Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Учебное пособие.pdf
B
C
D
E
F
2
4
5
3
Подвижных
звеньев
Кинематических
пар 5-го класса
n=2; P5=3; W=3×2–2×3=0.
Рис. 1.19
Структурная группа должна удовлетворять следующему
условию:
W=3n–2P5=0; 3n=2P5; P5=(3/2) n.
Таблица 1
n 2 4 6 8
В таблице дается сочетание звеньев и кинематических
пар, из которых могут быть составлены структурные группы.
Первое сочетание n=2, P5=3 представлено группой вто-
рого класса. Такие группы имеют пять разновидностей.
Если группу второго класса присоединить к начальному
звену и к стойке, получим механизм второго класса. Групп
может быть сколько угодно, но это не меняет класс механизма.
Рассмотрим следующее сочетание: n=4, P5=6. Здесь возможны виды структурных групп, представленные на рис. 1.20.
Класс группы определяется классом замкнутого контура,
входящего в группу. Класс контура определяется числом его
сторон или числом кинематических пар в контуре. Порядок –
число свободных пар контура. Представленная на рис. 1.20
P5 3 6 9 12
21
2
1
4
3
2
1
4
3
первая группа будет III класса 3 порядка, а вторая IV класса 2
порядка.
Если в механизме есть группа III класса (не выше), то такой механизм будет механизмом III класса. Если ввести группу
IV класса, то механизм будет IV класса.
Рис. 1.20
Класс механизма определяется наивысшим классом
группы, входящей в данный механизм. Рассмотренный механизм (рис. 1.20) состоит из двух групп второго класса, присоединенных к начальному звену и к стойке, значит, класс механизма второй. Начальное (ведущее) звено со стойкой есть механизм I класса. При структурном синтезе последовательно
присоединяются структурные группы определенного класса к
механизму I класса (начальному) и к стойке.
Для чего необходимо знать класс механизма? В зависимости от класса механизма выбираются методы кинематического и силового исследования механизма.
Имея структурную схему механизма, всегда возможно
определить класс механизма. Для этого из структурной схемы
механизма необходимо выделить структурные группы определенного класса, выполняя нужную последовательность.
Рассмотрим определение класса механизма на примере (рис.
1.21).
1. Отсоединим от механизма самую простую по классу
группу Асcура, наиболее удаленную от ведущего звена, с тем
условием, чтобы оставшаяся цепь была механизмом и сохранила заданную степень свободы, т.е. W=1.
2. Отсоединив одну группу, определим ее класс и переходим к следующей.
22
А
0 0 0
B
M
N
K
C
D
E
F
J
6
7
2
4
5
1
3
6
7
2
4
5
3
1
W=3n–2Р5–Р4; n=7; Р5=10; W=1.
Рис. 1.21
В данном механизме можно выделить две группы (рис.
1.22): одна из звеньев 6 и 7 – II класса 2 порядка; вторая из
звеньев 2, 3, 4 и 5 – III класса 3 порядка. Весь механизм будет
III класса. Формула строения механизма представлена на
рис. 1.22.
II
←
(6,7)
I
(1,0)
→
III
(2,3,4,5)
В этом же механизме изменим ведущее звено, выберем
ведущим звено ЕF и определим снова класс механизма. Он изменится на второй, значит, класс механизма зависит от выбора
ведущего звена.
Рис. 1.22
23
А
О
1
О
2
B
C
D
E
F
J
2
4
5
7
6
1
3
2
5
4
6
7
1
3
Рассмотрим механизм, в состав которого входит высшая
кинематическая пара. Пару составляют звено 1 и 2 (рис. 1.23).
Рис. 1.23
Прежде чем определить класс механизма, необходимо
произвести замену высшей пары. Правило замены известно.
Строим заменяющий механизм и определяем его класс
(рис. 1.24). В механизм входят две группы: второго и третьего
класса.
I
←——— II
(1,0)
Следовательно, исходный (заданный) механизм также
третьего класса. Классификация по Ассуру-Артоболевскому
дана только для плоских механизмов.
—→ III
(2,3)
Рис. 1.24
24
(4,5,6,7)
1
2
3
5
4
1
2
1.9. Структурные группы пространственных механизмов
Принцип образования механизмов является общим для
плоских и пространственных. Условие существования пространственных структурных групп то же, т.е. W=0.
Степень свободы определяется выражением
W=6n-5Р5–4Р4–3Р3–2Р2–Р1.
Пусть пространственный механизм состоит из звеньев,
соединенных парами только 5-го класса (рис. 1.25). Структурная формула для него имеет вид W=6n-5Р5. Условие существования групп: W
выглядеть так: n = 5; 5Р5=6n; W=0.
= 0, т.е. 6n=5Р5. Структурная группа будет
гр.
Рис. 1.25
Структурная группа получается громоздкой. Выберем
другой состав звеньев и пар в механизме (рис. 1.26).
Рис. 1.26
25
3
1
2
W=6n–5Р5–4Р4–3Р3
Условие существования группы: Wгр. = 0
6n=5Р5+4Р4+3Р3
В этом случае n=2; Р5=1; Р4=1; Р3=1
Если такую группу присоединим к начальному звену,
движение которого определяет одна обобщенная координата,
получим пространственный механизм со степенью свободы,
равной единице (рис. 1.27)
n=3;Р5=2; Р4=1; Р3=1;
W=6×3–5×2–4×1–3×1=1.
Рис. 1.27
Следовательно, принцип образования пространственных
механизмов сохраняется.
2. АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
2.1. Кинематический анализ механизмов
Кинематический анализ механизмов – это изучение движения звеньев механизма без учета сил, вызывающих движение. Определяющим фактором здесь является степень свободы
механизма. Закон движения ведущих (начальных) звеньев известен, поэтому можно сказать, что кинематический анализ
состоит в определении движения звеньев механизма по заданному движению начальных звеньев.
26
Основные задачи кинематического анализа следующие:
1) определение положений звеньев, включая определение
траектории движения отдельных точек;
2) определение передаточных функций, скоростей и ус-
корений звеньев механизма.
Методы кинематического анализа:
1) аналитические;
2) графоаналитические;
3) графические;
4) экспериментальные.
В настоящее время аналитические методы анализа выходят на первое место, чему способствует развитие ЭВМ. Однако
графоаналитические и графические методы хотя и уступают в
точности получаемых результатов, широко распространены изза своей наглядности и доступности.
Ниже рассмотрено аналитическое решение задачи о положениях звеньев механизма по методу преобразования координат.
Метод предложен Ю.Ф. Морошкиным.
2.1.1. Определение положений звеньев
плоской незамкнутой кинематической цепи
Также кинематические цепи лежат в основе манипуляторов. Рассмотрим четырехзвенную незамкнутую цепь только с
вращательными парами 5-го класса, оси кинематических пар
параллельны, т.е. цепь плоская (рис. 2.1). Определим степень
свободы кинематической цепи.
Необходимо задать три обобщенные координаты, чтобы
положение звеньев относительно стойки было определено. В
качестве обобщенных координат примем углы ϕ10, ϕ21, ϕ32. Углы должны быть заданы как функция времени. Заданы размеры
звеньев l1 и l2 и положение точки Е3 на звене 3. Положение
точки Е3 задано координатами хЕ3 и yЕ3. Требуется найти траекторию точки Е3 относительно стойки.
27
x
1
x
2
x
3
E
3
ϕ
10
ϕ
12
ϕ
32
x
0
y
1
O
1
O
2
O
3
l
1
l
2
y
2
y
3
y
0
+=
−+=
.cosysinxy
sinycosxx
EEE
EEE
3232
32322
332
332
;
ϕϕ
ϕϕ
−=
−+=
.cosysinxy
sinycosxx
EEE
EEE
2121
21211
221
221
;
ϕϕ
ϕϕ
n=3; Р5=3; W=6×3–2×3=3.
Рис. 2.1
Со стойкой свяжем неподвижную систему координат х0,
у0. Выберем системы координат х1у1, х2у2 и х3у3, связав их с по-
ложением звеньев кинематической цепи.
Положение точки Е3 звена 3 задано в системе координат
х3у3 ; необходимо найти ее положение в системе х0у0 , т.е. найти
координаты хЕ0 и yЕ0. Переход от системы х3у3 к системе х0у0
проведем постепенно, переходя из третьей системы во вторую,
из второй в первую, из первой в нулевую.
Найдем положение точки Е3 в системе х2у2.
(2.1)
Переходим в систему х1у1, находим координаты хЕ1 и yЕ1.
Переходим в систему х0у0, находим координаты
Е3=хЕ0,yЕ0.
28
(2.2)
−=
−=
.cosysinxy
;sinycosxx
EEE
EEE
1010
1010
110
110
ϕϕ
ϕϕ
A
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
=
11 12 1
21 22 2
1 2
, ,........,
, ,........,
........................
, ,........,
T
32
32 32 2
32 32
0
0 0 1
=
−cos sin
sin cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
(2.3)
Уравнения (2.1), (2.2) и (2.3) являются системой линейных
уравнений с шестью неизвестными. Они дают возможность определить траекторию точки Е
т.е. определить е положение
3 ,
относительно системы х0у0. Метод преобразования координат
более удобен, если воспользоваться матричной формой.
2.1.2. Матричная форма уравнения
преобразования координат точек звеньев
Матрица порядка (m×n) есть система чисел (элементов),
расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n
столбцов:
.
Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n.
Уравнения (2.1), (2.2) и (2.3) запишем в матричной форме. Коэффициенты правой части дают матрицу порядка (2×3).
Удобнее использовать матрицы квадратные, поэтому к каждым
двум уравнениям добавим тождество l≡1, получим квадратные
матрицы третьего порядка.
Составим матрицу перехода из системы х3у3 в систему
х2у2.
Запишем матрицу перехода Т21.
.
29
T
21
21 21 1
21 21
0
0 0 1
=
−cos sin
sin cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
T
10
10 10
10 10
0
0
0 0 1
=
−cos sin
sin cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
.y
x
r
y
x
r
y
x
r
y
x
r
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
1
;
1
;
1
;
1
3
3
3
0
0
0
1
1
1
2
2
2
=
=
=
=
3
E
r
r r r
E E E
2 1 0
, ,
32
32 EE
rTr ×=
.
Матрицу перехода Т10.
.
Левые части уравнений (2.1), (2.2) и (2.3) с добавлением
тождества l≡1 дают столбцевые матрицы третьего порядка:
Радиус-вектор
и yЕ3.
Чтобы найти значение
известен, т.к. известны координаты хЕ3
необходимо:
; (2.4)
30