Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика обучения решению текстовых задач в начальной школе. Курс лекций. Учебно-методическое пособие
.pdf
111
Лекция 5
Организация деятельности учащихся при обучении
решению задач на движение
Цель: раскрыть особенности, виды задач на движение и приемы обучения
решению данных задач.
План:
1. Понятие «скорость». Единицы измерения скорости.
2. Задача на движение и ее основные виды.
3. Приемы работы над задачами на движение.
1. Понятие «скорость». Единицы измерения скорости
Традиционно сложилось так, что задачи с пропорциональными величинами,
связанные с движением тел, выделяются в специальную тему: «Скорость. Время.
Расстояние».
Специфика этих задач обуславливается введением такой величины, как
скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые
отражают не отношение между величинами, а процесс движения.
Данный вид задач вызывает трудность для ребенка, которая методически
обусловлена двумя причинами.
Первой причиной является содержательная трудность. Скорость – это
физическая величина, связывающая две величины, которые ребенок привык за
период предыдущего обучения воспринимать как каждую «саму по себе»: время
и расстояние (длина). Скорость – величина абстрактная, ее ребенок не может ни
увидеть, ни непосредственно измерить или оценить (как, например, время).
Второй причиной является технологическая трудность. Долгое время
традиционный курс математики впервые знакомил со схемой именно при
изучении задач на движение, учащиеся должны были без предварительной
подготовки освоить схемы на задачах с содержательно трудным понятием
«скорость» [6].
Таким образом, перед учителем встает задача разъяснения понятия
«скорость» и обучения моделирования задач до введения задач на движение.
При разъяснении понятия «скорость движения», опираясь на опыт ребенка,
следует иметь в виду, что дети, употребляя в своей речи слово «быстрее» или
«медленнее», связывают их смысл с такой величиной, как время. Важно, чтобы
дети осознали обобщенную характеристику скорости, как расстояния,
пройденного за единицу времени, и в процессе решения задачи использовали
различные единицы скорости.
Этапами работы понятием «скорость движения» можно выделить следующие:
- введение понятия «скорость»;
112
- введение единиц скорости;
В
П
12км
12км
12км 12км
4км 4км
Таня Лена
Школа
- ознакомление с прибором для определения скорости;
- установление взаимосвязи между величинами - скорость, время и
расстояние.
С целью формирования представлений учащихся о скорости как
расстоянии, пройденном за единицу времени, в методической литературе
предлагаются следующие приемы.
1. Решение задач с недостающими данными.
Пример. «Боря идет до школы 10 минут, а Лена – 15 минут».
- Подумайте, на какой вопрос мы можем ответить:
- кто тратить на дорогу времени больше (меньше)?
- Кто идет быстрее, кто медленнее? (необходимо знать скорость)
Учитель дополняет условие: Боря проходит расстояние 1 км, Лена –
расстояние 1500 км.
Пример. Петя пробежал на лыжах 30 м за 10 с, а Федя – 30 м за 15 с. Кто
из мальчиков бежал быстрее?
- Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо найти сколько метров
пробежал каждый из них в 1 секунду: 30 : 10 = 3, 30 : 15 = 2.
Итак, Петя пробежал 3 м/с, Федя 2 м/с.
2. Анализ конкретных ситуаций и их наглядная интерпретация.
Пример. Каждый час велосипедист проезжает 12 км, а пешеход проходит
4 км.
- За сколько времени велосипедист преодолеет данное расстояние?
- За какое время преодолеет это расстояние пешеход?
3. Решение задач, в которых для ответа на вопрос не нужно выполнять
вычислений.
Пример. Мальчики соревновались в беге на 100 м. Коля пробежал дистанцию
за 16 с, Боря - за 15 с, а Вова – за 18 с. Кто бежал с большей скоростью?
Пример. Таня и Лена живут на одной улице. Они одновременно выходят в
школу.
- Догонит ли Таня Лену, если Таня идет со скоростью 4 км/ч, а Лена – 5 км/ч.
- Догонит ли Таня Лену, если они идут с одинаковой скоростью.
Пример. Скорость полета сокола 23 м/с, а орла – 1800 м/мин. Сможет ли
орел догнать сокола, если между ними 15 км, 20 км, 10 км?
113
С целью введения единиц скорости можно использовать следующие приемы:
9км
9км
1. Получение единиц скорости из известных единиц длины и единиц времени.
- С какими единицами длины мы уже работали? (1км, 1м, 1дм, 1см, 1мм).
- С какими единицами времени вы знакомы? (1час, 1минута, 1секунда).
- Попробуйте определить, что обозначают следующие единицы - 1км/ч,
1км/мин, 1м/мин, 1 см/мин).
2. Анализ конкретных ситуаций и их наглядная интерпретация.
Как найти скорость, если известны длина пути и время? Какое действие надо
выполнить?
Если ракета летит со скоростью 9 км/с, значит, она пролетает в каждую
секунду 9 км.
С целью формирования умения переводить одни единицы скорости в
другие используется приемы:
Сравнение скоростей:
5 км/ч…50 м/мин
300 км/ч…5 км/мин
7200 км/ч…120 км/мин
Решение простых задач, в которых скорости тел выражены в различных
единицах.
Пример. Скорость поезда 60 км/ч, а самолета 15 км/мин. На сколько
скорость самолета больше скорости поезда?
С целью ознакомления с прибором измерения скорости проводится
беседа, в результате которой дети приходят к выводу о том, что, как любая
величина, скорость измеряется специальным прибором – спидометр (speed –
скорость).
С целью формирования умения устанавливать взаимосвязь между
величинами - скорость, время и расстояние.
Пример. Один пешеход проходит расстояние 12 км за 2 часа, другой – за 3
часа, третий – за 4 часа.
Приемы:
Моделирование.
Учитель: изобразить расстояние при помощи отрезков, в каждом из
которых 12 клеток. Один отрезок разделить на 2 части, другой на 3, третий – на 4
и использовать данную модель для анализа конкретных ситуаций.
Покажи отрезок, который обозначает скорость каждого пешехода.
114
Интерпретация условия задачи в виде таблицы. Проследить, как изменится
Скорость (км/ч)
Время (ч)
Расстояние (км)
8 км/ч
2 ч
?
16 км/ч
2 ч
?
32 км/ч
2 ч
?
64 км/ч
2 ч
?
Скорость (км/ч)
Время (ч)
Расстояние (км)
40 км/ч
2 ч
?
40 км/ч
4 ч
?
40 км/ч
6 ч
?
40 км/ч
8 ч
?
скорость в зависимости от изменения времени при одинаковом расстоянии.
Таблица 22
Таблица 23
Анализируя таблицы, следует обратить внимание детей на два момента:
как связаны между собой величины, т.е. как, зная числовые значения
двух величин, найти третью;
как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при
постоянной третьей.
Чтобы не было формального заучивания формул, на данном этапе
использование формул нецелесообразно.
После того как в процессе решения простых задач ученики усвоят связи
между величинами: скоростью, временем и расстоянием – включаются
составные задачи с этими величинами различной математической структуры.
Причем задачи этих видов были введены ранее, но они включали другие
величины (задачи на нахождение суммы или разности двух произведений или
двух частных, задачи на нахождение четвертого пропорционального, на
пропорциональное деление и др.).
2. Задача на движение и ее основные виды
Задача на движение включает три величины: скорость, время,
расстояние, которые связаны пропорциональной зависимостью.
Классификация задач на движение. Различают простые и составные
задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на задачи на
движение в одном направлении, задачи на сближение объектов, задачи на
удаление объектов, задачи на движение по реке. Кроме того, некоторые задачи
на движение могут рассматриваться как задачи на нахождение четвертого
115
пропорционального, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям,
Скорость
Время
Расстояние
Пешеход
5 км/ч
одинаково
20 км
? ?
Машина
60 км/ч
4 км/ч 5 км/ч
3ч
Расстояние
Время
Скорость
Туда
одинаковое
20 мин
625 м/мин
Обратно
25 мин
?
задачи на пропорциональное деление.
Ввиду специфичности задач на движение для их решения удобно
записывать данные условия в виде таблицы (скорость – время – расстояние)
Таблица 24
и использовать схемы, которые отражают процесс движения, а не отношения
между величинами.
Пример. Из двух пунктов навстречу друг другу вышли два пешехода и
встретились через 3 часа. На каком расстоянии находятся друг от друга
населенные пункты, если скорость первого пешехода 4 км/ч, второго 5 км/ч?
М.Д. Халуновский предлагает рассмотреть методику составления краткого
условия с внесением не только данных задачи, но и составленных из них
математических выражений. Данную форму краткой записи он считает
целесообразно называть активной.
Пример. Моторная лодка прошла путь от одной пристани до другой за
20 мин со скоростью 625 м/мин. На обратный путь она затратила на 5 минут
больше. На сколько меньше была скорость лодки на обратном пути?
Выяснив, что величины, фигурирующие в задаче, это время, скорость,
расстояние и опорные слова – туда и обратно, выполняется запись в
следующем виде:
Таблица 25
Далее выясняется, что для ответа на вопрос задачи необходимо найти
скорость, с которой лодка двигалась обратно, а для этого нужно знать время и
расстояние. Так как расстояние при движении туда и обратно одинаковое, то
оно равно 625 · 20 (м), а скорость равна расстоянию, деленному на время:
625 · 20 : 25 (м/мин). Окончательно краткая запись приобретает вид:
116
Таблица 26
Расстояние
Время
Скорость
Туда
одинаковое (625 · 20) м
20 мин
625 м/мин
Обратно
25 мин
(625 · 20 : 25) м/мин
t1 t2
U1 U2
S
S1 S2
А В
tвстр
4км/ч
18км
Tвстр-?
5км/ч
I пешеход ?
II пешеход ?
18км
S
U
5км/ч
4км/ч
t
?
?
одинак.
Сделав такую запись, учащиеся уже по существу решили задачу, остается
лишь выполнить обозначенные в таблице действия.
Этапы обучения решению задач на движение – подготовительный,
ознакомительный, закрепление.
Подготовкой к решению задач на движение является обобщение
представлений учащихся о движении как некотором процессе (анализ
наблюдений за движением различных видов транспорта и пешеходов на
экскурсии), введение понятия «скорость движения» и характеристики скорости
движения как расстояния, пройденного за единицу времени, повторение единиц
измерения длины и времени, знакомство с различными единицами измерения
скорости, формирование четкого представления школьников о существующей
зависимости между скоростью, временем и пройденным расстоянием.
Способ решения – арифметический (по действиям или выражением) и
алгебраический (уравнением), геометрический.
Опишем основные виды задач на движение.
1.Задачи на встречное движение двух тел (4 разновидности задач).
Примеры:
а) Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из 2 пунктов,
расстояние между которыми 18 км. Скорость первого 5 км/ч, скорость второго
– 4 км/ч. Через какое время они встретятся?
б) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились
через 2 часа. Скорость первого 5 км/ч, скорость второго 4 км/ч. На каком
расстоянии они находились в начале пути?
в) Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из 2 пунктов,
расстояние = 600 км, и через 5 ч они встретились. Один ехал быстрее другого на
16 км/ч. Определите скорости первого и второго автомобилей.
117
600км
U1-?
5ч
U2=U1+16км/ч
16км/ч
U1
U2
600:5(км/ч)
?
?
t1
t2
U1 U2
S
S1 S2
г) Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из 2 пунктов,
расстояние между которыми 18 км. Скорость первого 5 км/ч. С какой
скоростью шел второй пешеход, если он встретил первого пешехода через
2 часа.
Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено
совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения. До
введения задач на встречное движение важно провести соответствующую
подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу
друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные
ученики. Например, два ученика-пешехода начинают двигаться одновременно от
двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече
останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все
время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до
стены, и что каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под
руководством учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на
улице за движением автомашин, пешеходов, велосипедистов и т. п. Расширить
представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением
задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит «вышли
одновременно» пешеходы, автомашины и т. п., и что при этом они были в пути
до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы ученики твердо усвоили
связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном
движении, т. е. умели решать соответствующие простые задачи.
При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на
одном уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу
на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном
выходе пешеходы, велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость
каждого и время движения до встречи.
2.Задачи на движение двух тел в одном направлении (2 разновидности
задач).
а) Движение двух тел начинается одновременно из разных пунктов.
Примеры:
Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в
одном направлении 2 мотоциклиста. Скорость первого – 40 км/ч, скорость
второго = 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?
118
30км
50км/ч 40км/ч
40км/ч
1ч
2ч 3ч
3ч
2ч1ч
50км/ч
70км/ч
60км/ч
3ч
3ч
I поезд ?
II поезд ?
?
S
U
60км/ч
70км/ч
t
3ч
3ч
?
60км/ч 70км/ч
А
3ч 3ч
2ч
60км/ч 56км/ч
?
?
696км
б) Движение начинается в разное время из одного пункта.
Пример. В 7 часов из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 часов
следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 780 км/ч.
Через какое время самолет догонит поезд?
3. Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях
(2 разновидности задач).
а) Тела начинают движение одновременно.
Пример. Два поезда отошли одновременно от одной станции в
противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком
расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?
б) Тела начинают движение в разное время.
Пример. От станции А отправился поезд со скоростью = 60 км/ч. Через
2 часа с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд
со скоростью = 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа
после выхода второго поезда?
С одной станции одновременно вышли в противоположных направлениях
2 поезда. Первый шел со скоростью 60 км/ч, второй – 56 км/ч. Через сколько
часов эти поезда ушли друг от друга на 696 км.
Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях
может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение.
Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали
движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их
выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении
расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать,
как выполняется чертеж.
119
При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке
решить три взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение
задач, а затем их решения.
На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют
различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение
соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных
направлениях, а также сравнение решений этих задач. Эффективны на этом
этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в
таблице значениям величин и соответствующим выражениям.
4.Задачи на движение по реке
В начальном курсе математики не изучаются.
3. Приемы работы над задачами на движение
1. Решение задач различными способами.
Пример. Поезд, отправившись со станции А, прошел до станции В за
3 часа 210 км., после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной
скоростью поезд шел от В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А
до В. определите расстояние АС.
1 способ
1) 210 : 3 = 70 (км/ч)
2) 70 –10 = 60 (км/ч)
3) 3 · 2 = 6 (часов)
4) 60 · 6 = 360 (км)
5) 210 + 360 = 570 (км).
Полезно обсудить в классе, возможен ли следующий способ решения:
210 · 2 = 420 (км) – время в 2 раза больше, поэтому и расстояние ВС в 2 раза
больше, чем АВ; 210 + 420 = 630 (км) – расстояние АС.
Выявив причину (скорость изменилась, не является постоянной величиной),
по которой нельзя так решать эту задачу, нужно все-таки попытаться найти
другой способ решения с использованием прямо пропорциональной зависимости
расстояния от времени при постоянной скорости. Предложим, что скорость не
изменилась. Тогда расстояние ВС в 2 раза больше, чем АВ, так как время
движения от В к С в 2 раза больше (шел дольше). Расстояние ВС было бы равно
210 · 2 = 420 (км), но скорость изменилась. Каждый час поезд проходил на 10 км.
меньше. За 6 часов (3 · 2) он прошел на 60 км меньше (по 10 км. 6 раз).
Следовательно, расстояние ВС на самом деле равно 360 км, потому что 420 км.
нужно уменьшить на 60 км. Остается найти сложением расстояние АС:
210 + 360 = 570 (км.). Итак, хотя задача решена тоже пятью действиями, но
поиск этого способа решения способствует осознанию детьми двух разных по
120
характеру зависимостей величин и поиску новых способов решения задачи,
2-й способ
1) 210 · 2 = 420 (км)
2) 210 + 420 = 630 (км)
3) 3 · 2 = 6 (ч)
4) 10 · 6 = 60 (км)
5) 630 – 60 = 570 (км.)
3-й способ
1) 10 · 3 = 30 (км)
2) 210 – 30 = 180 (км.)
3) 180 · 2 = 360 (км.)
4) 210 + 360 = 570 (км)
основанных на тех же зависимостях.
Возможны еще два способа решения задачи.
Если ученики не смогут найти какой-либо из данных способов решения
задачи, учителю следует записать их на доске и предложить детям объяснить,
что найдено в каждом действии, проверить возможность решения задачи такими
способами.
Полезно также, упростив условие (пусть скорость не изменяется, является
постоянной), предложить решить задачу одним действием и указать «лишние»
данные.
При постоянной скорости расстояние ВС больше АВ в 2 раза. Весь путь АС
в 3 раза больше, чем АВ (210 км.). Решение: 210 · 3 = 630 (км), а 3 часа – лишнее
данное.
2. Решение задачи другим способом (арифметическим).
Приемы работы над задачами на встречное движение по В.В. Давыдову.
Пример. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из
двух поселков и встретились через 2 ч. Скорость одного из них 11 км/ч, а
другого 13 км/ч. Найти расстояние между поселками.
Для разбора решения этой задачи другим способом можно
проиллюстрировать движение, вызвав к чертежу двух учеников. Учитель ведет
объяснение: «Вы будете велосипедистами. Покажите указкой, откуда вы начали
движение. Вы начали двигаться одновременно и ехали 1 ч. Сколько километров
проехал за это время каждый из вас? (11 км и 13 км.) Подпишем 11 км и 13 км на
чертеже. На сколько километров вы сблизились за 1 ч? (На 24 км.) Прошел еще
1 ч. На сколько километров вы еще сблизились? (На 24 км.) Встретились ли
велосипедисты? (Да.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, на сколько
километров сближались велосипедисты в час, выполнив сложение; затем найдем
расстояние между поселками, выполнив умножение.)» Эти два способа решения
надо сравнить и оценить, какой из них рациональнее.
3. Решение задач алгебраическим методом.
поезда и встретились через 18 часов. Определить скорость каждого поезда,
если расстояние между городами 1620 км, а скорость одного поезда на 10 км/ч
больше скорости другого.
Пример. Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]