Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Философские проблемы математики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(

СИБСТРИН)

С.П. Кушнаренко

ФИЛОСОФСКИЕ

ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

НОВОСИБИРСК 2013

УДК 510.21



ББК 87.3 К 964

Кушнаренко С. П.

Философские проблемы математики : учеб. пособие / С. П. Кушнаренко ; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2013. – 156 с.

ISBN 978-5-7795-0649-6

В учебном пособии представлена оригинальная концепция взаимоотношения философии и математики: математика рассматривается как элемент духовной культуры личности. Показано взаимовлияние этих двух форм интеллектуальной деятельности. Посредством этого, с одной стороны, раскрывается внутренний смысл математических конструкций, а с другой – проясняются формы мышления, неявно используемые в философствовании. Изложение осуществляется на большом философском и историко-математическом материале и направлено на достижение понимания смыслового содержания формальных математических операций.

Издается по решению

издательско-библиотечного совета НГАСУ (Сибстрин)

Рецензенты:

– В.Ш. Сабиров – д-р филос. наук, профессор НГАСУ

(Сибстрин);

– Е.М. Боровой – канд. филос. наук, доцент СибГУТИ

ISBN 978-5-7795-0649-6

Кушнаренко С.П., 2013 Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................ 4

Глава 1. ПРОБЛЕМА ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Основная философская предпосылка прояснения существа математики: внутренняя взаимосвязь существа

математики с существом самого философствования .......... 6

1.2. Экспликация взаимосвязи философского прояснения существа математики с прояснением существа философии: математика как символически-структурное выражение

личностного бытия ............................................................... 18

Глава 2. МАТЕМАТИКА И КУЛЬТУРА

2.1. Математика и религия: проблема бесконечности .............. 38

2.2. Математика и этика: проблема соотношения

свободы и необходимости .................................................... 58

2.3. Математика и искусство: проблема отношения

структуры и формы ............................................................... 71

Глава 3. ПРОБЛЕМА ГЕНЕЗИСА ОСНОВНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

3.1. Происхождение и сущность числа ....................................... 99

3.2. Проблема континуума ......................................................... 108

3.3. Творческая интуиция и доказательство ............................ 124

3.4. Математический анализ и его логические истоки ............ 136

ОГЛАВЛЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................... 150

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основой методологии рассмотрения отношения философии к математике в данной работе выступает не внешний подход – когда предметом философских спекуляций становится математика как таковая, – но выявление изначального истока как философии, так и математики, в качестве которого полагается бытие человеческой личности. Благодаря этому оказывается возможным усмотреть философию в самой математике и оборотной стороной – математику в философии. Так, в процессе философского осмысления существа геометрических форм выявляются имплицитные формы самого философского мышления, а в ходе выявления этической основы математических рассуждений – неявно присутствующая математика в самих нравственных поступках. Данный подход позволяет углубить как собственно философские представления, так и внутриматематические. В частности, благодаря введению принципа присутствия в любой математической конструкции неявной предметной репрезентации ее бытийного истока оказывается возможным увидеть ее не в качестве превращенной формы, т.е. как данности, используемой для достижения каких-то прагматических целей, а в качестве символической репрезентации актов математического творчества, и тем самым – как динамически развивающейся целостности. Последнее позволяет в процессе углубления в понимании смысла математических понятий производить и новые математические конструкции – как предметную репрезентацию изначального личностного истока самой математики. В данной работе проводится мысль о том, что магистральное развитие математики происходит именно в направлении такой экспликации. В свою очередь, это позволяет человеку в математических истинах усматривать истину и о своем собственном существе, и тем самым включать их в контекст человечески-личностного существования. Тем самым реализуется

идея математики как «второй философии», т.е. как специализированного средства философской рационализации бытия человека. Конкретным результатом осуществления этой программы в данной работе выступает введение новой математической конструкции – логоса – как математической экспликации личностного бытия, выступающей истоком введенной французским математиком А. Гротендиком конструкции топоса.

Глава 1. ПРОБЛЕМА ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

1.1.

Основная философская предпосылка прояснения

существа математики: внутренняя взаимосвязь существа

математики с существом самого философствования

Что означает рассмотрение математики с философской точки зрения? Философская позиция состоит в том, чтобы избегать любых предвзятых мнений – с целью высветить само существо того, что выступило темой для обсуждения. Но то, что выделилось из в целом безразличного для нас мирового фона и выступило на передний план нашего внимания, – это то, чем мы уже както оказались затронуты. Философский интерес к математике кроется в особом положении математики по отношению к самой философии: математика для философии не просто один из внешних предметов, ибо оказывается, что существо самой философии неразрывно связано с существом «математического». Немецкий философ XX века М. Хайдеггер выявляет эту связь, опираясь на первоначальный смысл математики: «"Математическое" есть неологизм, производный от греческого τά µαθήµατα, поддающееся обучению и поэтому в то же время усваиваемое; µανΰάνειν означает учиться, µάθησις – учение, причем в двойном смысле: учение как то, чему обучаются, и учение как то, что изучают… Выражение «математическое» всегда двусмысленно. Во-первых, оно имеет в виду: вышеозначенным способом и только им поддающееся изучению; во-вторых: способ учения и образа действия» [1, s. 69, 70]. Математическое – это то, что привносится нами в вещь в процессе ее изучения – некие идеальные схемы, априорно присутствующие в нашем разуме, позволяющие видеть существо вещей. В самом деле, мы не можем, исходя из одних вещей, получить понятие какого-то «числа», например, тройки: рассматривая три вещи, к примеру, хлеб, камень и стакан, мы непосредственно воспринимаем их только как отдельные вещи, а для усмотрения имеющейся в этом случае «тройственности» необходимо, во-первых, постижение их данности в качестве элементов некоей целостности, а во-вторых, распознавание их как идентичных друг

другу единиц, т.е. «вещей вообще». По Платону, мы уже должны иметь идею «тройки», чтобы увидеть в мире «три вещи». Математика, таким образом, есть дисциплина мысли, которая имеет дело с некой первичной очевидностью как изначальной данностью бытия вещи: «математическое есть обнаружение того в вещи, в пределах чего мы всегда уже движемся сообразно тому, как нам вообще даны вещи как таковые и как таковые испытываются. Математическое – это та основная предпосылка отношения к вещам, в которых мы осуществляем предвзятие вещей в том, как они уже даны нам, как должны и обязаны быть даны. Поэтому математическое – это фундаментальная предпосылка постижения вещей» [1, s. 76]. Не случайно на дверях платоновской Академии была надпись: «Не геометр да не войдет». (В античности именно геометрия считалась образцом для всех остальных математических дисциплин.) Как раскрывает М. Хайдеггер ее смысл, «это изречение вовсе не имеет в виду, что философ обязан прежде быть дипломирован по предмету «Геометрия», а скорее есть понимание того, что основная предпосылка для истинной способности познания и мудрости – это постижение фундаментальных предпосылок всякого знания и привнесенной этим знанием позиции. Знание, в котором не схватывается основа его познаваемости, и, таким образом, его границы, является не знанием, но простым мнением. Математическое, в изначальном смысле узнавания того, что уже знают, – это основная предпосылка "академической" работы» [1, s. 76].

При таком академически строгом подходе к философствованию выясняется, что многие философские понятия и представления на деле имеют лишь метафорический смысл – который становится точным при выявлении имплицитно полагаемой в данной метафоре математической конструкции. В частности, идея Хайдеггера относительно возможностей, открывающихся перед экзистенцией в бытии, опирается на интуитивно полагаемую идею континуума этих возможностей – при одновременной непроясненности самой идеи континуума. По замечанию В. Тасика, интуиционистские идеи относительно континуума как становящегося многообразия возможностей оказываются своего рода ма-

тематической экспликацией структуры хайдеггеровского Dasein: «

Брошенная в этот странный мир, самость никогда полностью не присутствует к себе, находясь всегда не в настоящем для себя, но в непрерывном открытии предстоящего ей континуума собственных экзистенциальных возможностей. Она есть открытый объект, как и другие объекты в континууме. Таким образом, самость – структура континуума, в который я "брошен", который вынуждает меня всегда быть заинтересованным, "устремленным в будущее", требует заботиться о своем бытии. Это выглядит очень близким к определению Хайдеггером субъекта (Dasein) как такого вида бытия, способ бытия которого заключается в том, чтобы заботиться о собственном бытии» [2, p. 42]. Подобные представления о соотношении философии и математики разделял и Г. Лейбниц: «Математики должны быть философами не меньше, чем философы – математиками» [3, с. 334]. Согласно Ч. Пирсу, философские идеи вообще вначале возникают в математике: «…метафизика всегда была обезьяной математики. Геометрия выдвинула идею доказательной системы абсолютно достоверных философских принципов; и идеи метафизиков во все времена выводились по большей части из математики. Метафизические аксиомы являются имитациями геометрических аксиом… Большая часть того, что является истинным у Гегеля, представляет собой весьма тусклые проблески концепции, которая уже задолго до того была приведена к полной ясности математиками и которую нынешние исследования проиллюстрировали еще лучше» [4,

c. 339].

Причина такого положения дел в том, что в формах философского мышления скрываются формы математического мышления как наиболее строгого и обоснованного: «Всякое необходимое рассуждение есть, строго говоря, математическое рассуждение. Иначе говоря, оно осуществляется путем наблюдения чего-то, эквивалентного математической диаграмме. Но математическое рассуждение par excellence (по преимуществу) состоит из тех специфически сложных рассуждений, которые относятся к логике релятивов. Наиболее математическими из них являются рассуждения о непрерывности, примеры которых нам дают геометрическая топика, или топология, и теория функций… Я пола-

гаю, что метафизика никуда всерьез не продвинется, пока не обзаведется такого рода математикой» [5, с. 140].

В истории философии существовало, конечно, и иное отношение к математике, критическое – но при прояснении его оснований оказывается только, что математика у ее приверженцев среди философов просто понимается несколько по-иному. Так, А. Ахутин в критическом письме к А. Чернякову по поводу тезиса А. Бадью «математика и есть онтология» указывает, что у Аристотеля различались «первая философия», или ноэтика, как учение о сущем как таковом, и «вторая философия» как учение об определенности сущего и его видах, к числу которых он относил прежде всего математику и физику: «Вы, если не ошибаюсь, присоединяетесь к тезису Бадью, что онтология, или первая философия, это математика... Основание в том, что вся онтология говорит, собственно, о едином и многом, т.е., по существу, есть просто теория множеств. Но вот в первой же цитате из Аристотеля, которую Вы сами приводите, сказано, что та наука, которая рассматривает сущее как сущее, не тождественна ни одной из частных наук, как например, математике. В VI. 1 сказано еще яснее и подробнее: есть первая философия, или онтология, и есть две других теоретических науки – физика и математика. Стало быть, это – две вторых философии. "Предмет" первой философии намечается там (и тем), где и (каким образом) сходятся в одной точке "движение" (физическое) и "форма" (математическое). Это значит: просто математика до онтологии еще не дотягивает, нужно, чтобы ее точки и единицы заключали в себе начало движения» [6]. Таким образом, в самой этой критике мы видим, что когда математика рассматривается в качестве основы философствования, речь в данном случае идет не о наличной математике готовых структур как продуктов математической мысли, получивших определенную культурную форму в рамках той или иной внутриматематической дисциплины, а о математике становящихся структур, математике как специфической форме мышления.

Таким образом, в недрах философии уже скрывается своя внутренняя, имплицитная математика, отличающаяся от внешне данной нам математики в виде сложившейся научной дисципли-

ны, со своими исторически и логически определенными основаниями, теориями, понятиями и методами. Существующая в ее культурной форме математика есть математика на ее онтическом уровне, поскольку представляет собой рассмотрение со своей специфической точки зрения какой-то выделенной области сущего, в то время как изначальная математика имеет онтологическую значимость, ибо относится к бытию. Последнее означает, что в открывающейся нам при этом истине о вещи высвечивается истина о нашем собственном бытии, ибо в бытийном отношении к миру само существо человека изначально и осуществляется.

Феноменология как философское направление, возникшее в XX веке, фактически возрождает исконно платоновскую установку на «преодоление языка» как наиболее распространенной культурной формы. Главное в феноменологической установке – выяснить не то, как нечто нам дано, а как оно само себя нам да- ет, кажет. Но это означает, что по своему изначальному смыслу феноменология есть аналитика собственноличного опыта: она имеет дело с тем, что уже присутствует в любом «размышлении о…», да и вообще, в любом акте как способе вовлеченности нашего существования в мир. Что бы ни было предметом нашей мысли, в этом уже действует определенная предрасположенность, преструкция, по Хайдеггеру, являющаяся следствием неустранимой конечности нашего бытия. Эта изначальная интенция вела уже Канта в осуществлении им «коперниканского переворота» как стремления «расцепить то, как мы прилепились к миру, считая, что наши человеческие представления и есть мир сам по себе» [7, с. 259]. И даже тогда, когда мы только пытаемся что-то сделать, в этом уже имплицитно представлена действительность нашего собственного бытия: именно особенности нашей личности определяют то, что нам оказались даны эти, а не другие предметы, с которыми мы имеем дело в этих попытках. Но то, что уже действует в любом нашем акте, не дано в качестве

предмета». Прямым путем, непосредственно усмотреть собст-

венную экзистенцию, как специфический модус бытия, мы не можем: «я не могу его наблюдать, потому что сам занят им, этим способом бытия» [8, с. 122]. Экзистенция дана мне способом

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]