Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Учебное пособие.pdf
21
21 EE
rTr ×=
10
10 EE
rTr ×=
30
322110 EE
rTTTr ×××=
3
E
r
100
0
100
0
0
2121
12121
1010
1010
2110
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
cossin
sincos
cossin
sincos
TT
−
×
−
=
.sina
coscoscossinsina
sinsincoscossina
cosa
sin)sin(cossinsincosa
cos)cos(sinsincoscosa
10123
202110211022
202110211021
10113
2021102110211012
2021102110211011
;
;
;
;
;
ϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
=
=+−=
=+=
=
−=+−=−−=
=+=−=
100
2012020
2012020
2110
ϕϕϕ
ϕϕϕ
sincossin
cossincos
TT
−
=
3
E
r
1
3
3
3
E
E
E
y
x
r =
; (2.5)
. (2.6)
Подставим уравнения (2.4) и (2.5) в уравнение (2.6), подучим
.
Это уравнение позволяет определить положение точке Е3
в системе координат х0у0. Для этого необходимо перемножить
матрицы T10 и Т21, а затем (T10Т21)T
и столбцевую
32
.
.
Матрицу (2.7) умножаем на матрицу T32 и столбцевую
матрицу
:
. (2.7)
.
31
++−=
++−=
.sinsincosysinxy
coscossinycosxx
EEE
EEE
1012023030
1012023030
330
330
;
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
Получим:
(2.8)
Уравнения (2.8) можно было бы получить, решая уравнения (2.1), (2.2) и (2.3), но вычисления заняли бы больше времени. Матричная форма записи и решения уравнений удобнее.
Для решения таких уравнений существуют стандартные программы, используемые на ЭВМ.
Уравнение (2.8), определяющее положение точки E3 относительно х0у0, можно получить и иным способом, а именно –
составить уравнение проекции контура 010203E3 в системе х0у0.
Однако метод проекций получается сложнее метода преобразования координат для пространственных механизмов.
2.1.3. Определение положений, скоростей и ускорений звеньев пространственных механизмов
При кинематическом анализе механизмов по заданному
закону движения ведущих звеньев определяем положение,
скорость и ускорение ведомых звеньев механизма. Ведомые
звенья являются исполнительными в машине, поэтому знание
выше названных параметров совершенно необходимо при эксплуатации машин и механизмов.
Токарный станок. Для чего здесь необходимо знать скорости ведомых звеньев? Скорость является одним из главных
факторов выбора оптимального режима резания. От скорости
резания зависит чистота обработки поверхностей. Скорость
надо знать.
Знание ускорений необходимо для определения сил
инерции, возникающих в механизмах. С учетом сил инерции
ведется силовой и прочностной расчет механизма.
Задачу определения положений, скоростей и ускорений
ведомого звена рассмотрим на примере пространственного
кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.2).
32
1
2
3
O
x
1
x
2
x
0C
l
1
l
2
l
3
l
0
ϕ
21
θ
21
ϕ
10
x
0
y
0
z
0
z
1
z
2
A
B
C
Рис. 2.2
Степень свободы данного механизма равна единице,
W=1, т.е. задана одна обобщенная координата, это угол пово-
рота кривошипа АВ, ∠ϕ10. Угол ∠ϕ10 задается как функция
времени.
Удобно перемещение звеньев механизма рассматривать
относительно неподвижной системы координат. Неподвижную
систему координат связываем со стойкой механизма. Ось x0
неподвижной системы направим параллельно линии движения
ползуна, ось у0 будет направлена перпендикулярно линии движения ползуна. Причем плоскость х0Ау0 выбирается еще и так,
чтобы кривошип АВ лежал в этой плоскости. Ось z0 направим
по оси вращения кривошипа.
Обозначим координату точки С по оси у0 через l3, а по
оси z0 через l0. Текущее значение перемещения точки С будет
определяться одной переменной координатой x
Выберем еще две подвижные системы координат. Одну
свяжем с кривошипом, вторую с шатуном. С шатуном свяжем
систему x2y2z2, где x2 направим по шатуну ВС, z2 – по оси пальца шатуна, y2 перпендикулярно плоскости x2Вz2. Такой выбор
системы координат позволяет определить положение точки С в
системе x2y2z2 одной координатой, а именно:
33
по оси х0.
0C
=
=
=
.z
y
x
0
;0
;
2
2
22
=
=
=
.cossinxz
cossinxy
cosxx
C
C
C
212121
212121
2121
;
;
θϕ
θϕ
ϕ
==
++=
=+−=
++
+−=
=+−=
.sinsinzz
sincoscossinsincos
sincosysinxy
coscos
cossinsincoscos
cossinycos
xx
CC
CCC
CCC
2121210
101211021210212
1011011011
101101
212110221102
1011011010
;
;
θϕ
ϕθϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
θϕϕϕϕ
ϕϕϕ
,constz,consty
CC
====
0030
. (2.9)
Чтобы выразить перемещение ползуна х0С через обобщенную координату
ϕ
, подвижную систему x1y1z1 свяжем с
10
кривошипом АВ так: ось z будет параллельна оси z0, ось y1
окажется в ϕ1 плоскости x0Аy0, а x1 направим по кривошипу АВ.
Углы между осями x2 и x1 обозначим через ϕ21, а между z2
и z1 – через
θ
. Последовательным переходом из системы
21
x2y2z2 в систему x1y1z1 и в систему x0y0z0 решаем задачу нахож-
дения положения ползуна в неподвижной системе координат.
Опишем положение ползуна в системе x1y1z1.
. (2.10)
Найденные координаты точки С в системе x1y1z1 спроектируем на оси неподвижной системы x0y0z0.
(2.11)
Выше отмечено, что
подставив эти значения в систему (2.11), получим:
34
=
++==
+−=
.cossin
sincoscossinsincos
coscossinsincoscos
x
C
212120
1012121102211023
1012121102211020
;
;
θϕ
ϕθϕϕϕϕ
ϕθϕϕϕϕ
++=
+−=
.sincossinsincos
cossinsincoscosx
C
10121102211023
10121102211020
;
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
OC
x
OC
x
(2.12)
Система (2.12) содержит три уравнения и три неизвестных:
x0C,
ϕ
,
θ
.
21
21
Из второго и третьего уравнений системы (2.12) определяем углы
ϕ
и
θ
21
подставляя их в первое уравнение, находим
21,
x0С, т.е. координату положения ползуна.
Если механизм будет плоским,
θ
=0, т.к. оси z1z2z
20
па-
3
раллельны. В этом случае ползун будет двигаться в плоскости
кривошипа. Система уравнений для определения положения
ползуна примет вид:
(2.13)
Два уравнения с двумя неизвестными. Из второго уравнения определяем
ϕ
, подставив его в первое уравнение, опреде-
21
лим положение ползуна в зависимости от обобщенной координаты
ϕ
и размеров звеньев механизма l1, l2, l3.
10
Для определения скорости и ускорения перемещения
ползуна необходимо систему уравнений (2.12) продифференцировать по времени.
Первое дифференцирование системы (2.12) дает возможность получить систему линейных уравнений для определения
скорости перемещения ползуна.
Из третьего и второго уравнения полученной системы
(2.14) находим
ϕ
и
θ
21
, подставив их в первое уравнение, по-
21
лучим возможность определить скорость перемещения ползуна
в зависимости от угла поворота
скорости
ϕ
кривошипа. Повторное дифференцирование урав-
10
нений системы (2.12) позволяет определить ускорение
ϕ
кривошипа и угловой
10
ползуна.
35
( )
( )
+=
−
−
+−−
−−−=
=+−
−−+
++−=
+
+
++−
−+−=
=−−
−+−
−−−=
.cossinsincos
sincossin
coscossinsincoscos
coscoscossinsin
coscossinsin
sincossincoscoscos
coscossinsin
sinsinsin
sincoscossinsincos
cossincoscossin
sincoscossin
sinsinsincossincos
sincoscossinx
C
21212212121221
211021221
10
2
1
2110211021210
2110211021221
10110211021210
211021221211021221
10212101021221
211021221
10
2
1
2110211021210
2110211021221
10110211021210
211021221211021221
102121010212210
0
;
0
;
θϕθθϕϕ
θϕϕθ
ϕθϕϕϕϕϕ
θϕϕϕϕϕ
ϕϕθϕϕϕ
θϕϕθθϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
θϕϕθ
ϕθϕϕϕϕϕ
θϕϕϕϕϕ
ϕϕθϕϕϕ
θϕϕθθϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
(2.14)
положений звеньев механизма и построение траектории
2.1.4. Графическое определение
Для решения поставленной задачи должны быть заданы
кинематическая схема механизма и закон движения ведущего
(начального) звена.
Для определения положений звеньев механизма кинематическая схема выполняется в масштабе. Для этого выбирается
масштабный коэффициент µl (м/мм), который показывает,
сколько метров натуры содержится в одном мм чертежа.
Пусть задана схема механизма 2-го класса (рис. 2.3). Известны размеры звеньев механизма lAB, lBC, lCD, lAD и закон
движения ведущего звена. Механизм имеет ведущее звено АВ.
36
А
B
C
D
2
1
3
ω
1
А
B
C
C’
C
1
S
S
1
S
2
S’
B
1
B
2
C
2
D
ω
1
Рис. 2.3
Построение начинается с определения положения неподвижных точек механизма А и Д (lAD). Затем описываем окружность радиусом lAB и вторую – радиусом lCD (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Выбрав положение звена АВ, определяемое значением
обобщенной координаты
жение остальных звеньев ВС и СD.
Точно также можно найти ряд других положений меха-
низма. Будем считать
от положения кривошипа АВ, найдем положение механизма
АВ1С1D и т.д. Затем строим траекторию точки S, лежащей на
звене ВС.
ϕ
1
ω
=const, тогда откладывая равные углы
1
, находим методом засечек поло-
37
А
B
C
K
D
ω
1
ω
2
При построении положений звеньев механизма при одном
положении звена АВ звенья ВС и СD могут занимать два положе-
ния ВС и СD или ВС′ и C′ D. Это разные механизмы, здесь про-
являет себя свойство – условие сборки.
В нашем случае допустим только первый вариант ВСD,
т.к. при этом сохраняется требуемое направление угловой скорости звена СD – по часовой стрелке.
Второй вариант – В1С1D – это уже другой механизм, т.к.
СD вращается против часовой стрелки.
2.1.5. Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов
В такой задаче исходными данными являются кинематическая схема механизма (рис. 2.5), закон движения ведущего
звена, размеры звеньев механизма.
Дано:
Определить скорость точки К.
Схема механизма выполняется в масштабе.
ω
=const, размеры lAB, lBC, lCD, lAD, lBK, lKC.
1
W=1
Приступим к построению плана скоростей (рис. 2.6).
Рис. 2.5
38
P
а б
C
n
c
τ
τ
π
K
K
B
12
b
12
ABVV
BABB
⊥= ,
1
ω
мм
см
PB
V
B
V
==
12
µ
CBBC
VVV +=
Рис. 2.6
1. Определяем скорость точки В ведущего звена:
.
2. Выбрав полюс плана Р, откладываем в масштабе
вектор скорости точки В VB (рис. 2.6, а).
3. Переходим к определению скорости точки С. Точка С
принадлежит звену ВС и СD. Звено ВС совершает плоскопа-
раллельное движение. Скорость точки С определяется по теореме сложения скоростей – скорость любой точки звена, совершающего сложное движение, определяется как сумма скоростей в переносном и относительном движении, т.е.
.
VB является переносной скоростью в поступательном
движении, V
– относительная скорость во вращательном
BC
движении точки С вокруг точки В (направлена перпендикулярно к СВ).
Строим на плане это направление: через точку в прово-
дим линию, перпендикулярную к ВС. Из полюса проводим направление скорости точки С при ее движении вокруг D. Точка
пересечения двух направлений дает положение точки С на
плане. Скорость точки С определяется как
VC=(РС)
×µ
.
V
39
CB
CB
V
=
2
ω
AB
n
B
a
2
1
ω
=
τ
CB
n
CBCBCBBC
aaa;aaa +=+=
( )
.CBa;CB||a
;
cV
a
CBCB
CB
VB
CB
CB
n
CB
⊥
==
τ
µ
2
2
Чтобы найти скорость точки К, необходимо на векторе
B12C построить
∆
и сходственно с ним расположенное
вкс
Vк=(РK)
×µ
.
V
Это свойство плана скоростей носит название теоремы
подобия скоростей.
2.1.6. Свойство планов скоростей
1. План скоростей – это плоский пучок лучей, исходящих
из полюса. Каждый луч представляет собой вектор абсолютной
скорости какой-то точки механизма.
2. Отрезки, соединяющие концы векторов, являются относительными скоростями.
3. Свойство подобия: фигуры, образованные на полюсе
векторами скоростей, подобны фигурам, образованным звень-
ями механизма, поврнутыми на 90°.
4. Возможность определения угловой скорости звеньев
по величине и направлению:
.
План ускорений (рис. 2.6, б):
1)
;
2)
.
Ускорение точки звена, совершающего сложное движение, складывается из переносного ускорения и относительного
нормального и касательного. В данном случае переносное ускорение по характеру поступательное, а относительное вращательное.
40