Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Механика. Учебное пособие.pdf
POPOq
21
⋅ϕ=⋅
PO
POq
i
1
2
12
=
ϕ
=
1
2
12
z
zq
i
−=
ϕ
=
мой О1О2, соединяющей оси вращения звеньев 1 и 2. Следовательно, мгновенным центром скоростей в относительном движении является точка Р, лежащая на пересечении нормали n-n и
линии О1О2. В теории зубчатого зацепления эту точку называют
полюсом зацепления.
Из определения мгновенного центра скоростей следует,
что относительная скорость в точке Р равна нулю, т.е.
VP1 = VP2.
Следовательно,
. (3.1)
Отсюда передаточное отношение i12:
. (3.2)
Иными словами, нормаль, проведенная в точке контакта к
сопряженным профилям, делит межосевое расстояние в отношении, обратно пропорциональном отношению угловых скоростей. Это – основная теорема зацепления. Для того чтобы пере-
даточное отношение i12 было постоянным, необходимо, чтобы
полюс зацепления занимал постоянное положение. В этом случае центроидами в относительном движении будут являться окружности, которые в теории зубчатого зацепления называются
начальными окружностями. Все размеры, относящиеся к начальным окружностям, помечают индексом w, например: rw1, rw2
– радиусы начальных окружностей (рис. 3.2, а).
Радиусу начальной окружности rw пропорциональна дли-
на начальной окружности и, следовательно, число зубьев z, которое может на ней разместиться. Поэтому для передаточного
отношения справедливо выражение
. (3.3)
61
q
.
q
.
q
.
ϕ
.
ϕ
.
O
1
O
1
O
2
O
1
P
a
w
r
w2
r
w1
a
O
2
a
б
в
P
Q
V
_
Рис. 3.2
62
11
12
12
2
12
1
+
=
+
=
i
ia
r,
i
a
r
w
w
w
w
1
2
12
z
zq
i
=
ϕ
=
11
12
12
2
12
1
−
=
−
=
i
ia
r,
i
a
r
w
w
w
w
Знак «минус», стоящий перед отношением чисел зубьев
ведомого и ведущего колеса, показывает, что в передаче внеш-
него зацепления ведущее и ведомое колеса вращаются в противоположные стороны, а передаточное отношение – отрицательное.
Расстояние между осями вращения зубчатых колес назы-
вают межосевым расстоянием и обозначают аw. В случае
внешнего зацепления
аw = r
+ rw2. (3.4)
w1
Учитывая, что rw1 = O1P, rw2 = O2P, из (3.2) и (3.4), полу-
чим
. (3.5)
Для того чтобы уменьшить габариты передачи, исполь-
зуют колеса внутреннего зацепления: одно колесо вставляется
внутрь другого (рис. 3.2, б). В этом случае направление вращения ведущего и ведомого колес совпадает, поэтому передаточное отношение – положительное:
. (3.6)
Межосевое расстояние равно разности радиусов началь-
ных окружностей:
аw = r
w2 – rw1
. (3.7)
Тогда радиусы начальных окружностей равны
. (3.8)
Если rw2 → ∞, то начальная окружность превращается в
начальную прямую, а зубчатое колесо – в зубчатую рейку. В
этом случае получают зубчато-реечную передачу (рис. 3.2, в).
63
.
rV
q
i
1
12
1
==
Поскольку в полюсе зацепления относительная скорость равна
0, то VP1 = VP2, тогда
(3.9)
Для передачи вращения между валами с пересекающими-
ся осями используют конические колеса (рис. 3.3). Чаще всего
угол между осями δ1 + δ2 = 900 (такие передачи называют ор-
тогональными), но возможны и другие углы.
Рис. 3.3
В передачах с коническими колесами существует мгно-
венная ось (OP) – геометрическое место точек тел, имеющих в
данный момент нулевую относительную скорость. Если мгновенную ось ОР, наклоненную к оси вращения шестерни под
углом δ1, вращать вокруг оси 1, получится коническая поверхность – подвижная аксоида (поверхность, образованная мгновенной осью в локальной системе координат, связанной со звеном 1 или 2, называют подвижной аксоидой). Аналогично при
вращении мгновенной оси ОР вокруг оси 2, получим кониче-
скую поверхность с половиной угла при вершине равной δ
2
(вторая подвижная аксоида). Подвижные аксоиды в теории
64
q
.
O
K
D
C
r
b
K
0
D
0
зубчатых зацеплений называются начальными конусами. Зубья
колес располагают вблизи начальных конусов, а поверхности
вершин и впадин имеют ту же форму, что и начальные конусы.
В качестве главного профиля зубьев цилиндрических
зубчатых колес, применяемых в машиностроении, наибольшее
распространение получил эвольвентный профиль. Плоская
эвольвента окружности представляет собой траекторию любой
точки прямой линии, перекатываемой без скольжения по эволюте, т.е. по основной окружности радиуса rb (рис. 3.4).
Прямая линия, перекатываемая по основной окружности,
называется производящей прямой. Рассмотрим свойства эвольвенты окружности.
1. Нормаль к эвольвентам (прямая КС) касается основной
окружности, причем точка касания (С) является центром кривизны эвольвент.
2. Все эвольвенты одной основной окружности эквиди-
стантны, и расстояние KD между ними равно длине дуги К0D0.
3. Каждая ветвь эвольвенты вполне определяется радиу-
сом основной окружности и положением начала отсчета эвольвентного угла.
При эвольвентном зацеплении изменение межосевого
расстояния не влияет на значение передаточного отношения
вследствие неизменности радиусов основных окружностей.
Рис. 3.4
65
ha*m
ha*m
c*m
c*m
s
0
p
ТИК
ИПК
e
0
ρf*m
α
α
делительная прямая
(средняя линия)
3.1.2. Геометрические элементы зубчатых колес
Геометрия зубчатого колеса зависит в первую очередь
от размеров и формы инструмента. Поэтому стандартизация
параметров инструмента, воспроизводящего эвольвентный
профиль зубчатого колеса, необходима с технической и экономической точек зрения. За основу стандарта форм и размеров
зубчатого колеса принят теоретический исходный контур
(ТИК, рис. 3.5).
Размеры теоретического исходного контура установлены
государственным стандартом. Базовая линия теоретического
исходного контура, по которой толщина зуба равна ширине
впадины, называется его делительной прямой. Расстояние меж-
ду одноименными профилями соседних зубьев по делительной
или по любой другой параллельной ей прямой называют шагом
зубьев р исходного контура.
Если форма инструмента повторяет форму ТИК, а делительная прямая является начальной прямой, то начальная окружность нарезаемого колеса касается делительной прямой
ТИК. Как уже отмечалось ранее, подвижные центроиды катятся друг по другу без скольжения, поэтому шаг зубьев по на-
Рис. 3.5
66
zpd =
π
mzz
p
d ==
π
π
p
m =
mhh
*
aa
=
m)ch(h
**
af
+=
m
*
ff
ρρ
=
*
a
h
*
f
ρ
чальной окружности колеса должен быть равен шагу зубьев
ТИК. Если z – число зубьев нарезаемого колеса, то длина ок-
ружности – подвижной центроиды колеса – определяется
, (3.10)
где d – диаметр подвижной центроиды колеса равный
. (3.11)
Подвижную центроиду колеса при его зацеплении с рейкой называют делительной окружностью. Делительная окружность делит зуб на делительную головку и делительную
ножку. В выражении (3.11) введен основной параметр зубчатого зацепления – модуль m:
. (3.12)
Модуль измеряется в миллиметрах и может принимать
только значения, оговоренные государственным стандартом. В
долях модуля задаются все линейные размеры контура:
высота делительной головки
, (3.13)
высота делительной ножки
, (3.14)
радиус переходной кривой
где
– коэффициент высоты головки; с* – коэффициент ради-
ального зазора;
– коэффициент радиуса переходной кривой.
, (3.15)
Угол α между главным профилем зуба (прямая линия
бокового профиля зуба является вырожденной эвольвентой окружности при rb → ∞) и осью симметрии зуба называется углом
67
°==== 20384025001
αρ
;,;,c;,h
*
f
**
a
1
2
1
2
2
1
12
z
z
r
r
U ±=±==
ω
ω
O
1
O
1
ω
1
ω
1
ω
2
ω
2
A A
O
2
O
2
_
V
A
_
V
A
профиля исходного контура. Государственный стандарт устанавливает следующие значения параметров исходного контура:
.
Исходным производящим контуром называется такой, ко-
торый заполняет впадины теоретического исходного контура,
как отливка заполняет форму (рис. 3.5, ИПК). При этом между
прямой вершин теоретического исходного контура и прямой
впадин исходного производящего контура сохраняется радиальный зазор с*m. Это делается для того, чтобы поверхность впадин
инструмента, образованного на базе исходного производящего
контура, не участвовала в процессе нарезания зубьев.
3.1.3. Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями
Передаточное отношение одной пары цилиндрических
колес
,
где для внешнего зацепления берется отрицательный знак (колеса вращаются в разные стороны).
Зубчатые механизмы с неподвижными осями по типу ис-
Рис. 3.6
полнения разделяют на передачи с последовательным соединением зубчатых колес (рядовые) и ступенчатые.
68
z
1
z
2
z
3
1
2
3 4
n
V
n
V
1
1 2
3 4
5
6
7
8
9
n-2
n-1
n
z
1
z
2
z
3
z
4
Рядовая передача
Рис. 3.7
Ступенчатая передача
Рис. 3.8
Зубчатые механизмы с подвижными осями:
Планетарные
Рис. 3.9
69
z
1
z
2
z
3
z
4
( )
( )
.
z
z
z
z
z
z
U
z
z
U
n
n
k
n
n
k
n
13
4
1
2
1
1
1
1
;1
−
×××−=
−=
z
1
z
2
z
3
z
4
Дифференциальные
Рис. 3.10
Передаточное отношение для последовательного ряда
зубчатых колес и ступенчатых передач:
где k – число пар колес внешнего зацепления.
В планетарных и дифференциальных механизмах движение
может передаваться от центральных колес к водилу и от водила к
колесам. Для вычисления передаточных отношений таких механизмов используют метод инверсии (обращенного движения).
При этом рассматривают движение всех колес относительно водила, тогда угловая скорость водила будет равна нулю, угловые
скорости колес станут меньше действительных (абсолютных) на
величину угловой скорости водила (рис. 3.11).
Рис. 3.11
70