Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Качественные модели кинетики образования компактных объектов с сильными внутренними связями. Монография
.pdf
=
M
M
Δ
f
11
ределить либо как
00
3
()
,mmaa= где
родыша кубической формы, либо как
,am
– размер и масса за-
00
3
,ma
αρ
где ρ – плотность
вещества кластера, α – геометрический фактор (для куба α = 1, для
шара α = π/6). В конце процесса агрегации, когда полная масса зародышей пренебрежимо мала, полную массу кластеров можно рассматривать как интеграл движения, т. е. считать, что приращение
массы
tΔ при t → t
()
cl
стремится к нулю (tf – момент окончания
f
процесса агрегации). Раскрывая по правилу [33], приращение определенного интеграла в выражении (1.2), получаем, что
a
max
lim lim , ,
Δ= Δϕ =
→→
tt tt
cl
ff
a
max
⎧⎫
=αρ Δ ϕ =
lim , 0.
⎨⎬
∫
→
tt
f
⎩⎭
0
atmatda
()()
∫
0
3
⎡⎤
aatda
()
⎣⎦
(1.3)
Поскольку в конце процесса размеры и количество кластеров велики по сравнению с размерами и количеством зародышей, «одновременное» разрушение заметного числа кластеров при их взаимодействии с зародышами маловероятно. В системе устанавливается
замороженное распределение кластеров по размерам и подынтегральная функция в выражении (1.3) не меняет знака, по крайней
мере, в течение промежу
тка времени (tf – Δt, tf). Тогда из выраже-
ния (1.3) следует, что
3
⎡⎤
lim , 0.
tt
→
aat
ϕ=
()
⎣⎦
f
Вводя безразмерную переменную a/a
и раскрывая последнее вы-
0
ражение по правилам [32] для указанного выше дифференциала dF,
получаем
ln 3{ ln [ ] }, .
ddaadaaaattϕ=− + →
При больших
() ()()
aa>> вторым членом в фигурных скобках можно
0
3
000
2
2
пренебречь. Окончательно находим, что функция плотности рас-
12
)
)
)
∂
ξ
пределения по размерам больших кластеров в конце процесса аг-
ϕ
регации
может быть аппроксимирована следующей зависимо-
fin
стью [34]:
ϕ
∝ a-3 ∝ m-1, a >> a0, t → tf . (1.4)
fin
Данный асимптотический вид распределения, полученный исходя
из соотношения неопределенностей (1.1), не связан с начальным
распределением
ния для
ϕ. Распределение (1.4) можно рассматривать как «инвари-
aϕ и не зависит от вида кинетического уравне-
(
0
ант» любого кинетического уравнения, описывающего поведение
кластеров с квантовыми свойствами.
В соответствии с указанным выше видом дифференциала ана-
литической функции эволюция функции плотности распределения
,atϕ в течение стохастического процесса агрегации может быть
(
описана в диффузионном приближении с помощью кинетического
уравнения Фоккера–Планка [35], переписанного для пространства
размеров кластеров [34]:
2
1
2
2
a
. (1.5)
Здесь
,
at
∂ϕ
(
+⎡νϕ ⎤− ⎡ηϕ ⎤=
ta
∂∂
,vdadt da dt=η=
∂∂
()
,,0
at at
() ()
⎣⎦ ⎣⎦
2
– средняя скорость кинематиче-
ского переноса φ и коэффициент диффузии в пространстве a соответственно. С целью линеаризации этого уравнения и получения
приближенных решений примем, что по порядку величины средняя
скорость кинематического переноса φ совпадает со скоростью роста среднего размера кластера:
.da dt d a dtν= ≈
В соответствии с соотношением (1.1) коэффициент диффузии можно записать как
22 .mmaaη≈ ≈hh
Введем безразмерные переменные
00
=τ= где it – ха-
3
()
,,
aa tt
0
i
рактерный масштаб времени взаимодействия объектов, определяе-
(
)
<
ξ
∂
∂
(
+
ξ
13
мый их природой и механизмом агрегации. Тогда с учетом принятых допущений уравнение (1.5) принимает следующий вид:
,,
∂ϕ ξ τ ∂ϕ ξ τ
()
+Ψ τ − β ϕ ξ τ ξ ≅
∂τ ∂ξ
()
)
2
1
∂
⎡⎤
()
2
2
⎣⎦
∂ξ
3
−
,0.
(1.6)
Здесь
мера кластеров,
ddΨτ= ξ τ – безразмерная скорость роста среднего раз-
(
2
2.
tmaβ≈h Для оценки величины β воспользу-
i
00
емся соотношением (1.1), а также законом сохранения массы в элементарном процессе взаимодействия кластера с зародышем в предположении, что масса зародыша равномерно «размазывается» по
поверхности кластера
33
()
0
где ρ – плотность вещества. Отсюда и из условий
32
находим
ку
()
181 aaβ≈ << 1. Таким образом, β является малым пара-
3.aa aΔ≈ Тогда из соотношения (1.1) получаем оцен-
0
()
0
3
,aa aaρ+ρ=ρ+Δ
,aaaa
Δ<<
0
метром.
Раскрывая производную в третьем члене уравнения (1.6), по-
лучаем следующее уравнение:
∂ϕ ∂ϕ β ∂ ϕ β ∂ϕ β
+Ψ − + − ϕ≅
∂τ ∂ξ ∂ξ
При 1ξ>> членами, содержащими в знаменателе
2
36
32 4 5
ξ∂ξ ξ ξ
2
(1.7)
0.
345
,,,
ξξ можно
пренебречь, так как ограниченная аналитическая функция φ имеет
ограниченные производные
ϕ∂ξ и
22
ϕ∂ξ а Ψ и β – конечные
,
величины. Тогда в случае больших кластеров, размер которых
много больше размера зародыша, диффузионным членом в уравнении (1.5) можно пренебречь. Эволюция φ для больших кластеров
описывается с помощью уравнения бегущей волны:
,,
∂ϕξτ ∂ϕξτ
()
∂τ ∂ξ
Ψτ =
()
)
0,
1.
>> (1.8)
14
()(
)
ϕ
)
′
Ψ
τ
(
Ψ
=
)()
(
Подставляя в уравнение (1.8) обычное разложение для φ в виде
, F
суперпозиции прямой и обратной волн
(
2
,F+ξ+Ψτ в которой наличие обратной волны отражает конку-
ξτ= ξ−Ψτ+
1
рирующие процессы разрушения кластеров, получаем следующее
соотношение:
F
1
′
F
2
Поскольку, по условию задачи, в плоскости
2
d
τ
1.
=+
Ψ
d
,ξτ отсутствуют ка-
)
кие-либо точки с наперед заданными особыми свойствами, следует
положить
′′
12
const.FF
=
Отсюда получаем, что скорость роста
среднего размера изменяется со временем по степенному закону:
ddξ
==Ατ
y
.
(1.9)
τ
Здесь A, y – постоянные величины. Интегрируя это уравнение, находим, что в общем случае средний размер кластеров изменяется
со временем как
Ζ
⎛⎞
t
Κ
⎜⎟
0
t
i
⎝⎠
– средний размер в начальный мо-
0
.
0
Здесь
=+
aa a
1, ,ya=+ =Α
ΖΚΖ
мент времени t = 0.
Если в начальный момент времени система состояла только
из зародышей, то на основе условия сохранения массы (1.2)
можно записать:
a
max
Mt a a da
0,00.
() ()
cl 0
∝ϕ =∫
3
0
Отсюда определяем вид начального распределения кластеров:
,0 ,aaϕ=δ где
(
0
aδ – дельта-функция. Тогда средний размер
)
кластеров в начальный момент равен нулю:
=
Ζ
≈
(
(
Ζ
Ζ
−
a
max
aaada
0
δ=∫
()
0
0.
15
Закон роста среднего размера принимает следующий вид:
⎛⎞
Κ
0
t
⎜⎟
t
i
⎝⎠
.
(1.10)
=
aa
Для определения постоянных величин K, Z используется соотношение (1.1), переписанное для среднего размера <a>:
2
a
Δ
Здесь
()
m
Δ
3
()
00
.mmaa≈ Запишем приращение среднего размера в
h
.
(1.1')
t
2
виде стандартного разложения в ряд по степеням Δt:
da d a
at t
Δ= Δ+ Δ+
dt
2
1
2
2
dt
2
()
....
Отсюда и из выражения (1.10) получаем следующее разложение:
12
−−
11
()
12
aa
⎛⎞ ⎛⎞
aaKZ aKZZ
Δ= + − +
ZZ
00
⎜⎟ ⎜⎟
at a t
⎝⎠ ⎝⎠
ZZ
tt
ΔΔ
1
2
00
ii
1....
()
)
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
2
В квадрате этого выражения в первом приближении ограничимся
первым членом:
2
aaKZ
Δ≈
()
2
22
Z
0
−
a
⎛⎞
⎜⎟
at
0
⎝⎠
Z
)
⎛⎞
t
Δ
⎜⎟
i
⎝⎠
2
.
2
2
Подставляя полученное выражение в соотношение (1.1'), находим
соотношение для определения постоянных величин K, Z:
2
5
Ζ
⎛⎞
a
t
h
2
ma
Δ
⎜⎟
2
⎝⎠
00
.
a
0
(1.11)
22
Κ ≈
16
Ζ
−
)()()
′
−
(
Ζ
В пределе при
ttΔ=
получаем из формулы (1.11)
i
⎛⎞
22
ΖΚ
∼
2
ma
h
t
i
2
00
a
⎜⎟
a
⎝⎠
2
5
Ζ
.
(1.12)
0
Величина Z задается из условия K ≡ const, т. е. правая часть выражения (1.12) не должна зависеть от
янных в законе (1.10) связаны с величиной ,
a . Конкретные значения посто-
t т. е. определяются ре-
i
жимом и механизмами взаимодействия объектов в замкнутой системе.
Найдем решение уравнения бегущей волны (1.8) в случае,
когда скорость роста среднего размера выражается в виде степенной функции (1.9). Из физического условия ограниченности Ψ
при больших значениях τ следует, что показатель степени y должен
быть отрицательным числом: y < 0. Подставив вы
ражение (1.9)
в уравнение (1.8) и произведя стандартное разделение переменных
,,ϕξτ = ξ τ
(
ΡΤ
получаем следующие обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения:
1
==−λ
Ψ
ΤΡ
2
λ – произвольное действительное число. Решая их, находим
где
2
,
′
ΤΡ
частное решение уравнения (1.8):
2
ϕ= λ −λ ξ−ξ ξ= τ
()exp , .C Κ
λ
⎡⎤
⎣⎦
)
(1.13)
Здесь C(
λ) – функция от произвольного действительного числа λ.
Общее решение, удовлетворяющее закону сохранения массы и
асимптотическому распределению (1.4) (при C(
λ
) = Β
5
λ
, Β ≡ const),
можно записать следующим образом:
∞
ϕξτ= λ −λ ξ−ξ λ= ξ− ξ ξ>>
, exp 2!/ , 1.Cd
() ()
∫
−∞
2
⎡⎤
() ()
⎣⎦
Β
3
Сравнивая это выражение с распределением (1.4), можно заключить, что при t
→ t
должно выполняться условие <a>
f
<< a
fin
(1.14)
max
.
∂
+
λ
≈
17
В конце процесса необратимой агрегации объектов в результате
взаимодействия больших кластеров с малыми зародышами в стохастической консервативной системе плотность распределения
больших кластеров обратно пропорциональна их массам, а средний
размер кластеров значительно меньше конечного максимального
размера.
Приблизительный вид функции
ϕ вблизи максимума кривой
плотности распределения по размерам можно определить, опустив
в уравнении (1.7) члены с первой производной по переменной ξ,
так как в малой окрестности локального максимума аналитическая
функция изменяется слабо:
ϕ∂ξ≈ Для пространственного со-
0.
множителя получаем уравнение
223
⎛⎞
d
d
12 2
Ρ
⎜⎟
22
⎜⎟
ξξ
⎝⎠
λξ
+=
β
(1.15)
0.
Ρ
Обозначим переменный коэффициент во втором члене этого уравнения как
12 2
ξ≡ +
()
ξ
23
ξ
.g
2
β
При ξ > 1 находим следующие выражения:
322 22
′
=− ξ + λ ξ β≈ λ ξ β
32 2 2 3 52 3 92 32
22122 2 /.g−=ξ+λξβ≈λξβ
()
−
24 6 6 ,g
32
(1.16)
(1.17)
Разделив выражение (1.16) на выражение (1.17), получаем следующее выражение:
′
g
32 52
22
g
6
15212
−−
λξ β (1.18)
.
При β < 1, λ > 1 получаем, что при достаточно больших ξ > 1 формально выполняется условие применимости приближения Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ) [31]:
′
32
2.gg
<<
18
⎧
⎪
⎨
⎪
≡
+
ξ
Поэтому можно записать ВКБ-решение [31] уравнения (1.15):
1
−
4
ξ≈⎡ ξ⎤ ξ ξ+
Ρ
() () ()
⎣⎦
sin{ const}.ggd
∫
Тогда решение уравнения (1.15) имеет вид
14 12
2
βξλ
()()
Ρ
=+ξ−+
25
+ξ
c
()
sin ln const ,
14
⎩⎭
12
⎡⎤
⎛⎞
22
λ
⎜⎟
β
52
⎝⎠
25
⎢⎥
c
⎢⎥
⎣⎦
25
+ξ +
cc
c
25
+ξ −
cc
⎫
⎪
⎬
⎪
(1.19)
22
6.c
βλ
где
В соответствии с положениями, приведенными
в работе [36], условие максимума функции (1.19) определяется поведением «осциллирующего» члена:
Здесь
12
⎛⎞
λ
22
⎜⎟
52
⎝⎠
– координаты максимумов (рис. 1.1).
n
⎡⎤
25
⎢⎥
β
c
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
nn
=+π=
⎜⎟
⎝⎠
c
ξ− + =
n
1
, 0,2,4,... .
2
25
cc
+ξ +
ln const
n
25
cc
+ξ −
n
(1.20)
Рис. 1.1. Осциллирующий член в формуле (1.19)
Функция
ξΡ в принципе может иметь множество локальных
()
максимумов на фоне плавной кривой плотности распределения
кластеров по размерам. Это означает существование набора наиболее вероятных размеров кластеров. Константа в выражении (1.20)
β
λ
β
−
()()(
)
=
19
находится из условия, что первый максимум (n = 0) соответствует
зародышам
(1).ξ=
0
Так как 1, 1,
<< λ > то параметр
2
1.c<< То-
гда выражение (1.20) может быть переписано в приближенном виде
22 1
52
Отсюда и из условия
5
λ
2
const ( ) , 0, 2, 4, ...
ξ+ ≅+π=
n
β
0, 1n =ξ= получаем
0
const .
nn
522
≅−
(1.21)
(1.22)
25
Подставляя выражение (1.22) в выражение (1.21) и разделив левую
и правую части равенства на 2, получаем
22
5
⎛⎞
2
ξ−≅π=
n
⎜⎟
β
⎝⎠
nn
1 , 1, 2,3,....
(1.23)
5
λ
Рассмотрим распределение по размерам «малых» кластеров,
для которых кинематический перенос плотности распределения
выражен слабее, чем диффузия. Опустив в уравнении (1.7) второй
член, отвечающий за перенос, можно записать это уравнение в следующем приближенном виде:
∂ϕ β ∂ ϕ β ∂ϕ β
∂τ ∂ξ
Произведя разделение переменных
2
36
+−ϕ≅
32 4 5
2
ξ∂ξ ξ ξ
,ϕξτ = ξ τ
0.
ΡΤ
(1.24)
в уравнении
(1.24), получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
′′′′
21 612
ΤΡΡ
=−+=−λ
345
ΤΡΡ
β
ξξξ
2
.
Отсюда получаем
Τ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
exp .
2
λ
−βτ
2
(1.25)
20
(
=
=
=
Для функции P(ξ) записываем дифференциальное уравнение второго порядка
225
′′ ′
ξ−ξ++λξ =
612 0.
ΡΡ Ρ
)
(1.26)
Решение этого уравнения ищем в виде степенного ряда [37]
∞
ks
ξαξ
Ρ
∑
s
=
.
(1.27)
s
0
Характеристическое уравнение для показателя степени
k имеет
следующий вид:
k(k – 1) – 6k + 12 = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим
1,α= находим при k1 = 3
0
2
5
/20α=−λ и
2
λ
38
ξ− ξΡ (1.28)
k
= 3, k2 = 4. Положив
1
.
20
Из выражений (1.25), (1.28) находим асимптотический вид частного решения уравнения (1.24) для малых кластеров:
,1exp,const.
ϕξτ=ξ − − βτ ≡
()
λ
Условие максимума функции
′′′
=ξ− ξ= =ξ− ξ<
ΡΡ
3
BB
⎢⎥
20 2
⎢⎥
⎣⎦⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
(1.29)
P имеет следующий вид:
22
856
λλ
27 6
30,60.
(1.30)
25 2
⎡⎤⎛⎞
λξ λ
20 20
«Сшивка» условия максимума (1.30) с условием первого максимума в выражении (1.23)
0, 1n
ξ= позволяет определить произ-
0
вольную постоянную λ:
815
30 ,210.
22
−λ=⇒λ= =−<
′′
Ρ
(1.31)
20 2
Зная величину λ, можно определить координату первого «нуля» функции
P:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]