветвей и контуров по заданным выражениям для Y- и Z-параметров четырехполюсника методом
гармонической линеаризации;
б) наглядностью его применения для получения целевой функции в
рамках решаемой задачи синтеза схемы замещения аналоговых и цифровых
устройств с помощью инженерного алгоритма, основанного на законах сохранения энергии и заряда, электростатической и ЭМ индукции;
в) совпадением модели четыреполюсного НЭ с эквивалентной Т-схемой вакуумного триода и транзистора по постоянному и переменному току
в режиме малого и большого сигнала:
24
Z1 = Z
– Z12, (1.36)
11
1.2. Двухполюсные схемы замещения неавтономных проходных активного…
Z2 = Z12, (1.37)
Z3 = Z22 – Z12, (1.38)
Z4 = Z21 – Z12.
(1.39)
а
б
в
Рис. 1.5. Точечные Т- и П-схемы замещения электронной цепи,
содержащей активные и пассивные двухполюсники
Значения элементов П-образной схемы замещения электронного
строения следует искать по рассчитанным значениям Y(U)-параметров,
рассчитанным из законов Кирхгофа с помощью введенных ранее математических соотношений (1.24), (1.25) и (1.34), (1.35):
Y1 = Y
+ Y12, (1.40)
11
Y2 = -Y12, (1.41)
Y3 = Y21 + Y12, (1.42)
25
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
Y4 = Y21 – Y12.
(1.43)
Однако взаимно уравновешенному соединению активного и пассивного 2n-полюсников не всегда можно найти равносильную точечную идеализированную цепь, сосредоточенные элементы, которой имеют лишь
положительные вещественные значения. Упомянутая проблема возникает в
ходе эквивалентной трансформации инвариантов теории электронных цепей, содержащих связанные индуктивности.
Кроме того, изучаемое регенеративное устройство моделируется
несимметричным двухсторонним активным НЭ, в котором априори корректно импедансное условие Ẏ12(ω,U) ≠Ẏ21(ω,U). Напомним, что только в
верификационном варианте пассивного линейного четырехполюсника
(рис. 1.4) проходные проводимости Ẏ12(ω) и Ẏ21(ω) равны между собой.
Именно поэтому в нелинейной теории изделий радио-, микро- и
наноэлектроники первоначально применяется универсальная импедансная
макромодель резистивно-негатронного НЭ.
В качестве примера феноменологического способа моделирования
взаимодействия ЭП аналоговых и цифровых устройств, найдем аналитическую связь напряжений и токов разветвленных схем (рис. 1.5) с Ẏ(U) параметрами инварианта активного четырехполюсника (рис. 1.1).
1.3. Взаимосвязь точечных эквивалентных схем
электронной цепи, состоящих из двухполюсников
Для иллюстрации алгоритма символьного анализа нелинейной композиции сигналов в электронной цепи в рамках импедансного подхода и
законов Кирхгофа воспользуемся эквивалентными схемами и математическими соотношениями теории неавтономного блока.
Его графические (рис. 1.1–1.3) и аналитические операторы (1.24),
(1.25), (1.34), (1.35) дают возможность обоснованно найти сосредоточенную макромодель ПИ, ВИ, КЧХ двухсторонней макромодели НЭ в общей
Y-, Z-форме, зависящей от интенсивности сигнала или мощности прямого
и обратного воздействия.
Поэтому в дальнейшем определим эквивалентную схему активного
проходного четырехполюсника (рис. 1.1), для которой адекватны уравнения (1.24) и (1.25).
26
1.3. Взаимосвязь точечных эквивалентных схем электронной цепи…
Первоначально рассмотрим идеализированную электронную цепь,
изображенную на рис. 1.6. Она образована двумя пассивными элементами
𝒀
, 𝒀
и зависимыми источниками ЭДС переменного тока:
𝑰= 𝒀
𝑰= 𝒀
, (1.44)
𝑼
. (1.45)
𝑼
В адекватном соответствии графических операторов (рис. 1.1 и 1.6)
друг другу можно убедиться, получив уравнения (1.24) и (1.25), применяя первый закон Кирхгофа последовательно к узлам а и б или клеммам 1–1 и 2–2.
Однако графический четырехполюсный оператор, выделенный
пунктиром (рис. 1.6), включает в себя пару управляемых ЭДС. В то же
время использовать принцип суперпозиции не корректно при символьном
анализе композиции прямых и обратных воздействий в нелинейной электрической цепи.
Поэтому для уменьшения количества активных элементов перейдем
от формул (1.24), (1.25) и замещающей цепи (рис. 1.6) регенеративного
устройства к эквивалентной разветвленной сосредоточенной макромодели
неавтономного блока. Модифицированное П-изображение (рис. 1.7) содержит три пассивных элемента Y1,Y0,Y2 и лишь один генератор тока Iг = YU1.
Связав импедансы Y1, Y0, Y2, Y трансформированной идеализированной
схемы (рис. 1.7) с исходными параметрами Y11, Y12, Y22, Y21, (рис. 1.6) проходного четырехполюсника докажем тем самым ее справедливость.
Формируя уравнения электрического равновесия по первому закону
Кирхгофа для узлов т и п (рис. 1.7), получим:
𝑰=𝒀𝑼+ 𝒀(𝑼− 𝑼) , (1.46)
𝑰= 𝒀𝑼𝟏+ 𝒀𝑼− 𝒀(𝑼− 𝑼) . (1.47)
Используя классический алгоритм символьного анализа электронной
цепи, представим равенства (1.46), (1.47) в другой равносильной форме:
𝑰𝟏=[𝒀+ 𝒀]𝑼− 𝒀𝑼 , (1.48)
𝑰= [𝒀 − 𝒀]𝑼+ [𝒀+ 𝒀]𝑼). (1.49)
Сравнивая аналитические выражения (1.46), (1.47) и (1.48), (1.49)
между собой, видим, что они имеют одинаковый вид. Поэтому амплитудно
зависимый импеданс участков модифицированной схемы (рис. 1.7) находим,
приравнивая коэффициенты:
27
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
Y1 =Y
+ Y12 , (1.50)
11
Y0 =-Y12, (1.51)
Y3 =Y22 + Y12 , (1.52)
Y =Y21 -Y12.
Рис. 1.6. Эквивалентная схема активного четырехполюсника,
содержащего пару зависимых генераторов ЭДС колебательной энергии
Рис.1.7. Точечная макромодель проходного четырехполюсника,
имеющая один управляемый источник ЭДС
(1.53)
Указанный на рис. 1.7 генератор İг сигнала конкретизирует резистивно-негатронные свойства четырехполюсника. Переменный ток такого
зависимого ВИ ЭДС:
Iг =YU1= (Y21 – Y12)U
1
(1.54)
равняется нулю, когда проходные проводимости Ẏ21 и Ẏ12 идентичны. Чем
больше разница между Y21 и Y12, тем нагляднее проявляются диссипативные или усилительные свойства ЭП. Уравнения (1.50)–(1.53) дают возможность установить импедансные граничные условия при электрическом
равновесии электронной цепи, корректно рассчитать взаимно уравновешенную пару активного одно- и двухпортового НЭ.
Получим аналитическое выражение амплитудно-зависимого комплексного коэффициента Ku передачи напряжения четырехполюсного НЭ,
используя уравнение (1.24), (1.25),
28
1.3. Взаимосвязь точечных эквивалентных схем электронной цепи…
𝑲=
𝑼
𝑼
=
−
𝒀
𝒀
+
𝒀
н
.
𝒀вх=
𝒀
−
𝒀
𝒀
𝒀
=
𝒀
𝒀н−
𝒀
𝒀
𝒀
.
𝑲=
𝑰(𝑈)
𝑰
,
Пусть проходной Y-четырехполюсник шунтирован комплексной
проводимостью Yн нагрузкой, создаваемой смежным ЭП ВИ по переменному и постоянному току. Тогда при условно положительных направлениях тока I2 и напряжения U2 (рис. 1.8) записываем
𝑰= −𝑼𝒀н. (1.55)
Подставив функцию I2 (1.55) в формулу (1.25), имеем импедансное
условие
𝒀
𝑼
+(𝒀
)
+ 𝒀
𝑼=0 (1.56)
н
и амплитудно-зависимый комплексный коэффициент передачи Ku напряжения
(1.57)
Рис. 1.8. Макромодель прямого включения четырехполюсного НЭ
и «полезной» электронной нагрузки
Теперь, на основе уравнения (1.24), отыщем входную проводимость
электронной цепи, на зажимах 2–2 которой включена нагрузка Yн,
Y
= I1/U1 = Y11+ (U2/U1) Y12= Y11+ Ku Y12. (1.58)
вх
Используя в равенстве (1.58) значение Ku в виде дроби (1.57) и обозначив импеданс
Y
2н
= 𝒀
+ 𝒀
, (1.59)
н
вычислим
н
н
(1.60)
Затем запишем общее выражение комплексного коэффициента Ki
передачи тока четырехполюсником
(1.61)
здесь İ2(U) – выходной ток, текущий через нелинейную нагрузку, İ1 – входной ток.
29
1. Графические и аналитические операторы инвариантной модели…
𝑲=
𝑲𝑲,
𝑲=
𝑲
𝒁
н
𝒁
вх
,
𝑰
𝑼
=−𝒀н,
𝑲=−𝑲
𝒀
н
𝒀
вх
,
𝑲=
𝒀н𝒀
𝒀
𝒀н−
𝒀
𝒀
.
𝒀
вых
=
𝑰
𝑼
=
𝒀
+
𝒀
𝑼
𝑼
=
𝒀
+
𝑲𝒀
.
Комплексный коэффициент передачи мощности P сигнала
(1.62)
Его интенсивность на зажимах 2–2 неавтономного блока равна нулю
для граничных условий ХХ (𝑲
довательно, существует некоторая оптимальная нагрузка Y
= 0) и КЗ (𝑲𝑢= 0), создаваемых ЭП. Сле-
𝑖
, при которой
нопт
модуль Kp достигает максимального значения и ВИ отдает наибольшую колебательную мощность.
Умножив и разделив формулу (1.61) на произведение U
математическое выражение параметра K
(ω,P):
u
·U2 , найдем
1
(1.63)
в котором комплексные сопротивления Z
= Żвх(ω,P)=U1/I1, Zн =
вх
= Żн(ω,P) = U2/I2.
После чего, учитывая импеданс ветви 2–2,
(1.64)
получим амплитудно-зависимый оператор макромодели проходного четырехполюсника, связывающий его комплексные коэффициенты передачи
переменного тока K
(ω,Ṗ) и напряжения K
i
(ω,Ṗ):
u
(1.65)
Подставив в выражение (1.65) функции (1.57) и (1.60), придем к фор-
муле
(1.66)
Выходная проводимость Y
регенеративного устройства (т.е. между
вых
выходными зажимами 2–2) рассчитывается при замкнутых накоротко клеммах 1–1 ПИ ЭДС сигнала, но при сохранении его внутреннего сопротивления
𝒁=
в эквивалентной схеме (рис. 1.9).
𝒀
Воспользовавшись уравнением (1.25), получим
(1.67)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]