Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Учебное пособие.pdf
τ
CD
n
CDDC
aaaa ++=
( )
.CDa;CD||a
;
CDV
a
CDCD
CB
V
CB
CB
n
CD
⊥
==
τ
µ
2
2
CB
CB
a
τ
ε
=
2
C
D
E
2
4
5
3
А
B
1
ω
1
Второе уравнение:
;
Построим план ускорений по приведенным векторным
уравнениям, найдем ускорение точки К по аналогичным уравнениям.
Свойства плана ускорений.
1–3. Эти свойства аналогичны свойствам плана скоростей.
4. Угловую скорость второго звена можно определить:
.
2.1.7. Построение плана скоростей и ускорений кулисного механизма (рис. 2.7)
Рис. 2.7
41
123232
BBBBBB
VV;VVV =+=
D
E
4
5
А
1
ω
1
B
1
2
B
2
C
D
3
B
3
Дано: ω1 = const, размеры звеньев.
Определить скорости и ускорения всех точек механизма.
Механизм содержит подвижных звеньев n=5; кинематических пар 5-го класса P5=7; степень подвижности W=1, класс
механизма – 2 (рис. 2.8).
Точка В1 совершает вращательное движение вокруг точки А
VB1=
ω1×
AB
;
точка В3 совершает вращательное движение вокруг точки С;
точка В2 совершает сложное движение – переносное вращательное вместе с точкой В3 и относительное поступательное
вдоль звена СД:
.
Рис. 2.8. Структура кулисного механизма
Построим план скоростей (рис. 2.9).
42
P
b
12
b
3
d
e
43
3
3
3
3
VdVd;
CB
CDPb
Pd;
Pb
Pd
CB
CD
=
⋅
==
=
+=
+=
.V
VVV
VVV
E
EEEE
DEDE
0
;
;
0
0505
3535
b
12
b
3
d
π
e
Рис. 2.9
Скорость точки D находим исходя из свойства подобия:
.
.
Переходим к плану ускорений (рис. 2.10).
Рис. 2.10
43
( )
;
;2
3; звено
2
3
2
3
2
1
3
312312
333
312312123
BC
V
BC
CB
n
B
BB
k
BB
CB
n
CBCB
BB
k
BBBB
AB
n
B
Pb
V
a
Va
aaaa
aaaa
a
µ
ω
ω
τ
τ
⋅
==
⋅=
++=
++=
⋅=
( )
.xx||aEDaED||a
a
ed
V
a
aaaa
aaaa
r
EEED
n
ED
k
EE
ED
V
ED
ED
n
ED
r
EE
k
EEEE
ED
n
EDDE
0
0
000
;;
;0
;
5; 4,звенья
2
2
⊥
=
⋅
==
++=
++=
τ
τ
µ
( )
( )
∏
=
1
1
ϕ
n
S
( )
( )
∏
=
2
1
ϕϕ
n
2.1.8. Аналоги скоростей и ускорений
Если степень свободы механизма равна единице, то положение выходного звена однозначно определяется обобщенной координатой или углом поворота входного (ведущего)
звена. Запишем для первого и второго механизма (рис. 2.11):
где Sn и
ϕ
– положение выходного звена;
n
Π – функция положения;
ϕ
– положение входного звена.
1
; (2.15)
, (2.16)
44
S
n
W =
1
B
C
A
ϕ
1
D
W =
1
B
C
A
ϕ
n
ϕ
1
( ) ( )
( )
∏
∏∏
⋅=⋅===
11
1
1
11
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
'
dt
d
d
d
dt
d
dt
dS
S
n
n
( ) ( )
( )
∏
∏∏
⋅=⋅===
11
1
1
11
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
'
dt
d
d
d
dt
d
dt
d
n
n
1
ϕ
( )
1
∏
ϕ
'
а
б
Рис. 2.11
Чтобы определить линейную и угловую скорости выходных звеньев, достаточно продифференцировать выражения
(2.15) и (2.16) по времени:
; (2.17)
. (2.18)
В выражениях (2.17) и (2.18) структура правых частей
одинакова, т.е. линейная или угловая скорость выходного звена определяется угловой скоростью
цией
вой передаточной функцией. Что это такое аналог скорости?
, которая называется аналогом скорости или пер-
45
входного звена и функ-
1
ϕ
( )
∏
=
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
'
n
( )
1
∏
ϕ
'
( )
1
∏
ϕ
'
( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
11
2
11
1
1
1
111
2
2
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
⋅+⋅=
=+
=
⋅
==
∏∏
∏
∏∏
'''
'
dt
d
dt
'
d
dt
'
d
dt
Sd
S
n
n
( ) ( )
11
2
11
2
2
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
⋅+⋅==
∏∏
''
dt
d
n
В выражении (2.18) разделим левую и правую часть на
и, получим
.
Аналог скорости – это отношение скоростей выходного и
входного звеньев. Аналог скорости является функцией положения механизма.
Существуют механизмы, где
=const, например
зубчатые передачи с круглыми колесами. Здесь аналог скоростей называется просто передаточным отношением.
В кулачковых механизмах при
ция
не постоянна. Это вызывает дополнительные ди-
ϕ
=const и
1
ϕ1≠
const функ-
намические нагрузки в механизмах, связанные с силами инерции, которые, в свою очередь, обусловлены ускорениями.
Продифференцируем по времени выражения (2.17) и
(2.18), получим линейное ускорение
(2.19)
и угловое ускорение
.
2.2. Силовой анализ механизмов
Силовой анализ механизмов представляет собой решение
первой задачи динамики системы: определение сил по заданному закону движения. Определению подлежат реакции в кинематических парах механизма. Для решения этой задачи в
46
«Теории механизмов и машин» применяется метод кинетостатики. Метод кинетостатики это формальный прием, который
позволяет записать уравнения движения в форме уравнений
равновесия и, следовательно, решать задачу методами статики.
Заметим, что метод кинетостатики это не единственный
способ решения этой задачи: можно, освобождаясь от связей,
вводить реакции связей в уравнение движения системы и находить последние из них. Звенья механизма, находящегося в
движении, в общем случае не находятся в равновесии, т.к. они
движутся с ускорениями.
Однако мы можем рассматривать равновесие всего механизма и каждого звена в отдельности, если применим к решению этой задачи принцип Даламбера, который утверждает следующее: если систему, находящуюся в движении, в какой –
либо момент времени мгновенно остановить и к каждой материальной точке этой системы приложить действовавшие на нее
в момент остановки активные силы, реакции связей и силы
инерции, то система останется в равновесии.
При определении неизвестных реакций мы будем расчленять механизм, пользуясь принципом освобождаемости от связей, т.е. будем выделять из механизма группы звеньев и отдельные звенья, рассматривать их равновесие. При этом действия
отброшенных звеньев на рассматриваемые будем представлять
реакциями, действующими на рассматриваемые звенья со стороны отброшенных в расчлененных кинематических парах.
2.2.1. Условие статической определимости кинематических цепей
Расчленяя механизм на части и прикладывая в расчлененных кинематических парах реакции со стороны отброшенных звеньев, следует иметь в виду, что не всякая выделенная
из механизма кинематическая цепь будет статически определимой системой. Статически определимой будет такая система, в которой число неизвестных (определяемых сил) будет
равно числу уравнений статики. Для плоских механизмов, в
47
2
1
_
R
12
состав которых входят кинематические пары 5-го и высшие
пары 4-го классов, и на которые действует плоская система
сил, число неизвестных реакций связей совпадает с числом ограничений, имеющихся в этих кинематических парах. Так, например, соединение звеньев во вращательную кинематическую
пару 5-го класса отнимает возможность движения центра вращения вдоль координатных осей за счет возникновения сил,
препятствующих движению в этих направлениях.
Таким образом, определению подлежат обе проекции силы реакции на координатные оси, т.е. неизвестных будет два.
Если же говорить о равнодействующей силе реакции как о векторе, то неизвестными будут величина и направление силы.
Третья характеристика силы – точка ее приложения – может
быть условно помещена в центр шарнира (поскольку сила – это
скользящий вектор). Конечно, «точка приложения» это понятие условное, так как силы реакции распределены по поверхности соприкосновения звеньев, однако равнодействующая реакции проходит через центр шарнира (рис. 2.12).
Рис. 2.12
Соединение звеньев в поступательную пару 5-го класса
отнимает свободу движения вдоль одной из координатных осей
(этому движении препятствует сила, направленная вдаль этой
оси) и свободу вращения вокруг оси, перпендикулярной координатной плоскости. Это говорит о том, что реакция создает
момент, направленный против момента активных сил. Таким
образом, в этой кинематической паре также имеются две неизвестные характеристики силы: величина и точка ее приложения.
48
1
_
R
12
x
a
y
2
2
N
N
1
_
R
12
Обычно начало координат помещается в центр смежной вращательной кинематической пары, относительно оси которой могло
бы совершаться вращение рассматриваемого звена (рис. 2.13).
Рис. 2.13
В высшей паре четвертого класса неизвестна только одна
характеристика силы: ее величина, т.к. направление е (по
нормали к соприкасающимся поверхностям звеньев) и точка
приложения известны (рис. 2.14).
Рис. 2.14
Таким образом, если в выделенную из механизма кинематическую цепь будет входить n звеньев, то для них можно
составить 3n уравнений статики (Σx=0, Σy=0, Σz=0). Число неизвестных в этих уравнениях будет соответствовать удвоенному числу кинематических пар 5-го класса плюс число кинематических пар 4-го класса, т.е. общее число неизвестных в выделенной кинематической цепи будет равно 2Р5+Р4. Для того
чтобы кинематическая цепь была статически определимой,
число уравнений должно быть равно числу неизвестных, т.е.
должно удовлетворяться условие
49
3n=2Р5+Р4.
Этому условию удовлетворяют группы Ассура. Вот почему для определения реакций механизм расчленяется на
группы Ассура.
2.2.2. Силы, действующие на звенья механизма
Применение метода кинетостатики предполагает использование принципа Даламбера, в связи с чем необходимо определять силы инерции звеньев механизма.
Сила инерции не является сосредоточенной силой: она
распределена по всему объему звена, которое может рассматриваться как тело, состоящее из бесконечно большого числа
элементарных масс, при движении которых возникают элементарные силы инерции. Для упрощения расчетов систему элементарных сил инерции приводят к главному вектору и главному моменту сил инерции и в таком виде прикладывают к
звену механизма.
В плоских механизмах звенья могут совершать три вида
движения: возвратно-поступательное, вращательное и сложное. Силы инерции определяются в зависимости от характера
движения, совершаемого звеном.
2.2.3. Силы инерции звена,
совершающего возвратно-поступательное движение
Этот вид движения характерен тем, что траектории, скорости и ускорения всех точек звена одинаковы. Рассматривая
звено как неизменяемую систему одинаковых элементарных
масс, каждая из которых развивает элементарную силу инерции, будем иметь систему параллельных одинаковых, направленных в одну сторону сил. Равнодействующая таких сил по
аналогии с системой элементарных сил веса будет приложена в
центре тяжести звена. Эта сила будет лишь больше или меньше
силы тяжести – это зависит от ускорения, с которым оно движется (рис. 2.15).
50