Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Учебное пособие.pdf
( )
H
H
H
U
ωω
ωω
−
−
=
4
1
14
( ) ( )
4
1
1
14
1
H
H
H
H
UU −=
−
−
=
ω
ωω
( )
( )
4
1
4
1
1
H
H
U
U =
( )
4
1H
U
Полученный механизм (обращенный механизм) представляет ступенчатую передачу, передаточное отношение которой
.
Из последней формулы можно определить передаточное
отношение для планетарного механизма (ω4 =0):
.
Передаточное отношение планетарного механизма при
ведущем водиле
,
где
передаточное отношение при ведущем центральном
колесе 1.
МКЭ первоначально появился в строительной механике,
сейчас он широко применяется во многих научных и инженерных приложениях.
МКЭ характеризуется следующими свойствами:
1) физическая область делится на подобласти или конеч-
ные элементы;
2) зависимая переменная (одна или несколько) аппраксимируется функцией специального вида на каждом конечном
элементе и, следовательно, во всей области. Параметры этих
аппроксимаций в последующем становятся неизвестными параметрами задачи;
3) подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения дает систему множества уравнений с неизвестными параметрами. Решая эти уравнения, можно определить значения
этих параметров и, следовательно, получить приближенное
4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
71
1
4
5
2
6
3
R
_
1
R
_
4
R
_
3
R
_
2
R
_
5
R
_
6
e
1
e
2
e
7
e
3
e
4
e
5
e
6
22
yx
F,F
33
yx
F,F
решение задачи. Так как число неизвестных в окончательной
системе уравнений часто весьма велико, то общепринято использовать матричные обозначения как для сокращения записи, так и для облегчения программирования.
Метод конечных элементов предполагает процедуру решения для непрерывной системы, т.е. системы, охватывающей
явление в непрерывной области.
4.1. Строительные конструкции
Рассмотрим плоскую шарнирно-соединенную ферму.
Предполагается, что ферма собрана без предварительного напряжения, а нагрузки приложены в узлах (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Силы F2 и F3, действующие в шарнирах на типовой
элемент е6, представлены на рис. 4.2 в виде их проекций
и
на оси х, у соответственно.
Смещения узлов элемента от их исходного положения (до
приложения нагрузки) обозначим δ2 и δ3 с компонентами
δx2, δy2 и δx3, δy3 соответственно.
В матричной форме:
72
[ ]
6
3
3
2
2
6
6
3
2
e
y
x
y
x
e
e
F
F
F
F
F
F
F
=
=
[ ]
=
=
3
3
2
2
6
6
3
2
y
x
y
x
e
e
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
x
y
0
2
Θ
3
F
_
y
3
F
_
y
2
P
_
P
_
F
_
x
3
F
_
x
2
e
6
( ) ( )
θδδθδδ
sincos
yyxx
2323
−+−
(
)
( ) ( )
[ ]
θδδθδδ
sincos
L
EA
Р
yyxx
2323
−+−=
, (4.1)
, (4.2)
где индекс е6 обозначает элемент, к которому относятся рассматриваемые величины.
Рис. 4.2
Растяжение или сжатие стержня длины L определяется
величиной
деформация получается в результате деления этой величины на L.
Так как напряжение (σ) равно модулю Юнга Е, умноженному на деформацию, то продольная сила, приложенная к
стержню, определяется как
где А – площадь поперечного сечения стержня.
,
, (4.3)
73
[ ]
−
−
=
=
=
θ
θ
θ
θ
sinP
cosP
sinP
cosP
F
F
F
F
F
F
F
y
x
y
x
e
3
3
2
2
6
3
2
2
x
F
(
)
( )
( )
[ ]
θθδδθδδ
cossincos
L
EA
F
yyxxx
23232
2
−−−−=
(
)
[
]
.
33
222
2
2
yx
yxx
cossincos
cossincos
L
EA
F
δθθδθ
δθθδθ
−−
−+×=
(
)
[ ]
×−−=
3
3
2
2
2
22
y
x
y
x
x
cossin,cos,cossin,cos
L
EA
F
δ
δ
δ
δ
θθθθθθ
3322
yxyx
F,F,F,F
(
)
×
−−
−−
−−
−−
×
×=
3
3
2
2
6
22
22
22
22
y
x
y
x
sin,cossin,sin,cossin
cossin,cos,cossin,cos
sin,cossin,sin,cossin
cossin,cos,cossin,cos
L
EA
F
e
δ
δ
δ
δ
θθθθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
Компоненты продольной силы Р могут быть приравнены
к компонентам шарнирных сил, и уравнение (4.1) примет вид
. (4.4)
Подстановка Р из уравнения (4.3) в выражение для
уравнении (4.4) дает
или
В матричной форме уравнение (4.5, б) имеет вид:
Четыре уравнения типа (4.5, в) для
в
, (4.5, а)
(4.5, б)
. (4.5, в)
в мат-
ричной форме:
74
. (4.6, а)
L
EA
−−−−−−−−−−−−−=
=
3
3
2
2
33332323
33332323
32322222
32322222
3
3
2
2
6
y
x
y
x
y,yx,yy,yx,
y
yxx,xy,xx,x
y,yx,yy,yx,y
y,xx,xy,xx,x
y
x
y
x
e
KK|KK
KK|KK
|
KK|KK
KK|KK
F
F
F
F
F
,
δ
δ
δ
δ
=
3
2
3332
2322
66
66
6
δ
δ
ee
ee
e
KK
KK
F
[ ]
=
=
6
5
4
3
2
1
3332
2322
3
2
000000
000000
000000
0000
0000
000000
0
0
0
0
66
66
6
6
6
δ
δ
δ
δ
δ
δ
ee
ee
e
e
e
KK
KK
F
F
F
С множителем
, внесенным в квадратную матрицу,
уравнение (4.6, а) приобретает вид
. (4.6, б)
Если матрицы разбиты штриховыми линиями, то уравнение (4.6, б) можно записать следующим образом:
. (4.6, в)
Уравнение (4.6, в) является матричным уравнением для
элемента е6, и его квадратная матрица коэффициентов [К] называется матрицей жесткости элемента. Подобные уравнения
могут быть получены и для других элементов. Уравнение
(4.6, в) может быть расширено так, чтобы оно включало все
узловые смещения системы:
75
. (4.6, г)
[ ]
{ }
δ
][
6
6
e
e
KF =
][
6
e
K
,,...,,,
662211
yxyxyx
RRRRRR
.FFFFR
e
x
e
x
e
x
e
xx
6
2
5
2
4
2
1
22
+++=
∑
=
=
7
1
22
i
e
xx
i
FR
∑
=
=
7
1
22
e
e
xx
FR
.
7
1
22
∑
==e
e
yy
FR
∑ ∑
= =
=
=
=
7
1
7
1
22
2
2
2
2
e e
e
e
y
e
x
y
x
.F
F
F
R
R
R
Уравнение (4.6, г) представляет собой расширенное матричное уравнение для элемента е6:
где
– расширенная матрица жесткости элемента е6,
, (4.6, д)
{δ} – вектор узловых перемещений системы.
Внешние силы R1, R2, …R6 могут быть выражены через
х–у компоненты
а условия равновесия
в узловых точках могут быть определены через эти компоненты. Например, в узле с номером 2 условие равновесия в направлении х имеет вид
(4.7)
Хотя в правую часть равенства (4.7) дают вклад только те
элементы, которые содержат узел 2, удобно записать это соотношение в общем виде:
, (4.8, а)
или
. (4.8, б)
Аналогичное соотношение получается для другой компоненты вектора R2:
(4.8, в)
Уравнения (4.8, б) и (4.8, в) можно объединить в матричной записи:
76
(4.9)
∑ ∑
= =
=
=
=
7
1
7
1
6
2
1
6
2
1
e e
e
e
e
e
.F
F
F
F
R
R
R
R
∑
=
=
7
1e
e
KR
δ
∑
=
=
7
1e
e
KK
,0RFFFK
dв
=+++
ε
δ
dв
F,F,F
0
ε
Аналогичные уравнения могут быть записаны и для других узлов. Результирующая система уравнений равновесия записывается в виде
(4.10)
Подставим выражений типа (4.6, д) в уравнение (4.10)
(4.11)
или
Kδ = R . (4.12)
Это уравнение называется матричным уравнением системы, а матрица К, задаваемая равенством
, (4.13)
называется матрицей жесткости системы.
Процедура, использованная выше для объединения матричных уравнений элементов, называется поэлементным объединением. Метод анализа конструкций, описанный выше, называется методом перемещений и может быть распространен на случаи:
а) начальных конструкционных (сборочных) или тепловых деформаций;
б) массовых сил, таких как гравитационные;
в) распределенных нагрузок, приложенных к стержням.
Вводя три дополнительных вектор-столбца в уравнение
(4.12), получим
где
деформациям в системе, массовым силам и распределенным
нагрузкам.
соответствуют конструкционным и тепловым
77
(4.14)
( ) ( )
[ ]
,sincos
L
EA
P
yyxx
135135
1212
1
1
δδδδ
−+−
=
−−
−−
−−
−−
=
−
−
=
=
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1111
1111
1111
1111
10
135
135
135
135
5
y
x
y
x
у
x
y
x
e
sinP
cosP
sinP
cosP
F
F
F
F
F
δ
δ
δ
δ
( ) ( )
[ ]
4545
3232
2
2
sincos
L
EA
P
yyxx
δδδδ
−+−
=
−−
−−
−−
−−
=
−
−
=
=
2
2
3
3
2
2
3
3
2
1111
1111
1111
1111
10
45
45
45
45
5
y
x
y
x
у
x
y
x
e
sinP
cosP
sinP
cosP
F
F
F
F
F
δ
δ
δ
δ
Этот анализ может быть распространен на трехмерные
фермы и случаи жестких соединений, когда силы и моменты
передаются через узлы.
Пример
Для шарнирно-соединенной фермы (рис. 4.3) вычислить
смещения в узле 2, предполагая, что каждый стержень имеет
длину равную 10 см и поперечное сечение равное 1 см2. Модуль Юнга Е = 2×106 кг/см2.
Согласно уравнению (4.3), для элемента 1 сила, действующая вдоль стержня, равна
(4.15)
отсюда с помощью уравнений (4.4) и (4.6, а) получаем
Для элемента 2 аналогично получаем соотношения:
, (4.17)
. (4.16)
. (4.18)
78
45
o
3 1
2
45
o
60
o
R =1000 кг с
2
e
1
e
2
x
y
0
45
o
3 1
2
45
o
60
o
R =1000 кг с
2
e
1
e
2
F
_
y
2
F
_
y
1
P
_
P
_
F
_
x
2
F
_
x
1
1
2
e
1
а
б
в
Рис. 4.3
79
−−++
−−++
++−−
++−−
=
−
−
=
=
3
3
2
2
3
1
2
2
2
1111
1111
1111
1111
10
45
45
45
45
5
y
x
y
x
у
x
y
x
e
sinP
cosP
sinP
cosP
F
F
F
F
F
δ
δ
δ
δ
−−
−−
−−−
−−−
−−
−−
=
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
111100
111100
112011
110211
001111
001111
10
5
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
R
R
R
R
R
R
δ
δ
δ
δ
δ
δ
====
−=−=
==
.
sinR
cosR
xxyx
y
x
0
;866601000
;500601000
3311
2
2
δδδδ
Для того чтобы проиллюстрировать процесс последовательного построения более четко, преобразуем уравнение
(4.19) так, чтобы нумерация узлов в его матрицах подчинялась
той же последовательности, что и в уравнении (4.17):
. (4.19)
Расширяя (4.17) и (4.20) до размерности системы и формируя результирующие уравнения поэлементным объединением согласно (4.11), получаем матричное уравнение:
. (4.20)
Так как
, (4.21)
то уравнение (4.21) можно записать в виде
80