Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Качественные модели кинетики образования компактных объектов с сильными внутренними связями. Монография
.pdf
(
21
22
λλ
=⇒ξ− ξ=⇒ − ξ =⇒ξ= =
Ρ
38 5
0 0 1 0 1,216728684.
20 20
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1/ 5
20
⎛⎞
⎜⎟
2
λ
⎝⎠
(1.32)
Из выражения (1.19) можно приблизительно записать следующее
условие «нулей» функции
22
5
P с учетом малости величин
λ
5/2
ξ+ ≅π =
k
β
′
const , 0,1,3,....
kk
«Сшивка» выражений (1.32) и (1.33) при
k = 0 позволяет найти ве-
2
c и с:
(1.33)
личину постоянной в выражении (1.33) и записать следующее условие для координат «нулей» функции
22 20
5
⎛⎞
λ
5/2
ξ− ≅π =
⎜⎟
k
⎜⎟
β
⎝⎠
λ
Наличие множества «нулей» функции
P:
, 1,3,5,....
kk
(1.34)
P означает существование
неустойчивых кластеров с соответствующими выражению (1.34)
размерами, при этом первый «неустойчивый» размер равен
ξ = 1,216728684.
Выражение (1.28) показывает, что при ξ < 1 плотность распределения продуктов разрушения зародышей приблизительно пропорциональна их массам. Это соответствует представлению о том,
что разрушение зародыша на сравнительно крупные фрагменты
более вероятно (энергетически выгодно), чем полное разрушение
на отдель
ные составляющие элементы.
Проведенная линеаризация кинетического уравнения Фоккера–
Планка (1.5) позволяет установить основные свойства функции
плотности распределения кластеров по размерам. Полученные выражения (1.10), (1.12) могут быть использованы для нахождения
законов роста среднего размера больших кластеров
aa>>
со
)
0
временем. Будем рассматривать два предельных режима роста: 1)
малый поток зародышей, когда каждый из них успевает занять
свое энергетически выгодное место на поверхности кластера до
22
)
Δ
≈
того, как начнется взаимодействие с последующим зародышем; 2)
режим большого потока зародышей, когда они действуют на кластер почти одновременно, что эквивалентно столкновению кластеров. В первом случае параметр
t
не зависит от размера кластера
i
и закон роста может быть записан как
52 2 , .
aatttamt≈=h (1.35)
(
2/5
2/5
()
01 100
i
Здесь t
В случае большого потока зародышей параметр t
– единица времени в режиме малого потока зародышей.
1
примем равным
i
времени пробега возмущения в теле кластера туда-обратно:
2,
tac= где c0 – скорость распространения возмущения в ве-
i
0
ществе кластера (скорость звука). Тогда закон роста может быть
записан как
1/3 1/3
32 , .aatttaamc≈=h (1.36)
Здесь t
() ()
– единица времени в режиме большого потока зародышей
2
02 20000
(столкновения кластеров).
Необходимо отметить, что законы роста среднего размера объектов можно вывести непосредственно из соотношения неопреде-
tt
ленностей (1.1'), если подставить в него ,
а затем решить дифференциальное уравнение
at=Δ с нулевым начальным условием. При малом потоке заро-
i
= определить ,aΔ
i
da dt a t
ΔΔ=
дышей получаем из (1.1') следующую цепочку:
3/2 3/2
ta a
h
i
a
Δ≈ → ≈ ≈
22
da
≈→ ≈
00
mtmt
3/2 3/2
aa
00
3/2
ada dt
dt m t
a
Δ
Δ
⎛⎞
a
h
⎜⎟
⎜⎟
2
⎝⎠
3/2
0
0
h
i
1/ 2
.
i
Δ
23
Решая последнее дифференциальное соотношение в квадратурах,
получаем следующее выражение:
1/5
3
⎛⎞
25
a
at
h
≈
⎜⎟
⎜⎟
8
mt
0
⎝⎠
2/5
0
i
(1.37)
.
Это в точности совпадает с законом (1.35), если раскрыть в нем параметр t
. Аналогично при
1
2tacΔ= получаем следующее вы-
0
ражение:
ca
00
m
0
1/ 6
3
1/3
(1.38)
.
1/ 3
⎛⎞
3
⎛⎞
≈
at
⎜⎟
2
⎝⎠
h
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Это совпадает с законом (1.36). В первом приближении можно полагать, что законы роста (1.37), (1.38) среднего размера объектов со
временем являются инвариантами любого кинетического уравнения.
В ряде задач, связанных с исследованиями высокоинтенсивных
процессов с большой энергетикой (например, при высоких температурах кристаллических объектов), величину промежутка времени
Δt элементарного акта взаимодействия целесообразно определить,
исходя из со
отношения неопределенностей «энергия-время» [38]:
(1.39)
/.tE
≈Δh
Здесь ΔE – ширина уровня энергии возбужденного состояния квантово-механической системы. Подставляя выражение (1.39) в соотношение (1.1'), записываем следующую цепочку:
33
aaE
Δ≈ → ≈ ≈
h
a
00
22
mE t m
00
11
ΔΔ
3/2 3/2
aa
Δ
da
≈→ ≈
3/2
ada dt
dt m
⎛⎞
a
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
3
⎛⎞
aE
0
⎜⎟
⎜⎟
2
⎝⎠
1/ 2
Δ
1/ 2
Δ
0
.
Величина ΔE определяется природой объектов и режимом процесса. Например, в случае фононных возбуждений мезоскопических
кристаллов при высоких температурах
kT>> ωh (Bk – посто-
charB
(1.40)
24
E
янная Больцмана,
ω
– характеристическая частота) величина ΔE
char
прямо пропорциональна числу N атомов, охваченных фононными
возбуждениями: 3 .
него размера
a области возбуждения. Решая дифференциальное
kTΔ≅Ν Величина N может зависеть от сред-
B
соотношение (1.40) в квадратурах, можно найти приблизительные
законы роста среднего размера
a со временем в высокоинтен-
сивных процессах агрегации объектов, сопровождающихся множественным рождением и уничтожением фононов при больших температурах.
Рассмотрим вопрос об ограничении сверху размера объектов.
Из соотношения неопределенностей (1.1) и условия сохранения
массы в элементарном акте взаимодействия большого кластера с
32
3,aa aΔ≈
зародышем, когда
0
получаем следующее выражение
для максимального размера объекта
63
ama
ρ
000
tt
ΔΔ
hh
min min
.
(1.41)
Здесь
a
tΔ – минимальный промежуток времени элементарного
min
22
≈α =
max
99
акта взаимодействия объектов, определяемый физической природой процесса.
Выводы к главе 1
На основе соотношения неопределенностей для координаты и
импульса в пространстве размеров объектов-кластеров, а также линеаризации и качественного анализа решений кинетического уравнения Фоккера–Планка получены следующие научные положения
и результаты.
1. Установлены основные свойства функции φ(a,t) плотности
распределения объемно-упакованных объектов по размерам a:
а) в конце процесса агрегации фу
ния больших кластеров с размерами a >> a
3
обратно пропорциональна a
, т. е массам кластеров, а средний
нкция плотности распределе-
(a0 – размер зародыша)
0
(
)
25
размер a кластеров много меньше максимального размера
: a << a
a
max
max
;
б) существует множество локальных максимумов функции
φ(a,t), связанных с наиболее вероятными размерами кластеров, а
также множество нулей этой функции, отражающих неустойчивость кластеров при определенных размерах.
2. Получены приблизительные законы роста среднего размера
a больших кластеров со временем t при малом и большом пото-
ках зародышей.
3. Получено приблизительное дифференциальное соотношение
для определения законов роста
at в высокоинтенсивных про-
цессах с большой энергетикой.
4. Получено выражение для максимального размера объектов.
26
Глава 2. СУБАТОМНЫЕ И АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ
ОБЪЕКТЫ
В данном разделе предпринимается попытка рассмотреть разнообразные ядерные явления с единой точки зрения как процессы
образования и роста компактных кластеров с выраженными коллективными квантовыми свойствами (сильное взаимодействие) в
замкнутой стохастической системе нуклонов, находящейся в возбужденном состоянии. В качестве возбужденной замкнутой системы можно рассматривать материнское ядро, либо два соприк
щихся ядра после их столкновения (двойная система). В начальный
момент времени такая система состоит из зародышей ядерной материи: альфа-частиц и (или) их фрагментов – тритонов и дейтронов. В результате случайного взаимодействия этих зародышей
происходит их коалесценция – в системе образуются компактные
скопления ядерной сплошной среды – кластеры. Колебания нуклонов на поверхности соприкасающих
менно (виртуально) разорванными внешними связями могут приводить к взаимной компенсации этих незадействованных связей. В
результате происходит консолидация соприкасающихся кластеров
и образование более крупных объектов ядерной среды с различными массами (массовыми числами A). В результате кулоновского
отталкивания эти объекты могут разлетаться из области вз
действия. Задачами предлагаемой модели являются: 1) расчеты
наиболее вероятных массовых чисел A кластеров во всем диапазоне
существующей систематики нуклидов [39]; 2) расчетное определение дискретного спектра наиболее вероятных чисел A, характерных
для кластерной радиоактивности [23, 40, 41]; 3) нахождение наиболее вероятных и средних массовых чисел <A> кластеров, образующихся в процессах спонтанного деления ядер
ние наиболее вероятных величин A и оценка средней величины <A>
сверхтяжелых кластеров, образующихся в процессах нуклеосинтеза
ся «ядерных» кластеров с вре-
[42, 43]; 4) определе-
асаю-
аимо-
27
в звездах [25, 44]. При этом рассматриваются только быстрые
внутриядерные процессы (r-процессы), протекающие в течение
времени жизни возбужденных состояний. Эти состояния задаются
энергией колебательных и вращательных уровней, определяемых в
оболочечной модели ядра. Время протекания таких процессов приближения к равновесию лежит в промежутке между временем прямых ядерных реакций (c характерным ядерным временем порядка
-22
10
с) и временем жизни составного ядра 10
-16
– 10
-15
с [45–47].
Кроме того, предпринимается попытка отдельно определить характерные времена образования и размеры кластеров ядерной материи
в астрофизических масштабах, в частности, нейтронных звезд.
2.1. Асимптотическая модель образования
кластеров ядерной материи в процессах
приближения к равновесию
В основу аналитического описания рассматриваемых явлений
положены приведенные в главе 1 феноменологические представления о волне φ(a,t) плотности распределения в пространстве размеров a компактных кластеров с квантовыми свойствами. Такой одномерный подход позволяет не учитывать отклонение реальной
геометрической формы ядра от сферической. Эволюция функции
φ(a,t) в течение с
тохастического процесса агрегации объектов может быть описана в диффузионном приближении с помощью уравнения Фоккера–Планка (1.5), записанного для пространства размеров кластеров. Для определения наиболее вероятных массовых чисел будем использовать выражение (1.23) с произвольным действи-
тельным числом
15 2,λ= найденным в главе (1) (см. выражение
(1.31)), а также известное выражение [4 7], связывающее радиус ядра R = a/2 с массовым числом:
1/ 3
,RrA= (2.1)
0
≈ 1,3 Фм – характерный параметр сильного взаимодействия.
где r
0
Если принять, что данное выражение приблизительно выполняется
28
(
≈
τ
и для зародышей, то из формулы (1.23) можно получить следующее выражение для наиболее вероятных массовых чисел A
AA n n
⎛⎞
≈π+=
⎜⎟
n
0
⎜⎟
22
⎝⎠
β
5
λ
6/5
1 , 1, 2, 3,.....
:
n
(2.2)
Здесь A
– массовое число зародыша, а параметр
0
2
2itmaβ≈h оп-
00
ределяется массой и размером зародыша, а также характерным
масштабом времени t
взаимодействия объектов. В качестве такого
i
масштаба целесообразно принять период высокочастотных колеба-
-23
ний нуклонов в ядре, равный 5
.
10
с [48] (см. с. 34).
Для нахождения характерных средних размеров кластеровнуклидов воспользуемся выражениями (1.37), (1.38) и перепишем
их в следующем виде:
52 2 6 ,
att≅πρh
1
()
2
2/5
()
)
1/3
32 6 .act≅πρh (2.4)
()
0
i
1/ 6
1/5
2/5
(2.3)
1/3
Здесь ρ – плотность ядерного вещества. С целью исключения из
формул параметра a
было принято, что
0
πρ Отсутствие
()
00
3
6.ma
в формулах (2.3) и (2.4) размера зародыша отражает асимптотическую стадию процесса, когда система «забывает» о начальных условиях и ее эволюция протекает в соответствии с внутренней динамикой ядра. Эта динамика связана с возбуждением колебательных и вращательных уровней энергии, определяемых оболочечной
моделью ядра.
Общее время протекания неравновесного процесса определяется,
исходя из ур
овня энергии Γ оболочки, по правилу Гейзенберга [45]:
.
=Γh (2.5)
Это правомерно для изолированных уровней возбуждений квантовой системы.
M
M
M
M
=
29
Верификацию предлагаемого формализма можно осуществить
на примере катастрофических явлений [49, 50] с участием адронов.
Рассмотрим эти явления как следующую цепочку событий [13, 24]:
лобовые столкновения «лептон-нуклон» или «нуклон-нуклон» →
выбивание кварков из глюонных облаков → случайные взаимодействия в сплошной внутриадронной среде → образование новых
частиц (адронных струй). Новые частицы рассматриваются как
кластеры, состоящие из элементов спл
ошной внутриадронной среды (партонов): кварков, глюонов, кварк-антикварковых пар. Условие рождения новых частиц может быть записано в виде
()
2
c – полная энергия партонов,
elem
2
c
частиц,
– полная энергия двух первоначальных сталкиваю-
0
22
Mc Mc+=
elem cl 0
.
2
c – полная энергия новых
cl
щихся частиц. В конце рассматриваемого процесса, когда все партоны перешли в связанные состояния,
elem
0M
, поэтому выпол-
няется соотношение (1.3) и предложенный в разделе 1 стохастический подход применим. Тогда закон (1.38) эволюции среднего размера кластеров дает следующее соотношение между единицами
длины a
, времени t
unit
и массы m
unit
при глубоко неупругом взаи-
unit
модействии фундаментальных частиц:
32
unit unit unit
/.ma t c= h (2.6)
Здесь c – максимальная скорость распространения взаимодействия
в адронной среде: скорость света в вакууме. На основе формулы
(2.6), известных данных [50] для «условных» кварковых масс (u- и
d- кварки) глубоко внутри адронов и для характерных расстояний
можно получить следующую оценку единицы времени
af
t для
unit
токовых кварков (cq) в состоянии асимптотической свободы (af):
af
a ∼ 10
unit
-16
м, m
unit
≈ 7 МэВ; ⇒
cq
∼
m ≈ 5 МэВ, m
u
af
t ∼ 10
unit
-26
unit
с.
∼
cq
m ≈
d
30
(
(
Время перехода t
кварков от асимптотической свободы к связан-
trans
ному состоянию (конфайнменту) внутри адрона оценивается по формуле (1.38) как
t
trans
af conf af
∼
ta a ∼ 10
unit unit unit
)
-23
с (
a
conf
unit
∼ 10
-15
м).
3
Полученная величина соответствует масштабу времени сильного
взаимодействия.
В процессах, рассматриваемых в работе [49], минимальная ве-
личина единицы длины составляет
min
a ∼ 10
unit
-18
м. Ее можно рас-
сматривать как верхнюю оценку размера токового кварка. Тогда из
формулы (2.6) следует, что
min
t ∼ 10
unit
-29
с, а время
form
t образования
hadr
адронов со средним размером <a> ∼ 1 Фм, в соответствии с форму-
3
лой (1.38), составляет
form min min
ttaa≈ ∼ 10
hadr unit unit
)
-20
с. Данная вели-
чина значительно больше времени жизни нестабильных адронов
(«резонансов»)
res
t
life
≤ 10
-21
с:
t
form
hadr
>>
res
.t
Это отражает образование
life
стабильных адронных струй в описываемых процессах катастрофических столкновений.
Если в соответствии с представлениями [51] принять, что скорость распространения возмущения в кварк-глюонной среде равна
скоростям звука c
= 0,3c и 0,57c, то в приведенных выше оценках
s
единиц времени, времени перехода кварков в связанное состояние и
времени образования адрона появятся множители 1,8 и 1,3. Данные
поправки не изменяют оценку масштаба времени сильного взаимо-
действия и усиливают неравенство
form
t >>
hadr
res
,t отражающее фор-
life
мирование стабильных адронных струй.
Асимптотическое распределение ϕ ∞ m
-1
означает, что: 1) ве-
роятность фрагментации нуклонов при глубоко неупругом рассеянии больше, чем вероятность их сохранения; 2) число пионов в адронных струях превышает число нуклонов в 1,5 раза. Эти выводы
соответствуют представлениям [4 9] о природе жестких процессов.
В частности, при лобовом столкновении протонов происходит следующая реакция: pp → π
0π+π+
nn. Можно видеть, что в образовав-
шихся адронных струях присутствуют 3 пиона и 2 нейтрона.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]