Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика обучения решению текстовых задач в начальной школе. Курс лекций. Учебно-методическое пособие
.pdf
41
Пример. Используя буквы О, П, Р, С, Т, составь разные слова из трех
букв; четырех букв; пяти букв. Например: СОРТ
Каждое такое слово представляет собой размещение с повторениями
«из пяти по три». Число таких размещений с повторениями равно 53 = 125.
Перебирать с учащимися 125 вариантов буквосочетаний затруднительно.
Однако можно заметить, что в каждом слове должна быть гласная буква.
Значит, имеются следующие наборы букв, из которых можно составить слова:
П,О,П; П,О.Р; П,О,С; П,О,Т; Р,О,Р; Р.О,С; Р,О,Т; С,О,С; С,О,Т; Т,О,Т.
Переставляя буквы в выписанных наборах, получаем слова: ПОП, ПОТ,
ТОП, ОПТ, СОР, РОТ, ОРТ, ТОР, СТО и т.д. Возможно, что первоклассники
услышат некоторые слова впервые, значит, обогатится их словарный запас.
Особо надо поговорить о том, будут ли удовлетворять условию такие слова,
как ТОТ, ПОР, СОТ, ООО (местоимение, существительные не в именительном
падеже или аббревиатура).
В этом задании также требуется образовать четырехбуквенные и
пятибуквенные слова из повторяющихся букв О, П, Р, С, Т. Это условие
значительно усложняет задачу. Всех четырехбуквенных и пятибуквенных
комбинаций из пяти букв соответственно 54 = 625 и 55 = 3125. Учащимся
следует указать лишь на возможность упорядоченного перебора. Вряд ли
стоит требовать от первоклассников полного решения этого задания, но сам
учитель должен знать, по крайней мере, ход правильного (полного) решения
задачи, тем более что она взята из школьного учебника.
Метод сведения, суть которого состоит в том, что данные задачи
подвергаются последовательным преобразованиям. Концом получающейся
таким образом цепочки преобразований может быть состояние, простое
рассмотрение которого дает требуемый результат. Метод сведения находит
постоянные применения при решении текстовых задач арифметическими
способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым
задачам. Работа по решению задач арифметическим способом будет рассмотрена
ниже.
Моделирование (математическое и предметное). Для моделирования
привлекаются различные математические объекты: числовые формулы,
числовые таблицы, буквенные формулы, уравнения, неравенства,
геометрические фигуры и т. д.
Математическое моделирование находит применение при решении многих
текстовых (сюжетных) задач. Уже уравнение, составленное по условию
текстовой задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью. Чертеж
фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней данными и
искомыми тоже является геометрической моделью задачи. Но нередко решению
задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная геометрическая
42
фигура, модель с использованием или изображением предметов и объектов,
?
?
?
5ч
4 км/ч
38 км
6 км/ч
4)
3)
2)
1)?I
II
S V t
t
t
II
S
II
S
I
заданных в задаче, и др.).
Пример. Байдарка шла 5 ч со скоростью 4 км/ч, а остальное время - со
скоростью 6 км/ч. Сколько часов она была в пути, если всего она прошла 38 км?
Составляем схему:
Более подробно работа будет рассмотрена ниже (лекция 3).
Среди специальных методов решения задач выделяют следующие:
1. Практический метод решения текстовых задач
Используя данный метод, дети действуют непосредственно либо с
реальными объектами и их величинами, либо с предметными моделями или
изображениями этих объектов и находят ответ на требование задачи с помощью
наблюдения, сравнения и счета [5].
Пример. В трех сосудах находится 24 л жидкости. Из первого сосуда
переливают во второй и третий сосуды столько жидкости, сколько в каждом
из них было. Затем из второго переливают в первый и третий столько, сколько
в каждом из них оказалось после первого переливания. Потом из третьего
переливают в первый и второй сосуды столько, сколько в каждом оказалось
после второго переливания. В результате во всех сосудах образовалось
одинаковое количество жидкости. Сколько было литров в каждом сосуде
первоначально?
Выполнив переливание в обратном порядке, получим ответ на требование
задачи. Для этого нальем в каждый сосуд по 8 л, так как после третьего
переливания жидкости в сосудах стало поровну, а было ее всего 24 л.
Теперь отливаем по 8:2=4 л из первого и второго сосудов в третий сосуд.
Находим, что до третьего переливания в этих сосудах было по 4 л, а в третьем
сосуде было 24-4-4=16 л жидкости. Следующим переливанием добавим во
второй сосуд из первого 4:2=2 л, а из третьего – 16:2=8 л, находим, сколько
литров было в сосудах до второго переливания. Получается, что до второго
переливания в первом сосуде было 2 л, во втором – 4+2+8=14 л, в третьем – 8 л
жидкости.
Выполним последнее переливание: в первый сосуд из второго 14:2=7 л, а
из третьего – 8:2=4 л. В результате получим первоначальное количество
жидкости в каждом сосуде. В первом сосуде было 2+7+4= 13 л, во втором – 7 л,
в третьем – 4 л.
43
2. Графический метод решения текстовых задач
?
? ?
I+II
I
Применяя данный метод, учащиеся используют числовой луч или систему
числовых лучей, а также чертежи, где изображения осуществляются в
натуральную величину или в масштабе, а ответ на требование задачи получается
нахождением соответствующих точек на луче, счетом и измерением искомой
величины на графической модели [4].
Пример. Лида нарисовала 5 домиков, а Вова – на 4 домика больше.
Сколько домиков нарисовал Вова?
Пример. За два дня турист прошел 5/8 пути. За первый день он прошел
3/8 пути. Какую часть пути прошел турист за второй день? Какую часть пути
ему осталось пройти?
3. Арифметический метод решения текстовых задач
Данный метод позволяет учащимся, выбрав одно или несколько
арифметических действий и определив последовательность их выполнения на
основе скрытых отношений между данными и искомыми, найти ответ на
требование задачи посредствам вычислений [6, 9].
Пример. На товарную станцию прибыло 2 состава с бревнами. В одном
из них было 39 платформ, а в другом на 4 больше. Разгрузили 60 платформ.
Сколько еще платформ осталось разгрузить?
1)39 + 4 = 43 (пл.)
2)39 + 43 = 82 (пл.)
3)82 – 60 = 22 (пл.)
Ответ: 22 платформы.
Целью решающего при использовании данного метода является: найти с
помощью выполнения арифметических действий над данными значениями
величин несколько неизвестных значений, пока не будет найдено значение
искомого.
При решении задачи арифметическим методом целесообразно
использовать следующие приемы:
в виде выражения с записью шагов по его составлению, вычислений
и полученных в результате этих вычислений равенства;
44
в виде выражения, преобразуемого после вычислений в равенство,
без записи шагов по составлению выражения;
по действиям с пояснениями;
по действиям без пояснений;
по действиям с вопросам к каждому действию.
Пример. «Девочка собрала 36 грибов, а мальчик – 28 грибов. Из всех
собранных детьми грибов 3 оказались несъедобными. Сколько грибов собрали
дети?» Конкретную задачу можно решить, применяя различные приемы.
Прием 1.Предположим, что несъедобные грибы собрала девочка.
1) 36-3=33 (г.) – съедобных собрала девочка.
2) 28+33=61 (г.)
Прием 2. Предположим, что несъедобные грибы собрал мальчик.
1) 28-3=25 (г.) – съедобных собрал мальчик.
2) 25+33=61 (г.)
Прием 3.
1) 36+28=64 (г.) – всего собрали дети.
2) 64-3=61 (г.)
4. Алгебраический метод решения задач
Данный метод используется на практике учителями значительно реже,
чем арифметический, хотя, несомненно, он является важным средством развития
общего умения решать задачи [8].
Целью решающего задачу алгебраическим методом является запись
текста задачи в виде уравнения, решая это уравнение определить искомое.
Метод состоит из следующих шагов:
1) введение неизвестного;
2) выражение через это неизвестное и величин, о которых говорится в
задаче;
3) составление уравнения;
4) решение уравнения;
5) осмысление результата и формулирование ответа.
Решающий задачу этим методом переводит ее текст с естественного
языка на математический (пункты 1-3), решает задачу на математическом языке
(пункт 4) и совершает обратный перевод результата (пункт 5).
Для того чтобы алгебраический метод стал доступным для младших
школьников, нужно максимально приблизить этот метод к арифметическому.
Целесообразно так же, как и при арифметическом решении, начинать с анализа
текста задачи. Его результатом должно стать построение вспомогательной
модели – чертежа, схемы, таблицы, а иногда и рисунка.
Пример. У Иры втрое больше наклеек, чем у Кати, а у Кати на 20
наклеек меньше, чем у Иры. Сколько наклеек у Кати?
45
Отыщем в тексте величины, которые можно соединить знаком
равенства. Эти величины запишем словами или, если это возможно, на
математическом языке, или на смеси того и другого и получим схему уравнения.
Это можно сделать несколькими способами:
1) (Ирины наклейки) : (Катины наклейки)=3
2) (Ирины наклейки) = (Катины наклейки)·3
3) (Ирины наклейки) - (Катины наклейки)=20 наклеек
4) (Ирины наклейки) – (Катины наклейки)+20 наклеек.
Сразу отбросим варианты, в которых неизвестное может оказаться в
обеих частях уравнения (с такими случаями дети познакомятся лишь в 4 классе).
Остаются первый и третий варианты. Из них лучше третий: вычитание легче
деления. Итак, (Ирины наклейки) - (Катины наклейки)=20 наклеек.
Получилась вспомогательная модель задачи – частичный перевод текста
на математический язык. В этой модели уже имеются математические символы:
знак равенства и знак вычитания, число 20. Однако, во-первых, в ней также
имеются и естественные слова, а кроме того, не весь текст задачи включен в этот
перевод: не включено условие из первой фразы текста задачи. Чтобы довести
перевод до конца, введем неизвестное, обозначив через него какую-либо
величину. В задаче спрашивается, сколько наклеек у Кати. К тому же эта
величина входит в схему уравнения. Будет разумно обозначит через x именно
эту величину. Тогда схема уравнения будет выглядеть так: (Ирины наклейки)x=20 наклеек.
Осталось выразить через x число Ириных наклеек. У нас осталось не
использованным в уравнении число из первой фразы текста задачи: «У Иры
втрое больше наклеек, чем у Кати». Значит, число наклеек у Иры равно x·3.
Заменяя выражение (Ирины наклейки) на x·3 и опуская обозначение ―наклеек‖ у
числа 20, получаем уравнение: x ·3-x=20.
Приведем еще несколько задач, а к ним схему уравнений и уравнения.
Задачи здесь трудные для детей младшего школьного возраста, но их анализ
позволит быстро освоить предлагаемый метод решения:
Пример. На дереве сидят жуки и пауки. Всего их 20, а ног у них 150.
Сколько на ветке жуков?
Схема уравнения:
(ноги жуков) + (ноги пауков)=150 ног
x-число жуков
(20 – x) -число пауков
Уравнение: x 6 + (20 - x) = 150.
Пример. В одном ящике было в 2 раза больше гвоздей, чем в другом.
Когда из первого ящика взяли 30 гвоздей, а во второй ящик положили 70 гвоздей,
46
то в обоих ящиках гвоздей стало поровну. Сколько гвоздей было в каждом
ящике первоначально?
Схема уравнения:
(стало гвоздей в первом ящике) = (стало гвоздей во втором ящике)
x- число гвоздей во втором ящике первоначально
Уравнение:x · 2 – 30 = x + 70.
Итак, при решении текстовых задач алгебраическим методом
целесообразно дополнить схему решения самым первым шагом – составлением
схемы уравнения, в которую включаются как математические символы, так и
нематематические – записи и даже рисунки. При решении задач с помощью
уравнений можно использовать следующие приемы:
в виде уравнения (неравенства) и его решения;
через запись шагов с составлением уравнения и его решения;
различные уравнения можно составить по одной и той же задаче в
зависимости от выбора переменной или хода решения.
В этом случае можно говорить о различных алгебраических приемах
решения задачи. Различные приемы решения могут отличаться выбором
неизвестных, которые обозначаются буквой или же уравнениями,
составленными по задаче.
Пример. На одном катере было в два раза больше людей, чем на втором.
Когда на ближайшей пристани с первого катера сошло 98 человек, а со второго
16, то людей на обоих катерах стало поровну. Сколько людей было на каждом
катере первоначально?
Прием 1: пусть x человек на втором катере, тогда (x · 2) человек на
первом катере. Зная, что с первого катера сошли 98 человек, получим (x · 2 - 98)
человек, со второго катера получим (x - 16) человек. Зная, что на обоих катерах
стало поровну человек, получим уравнение: x · 2 – 98 = x - 16.
Решив уравнение, получаем, что на втором катере было 82 человека, а
на первом (x · 2), то есть 82 · 2=164.
Прием 2: пусть x человек на первом катере, тогда на втором катере (x:2)
человек. Зная, что с первого катера на пристани сошли 16 человек, и людей на
катерах стало поровну, получаем уравнение: x-98 = x:2 - 16.
Алгебраический метод способствует формированию умения у учащихся
переводить условия задачи на математический язык.
5. Геометрический метод решения текстовых задач
Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на
требование задачи, используя геометрические построения и свойства
геометрических фигур [3].
Большинство действующих программ для начальной школы не ставят
своей целью формирование у школьников умения решать текстовые задачи
47
геометрическим методом, хотя он широко используется для построения
0
1 2 3 54
4
8
12
16
20
М
А
Х
ч
У
км
вспомогательных моделей в ходе решения задач различных видов.
В последнее время арсенал учителя начальных классов пополнился
учебниками математики, в которых предусмотрено ознакомление учащихся с
этим методом решения задач. Так, в учебниках Л.Г. Петерсон приводятся задачи
на движение, решение которых осуществляется с использованием либо
конструктивного приема, либо графико-вычислительного – основными
приемами геометрического метода решения текстовых задач.
Использование геометрического метода в курсе начальной школы
позволяет разнообразить работу по решению задач, способствует ознакомлению
учащихся с методом математического моделирования, развивает логическое
мышление и познавательный интерес детей.
Т.Е. Демидова и А.П. Тонких осуществили подборку задач, которые
расширяют границы применения геометрического метода в начальной школе. К
тому же эти задания может использовать учитель, работающий по любой
системе обучения, на внеклассных занятиях [3].
Пример. Ознакомление учащихся с построением графика движения.
Петя вышел из города А по шоссе со скоростью 4 км/ч. На каком
расстоянии от города А будет мальчик через 5 часов?
Построим горизонтальную прямую. Отметим на ней начало координат –
точку О. Назовем ее осью Ох. На ней будем откладывать время движения
мальчика. Выберем единичный отрезок, равный 1 часу. Чтобы отразить на
чертеже зависимость между временем и расстоянием, нам понадобится еще
вертикальная ось. Проведем через точку О вертикальную ось. Назовем ее осью
Оу. На ней будем откладывать расстояние, пройденное мальчиком. Выберем
единичный отрезок, равный 1 км. Начало движения Пети обозначим точкой А
(0;0).
- Что известно в задаче о движении мальчика? (Он вышел из города А со
скоростью 4 км/ч.)
- Поясните, как вы понимаете фразу «вышел со скоростью 4 км/ч». (За 1
час мальчик проходит 4 км).
- Покажите на оси времени (оси Ох) точку, координата которой 1 час.
48
- А теперь на оси расстояния (оси Оу) покажите точку, координата
М
0
1 2 3 54
4
8
12
16
20
А
Х
ч
У
км
24
28
6
D
C
которой 4 км.
- Точка (1;4) показывает, что Петя за 1 час прошел 4 км. Отметьте ее.
- Мальчик движется по прямой.
Через найденную точку и точку, показывающую начало его движения,
проведем прямую. Это и есть график движения мальчика.
- Попробуйте теперь самостоятельно ответить на вопрос задачи. Найдите
точку на графике, которая поможет определить, на каком расстоянии от города
А будет находиться мальчик через 5 часов после начала его движения. (Точка
М).
- Можно ли по графику узнать, за какое время Петя пройдет 8 км, 12 км
и т.д.?
Прием 2. Ознакомление учащихся с построением графика движения
объекта, скорость которого изменяется в процессе движения.
Задача. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Первые 2 часа он шел со
скоростью 4 км/ч, затем один час он шел со скоростью 2 км/ч и оставшиеся
3 часа – со скоростью 6 км/ч. Найти расстояние между пунктами А и В. На
каком расстоянии от пункта А пешеход был через 6 часов?
- Отметим точку А (0;0). Построим график движения пешехода за первые
два часа его движения. (За 1 час шел 4 км, за 2 часа – 8 км.).
Отметим точку С (2;8) и соединим ее с точкой А.
- Что известно о дальнейшем пути пешехода? (Следующий час он шел со
скоростью 2 км/ч.).
- Построим график движения пешехода в следующий час его движения.
Из какой точки будем продолжать строить этот график? (Из точки С.)
- Почем у из точки С? (Пешеход продолжает двигаться, только с другой
скоростью.)
- За следующий час пешеход пройдет 2 км, значит он будет находиться
от пункта А на расстоянии 10 км (8 км+2 км). К тому времени он будет
находиться в пути 3 часа. Отметим точку (3;10). Обозначим эту точку буквой D.
Соединим точки C и D.
49
- Пешеход шел еще 3 часа со скоростью 6 км/ч. Построим график
Начало
Положить на две чаши
весов по три монеты
Положить на две чаши
весов по одной из
оставшихся трех монет
Весы в
равновесии?
Из более легкой стопки
положить на весы по одной
монете на каждую чашу
Да
Нет
Весы в
равновесии?
Оставшаяся
монета
фальшивая
Более легкая
(фальшивая) монета на
чаше, которая выше
Конец
Нет
Да
движения пешехода за это время.
- За 1 час пешеход прошел 6 км, за 3 – 18 км, т.е. он будет находиться от
точки А на расстоянии 28 км (10 км +18 км). К этому времени он будет
находиться в пути 6 часов. Отметим точку М (6;28). Следовательно, расстояние
между А и В равно 28 км.
6. Логический метод решения текстовых задач
Целью решающего задачу логическим методом является найти ответ на
требование задачи, не выполняя вычислений, только выстроив цепочку
умозаключений, приводящих в итоге к искомому заключению.
Пример. Из девяти монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя
взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
решения, для записи решения используются одновременно схема и числовые
равенства.
раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже?
ребенка. Но если начертить схему, то от нее легко перейти к записи
арифметического действия [6].
подхода к формированию решения задач, которые, исходя из своих
7. Комбинированный метод решения текстовых задач
Данный метод позволяет использовать сочетание разных методов
Пример. Когда из гаража выехало 18 машин, в нем их осталось в три
Решение этой задачи арифметическим способом довольно сложно для
Таким образом, в методике преподавания математики представлено два
50
основополагающих принципов, по разному подходят к построению процесса
обучения решению задач.
Библиографический список
1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в
начальных классах. - М: Просвещение, 1984. – 335 с.
2. Деменева Н.Н. Дифференциация учебной работы младших школьников
на уроках математики: методическое пособие. – М.: АРКТИ, 2005. –
88 с.
3. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Решение текстовых задач геометрическим
методом в курсе математики начальной школы // Начальная школа
плюс-минус. - 2003. - № 7. – С. 27-34.
4. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых
задач: учебное пособие для студентов высших пед. учебных заведений.
– М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 288 с.
5. Зиновьев П.М. Решение задач методом предположения. // Начальная
школа. –2003. - № 10. – С. 59-63.
6. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. -
М: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997.
7. Кузнецова Л.Ю. Целенаправленная работа с текстовой задачей. //
Начальная школа. – 1991. - №2. – С. 38.
8. Левитас Г.Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений
//Начальная школа. – 2001. - № 1. – С. 77.
9. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3
классах. – М: Просвещение, 1978.
10. Стойлова Л.П. Математика: учебное пособие. - М: Издательский центр,
1997. – 464 с.
11. Царева С.Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на
формирование учебной деятельности младших школьников. –
Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1998. – 136 с.
Задания
1. Перечислите основные цели и подходы развития умения решать задачи на
примере различных авторских программ обучения математике.
2. Ознакомьтесь с действиями учеников и подумайте, какими умениями
владеет каждый из них, а какими нет.
Дима выполнял домашнее задание по математике. Ему нужно было решить
текстовую задачу. Он нашел ее в учебнике, стал читать: Для работы на
пришкольном участке школьникам выдали 24 большие лопаты, а маленьких на
16 больше. Дочитав до этого места, мальчик воскликнул: «А-а-а! Знаю, как
решать! На 16 больше — значит прибавить 16». И тут же записал в тетради
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]