Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Философские проблемы математики. Учебное пособие
.pdf
Гуссерль замечает, однако, что, несмотря на всю продуктивность этой схемы развития науки, подобное движение, все более
отдаляясь от первичных очевидностей, оказывается все более и
более сомнительным и произвольным. Изучая, например, науку
по учебникам, «вот чему мы там на самом деле учимся: обходиться с помощью строгой методики готовыми понятиями и
предложениями. Чувственно наглядная демонстрация понятий на
начерченных фигурах подменяет действительное производство
первоидеальностей» [17, с. 228]. А это приводит, в свою очередь,
ко все большему удалению и от идеи науки, изначально призванной к решению именно духовных проблем человека, а не только
проблем его материального обеспечения, и от самой идеи истины, поскольку действительное непосредственное соприкосновение с миром в опыте конкретной личности заменяется формальной конструкцией этого опыта. Именно это привело в развитии
науки к преобразованию идеи метода как пути к истине в алгоритм как выполнению заданной последовательности операций. И
если первый предполагает и требует личной вложенности духовного начала человека в дело познания, то второй абстрагируется
от личности вообще.
Итак, цель интерпретации произведения культуры – возрождение в собственной деятельности той изначальной духовной активности, благодаря которой было создано соответствующее
произведение, и которая оказалась сокрытой в результате отложения (седиментации) и наслаивания смыслов, приписываемых
произведению каждым последующим поколением. И тогда цель
образования – воспроизводство не смысла произведения как элемента традиции (поскольку этот смысл есть не изначальный, соответствующий первичной очевидности, а смысл осажденный), а
способности производства смыслов, которая в произведении в
принципе тоже удержана, но требует собственноличного акта
воспринимающего данное произведение человека.
Доказательство, таким образом, есть способ приведения сознания человека к очевидности некоторой математической истины, благодаря присутствующей в нем «сильной структуре» мысли. Очевидность же формально-логически обосновать нельзя, ее
131
можно только раскрыть и показать. «Аристотель различает два
понятия – доказывать (apodeiknumi) и показывать (deiknumi).
Первое является производным от второго и может рассматриваться как частный случай второго. Силлогистика относится
только к доказательству, но не ко всякому показыванию. Теорема
в целом представляет собой некоторое показывание, а доказательство является только одним из элементов теоремы. Евклид
пишет в конце теоремы «что и требовалось показать» (oper edei
deixai),
а не «что и требовалось доказать», как это стали читать в
латинском переводе (quod erat demonsrandum)» [123, с. 45]. Эта
очевидность уже присутствует имплицитно в проблемной ситуации, – но чтобы ее раскрыть и сделать видимой, необходимо определенное действие, которое и есть составление геометрического чертежа-построения: «Фигуры также раскрываются действием
(energeia), их раскрывают рассекая. Если бы уже рассекли, фигуры были бы ясными, однако пока [не рассекли] это остается в
возможности. Почему сумма углов треугольника равна двум
прямым? Потому что углы вокруг одной точки [вместе] равны
двум прямым. Если вдоль стороны проведена линия, это сразу
ясно видно» [92, с. 259].
Различие между задачами на построении и задачами на доказательство проводилось уже у Евклида – как различие между
проблемами и теоремами. Если при помощи разрешения проблем
обосновывается утверждение, что данный объект имеет именно
эти свойства (т.е. дается ответ на вопросы семантического плана),
то посредством доказательства теоремы обосновывается само
существование объекта (т.е. разрешаются вопросы онтологического порядка). В определенном смысле решение «проблемы»
аналогично доказательству «теоремы» – так как построить фигуру означает доказать, что она существует. Однако, строго говоря,
геометрическое построение есть только фактическая иллюстрация возможности существования данной фигуры; кроме того, поскольку построенная геометрическая фигура всегда конкретна,
она не может выступить обоснованием истинности того общего
утверждения, с которым имеет дело теорема. Вообще, проблемы
и теоремы у Евклида различаются следующим образом [123,
132
с. 20, 21]. В случае проблемы заключение не идентично исходному предложению:
1) в формулировке задачи требуется нечто построить, а в за-
ключении констатируется, что фигура действительно построена;
2) в исходной задаче требуется построить любую фигуру из
определенного класса (например, какую-нибудь окружность), а в
заключении мы имеем дело с определенной фигурой (окружность
с конкретным радиусом);
3)
заключение проблемы касается индивидуального объекта,
а в теоремах мы имеем дело с классами объектов.
Однако и в заключении теоремы мы не имеем простого повторения исходного предложения (которое необходимо было доказать): «Хотя проблемы, на первый взгляд, дают больше нового,
чем теоремы – поскольку в проблемах строятся новые фигуры, а
в теоремах только выясняются новые свойства уже известных
фигур – новизна открываемого в теоремах радикальнее именно
потому, что здесь новое не добавляется к старому, а скорее, переобосновывает старое» [123, с. 21]. Дело в том, что благодаря произведенному доказательству мы не просто выявляем новые свойства уже известных фигур, но именно найденные свойства можем
теперь положить в качестве определения исходной фигуры. Например, доказав теорему о равнобедренном треугольнике (о том,
что он имеет два равных угла в основании), мы можем теперь его
переформулировать как «треугольник, имеющий два равных угла».
Но первоначальное предложение теоремы и доказанное утверждение различны не только в этом отношении. Изменения
происходят и «на стороне индивида»: в начале он сомневается в
истинности теоремы (а иначе зачем было бы ее доказывать?), а в
конце он убежден в ее истинности (т.е. он не просто предполага-
ет, что она верна, но и знает это). Таким образом, этапы доказательства есть своего рода репрезентация также и этапов на пути
становления личности к тому состоянию, в котором истинность
теоремы оказывается для нее очевидной. Доказательство и есть
способ приведения к этой очевидности. «Успех метода построения и последующего доказательства теоремы гарантирован вовсе
133
не в том отношении, что всякий без труда может проделать все
необходимые выкладки и получить нужный результат» [123,
с. 26]. Дело в том, что для полного восстановления всей познавательной ситуации необходимо также и воспроизводство состояния понимания как живого состояния. «Для того чтобы метод
имел эффект, необходимо не только пройти весь путь от первого
до последнего шага, но и вернуться назад, убедиться, что построено то, что должно быть построено. А для этого, как мы
подробно показывали выше, нужна не просто деятельность индивида, но его столкновение с другими индивидами, его переопределение, перерождение, смерть и новое рождение» [123, с. 27].
Реальное событие понимания всегда имеет вполне определенный и в принципе наблюдаемый эффект. В вышеуказанных
ситуациях относительно понимания существа доказательства неидентичность различных повторений одной и той же теоремы
оказывается существенной для содержания самих проводимых
доказательств. Но и механическое воспроизводство даже простейших теорем на уровне простого запоминания тоже имеет эффект – например, при учете более широкого контекста: в применении к другим задачам (где на одной памяти уже не выедешь)
или при разборе этой же теоремы по существу (всегда можно
убедиться, понял ли человек теорему или нет, задавая соответствующие вопросы, относящиеся к обоснованию истинности
теоремы, поскольку постижение истинности математического
утверждения не сводится к осуществлению формально правиль-
ного доказательства). Таким образом, при каждом осуществленном доказательстве мы имеем повтор смысла и новое событие
понимания. Первому соответствует образ движения по кругу
(«повтор одного и того же общего закона в предложении и заключении теоремы» [123, с. 27], второму – образ движения по радиусу от центра к периферии. «Собственный индивидуальный
рост проблематичен; событие в индивидуальном аспекте это «выход из себя» (ср. греч. προβάλλω)… Общее как движение по кругу
тождественного, с другой стороны, отличает теорию. Получается, что не только геометрические фигуры, но и сама теория стро-
134
ится «циркулем и линейкой» – линейным трансцендирующим
ростом индивида и круговым движением закона» [123, с. 27, 28].
Не всякая проблема может быть решена посредством «циркуля и линейки» – например, это проблема трисекции угла – разделения угла на три равные части. Соответственно, в приложении
к философским проблемам это означает, что не всякая проблема
может быть решена посредством определяющих суждений (посредством которых частное подводится под общее) и рефлектирующих суждений (посредством которых открывается сам общий
принцип или закон)17. А это значит, что мы должны предположить единый исток как свободы индивида, так и необходимости
природного закона. Этот непостижимый единый исток свободы
и необходимости у Декарта и есть Бог: Бог создал мир свободно,
но, создав его, он создал и законы этого мира, и теперь изменить
мир он уже не может; как сказано в Библии, Бог сначала сделал
мир, а потом увидел, что «сие хорошо весьма».
«Впрочем, вопрос о том, существуют ли в принципе альтернативы «циркулю и линейке» в мышлении, остается открытым. С
одной стороны, можно указать на тот факт, что математика в новое время разработала множество методов, не сводимых к античному методу циркуля и линейки. В этом отношении новая математика, кажется, нашла такие альтернативы. С другой стороны,
можно говорить о том, что новая математика по сравнению с античной просто предпочла линейку циркулю, поскольку само понятие общего метода – фундаментальное понятие математики нового времени – это уже не «круговой», а «линейный» закон, закон
движения, разлагающий всякое движение на бесконечно малые
прямолинейные движения. Конечно, при ближайшем рассмотрении мы и в структуре метода обнаруживаем круг, поскольку как и
всякий общий закон, метод воспроизводится в своих индивидуальных реализациях, однако этот круг остается скрытым, поскольку метод заранее ориентирован на линейное движение индивидов. В этом отношении можно сказать, что новое время
17
Различие определяющих и рефлектирующих суждений введено
И. Кантом во введении к «Критике способности суждения».
135
только акцентировало один из моментов античной теории и, таким образом, сузило границы теоретического мышления. Скорее
всего, однако, мы еще просто по-настоящему не поняли революционных идей новой математики и по инерции мышления перекраиваем их всякий раз на евклидовский лад. Чтобы сделать действительно новый шаг в нашем мышлении, нужно, очевидно,
вернуться уже не к Евклиду и Проклу, а дальше – к истокам самой математики» [123, с. 28, 29]. Эти истоки, как уже было сказано выше, связаны с религиозными представлениями, и именно
благодаря введению божественных логосов мы можем понять,
как математика, с одной стороны, возможна как духовноличностная деятельность, а с другой – как предельно рационализированная система формальных конструкций.
3.4. Математический анализ и его логические истоки
В классических теоремах существования (например, в теореме Коши о существовании предела или в теоремах о признаках
сходимости, или в теореме о неподвижной точке Брауэра) утверждается только, что данный объект существует и что из факта его
существования еще не следует, какой он именно. Однако, исходя
из обозначенной выше онтологической позиции, сама уверенность в существовании объекта имеет истоком получение к нему
доступа. Таким образом, конечная процедура определения конкретного вида объекта в доказательстве любой теоремы существования уже содержится в предметном, хотя и в свернутом, имплицитном виде, и проблема лишь в том, чтобы эксплицировать
соответствующее содержание, в исходном доказательстве присутствующее. Можно было бы сказать, что доказательство теоремы существования – это только первый шаг к интересующему
нас объекту, и второй шаг требует нового творческого акта, не
вытекающего из предыдущего, но все дело в том, что мы не
смогли бы сделать даже первого шага, если бы наша уверенность
в существовании объекта не базировалась на осуществлении некоторого опыта доступа к нему самому. Таким образом, интуиционизм в своем конструктивистском требовании необходимости
136
предъявления конкретной процедуры построения объекта лишь
выявляет истоки классической математики, а вовсе не вступает с
ней в противоречие. При этом сами теоремы существования просто оказываются излишними, они оказываются лишь следствием
соответствующей конструктивной процедуры (поскольку ясно,
что если объект уже построен, то из действительности его существования его возможность следует автоматически).
Невозможность непосредственно вывести из теоремы существования объекта то, какой он именно, связана с тем, что первоначально на решение задачи налагаются только самые общие условия: сначала мы допускаем элемент незнаемого – как условие
возможности нового знания, потом определяем, что нечто дейст-
вительно существует (но, возможно, случайным образом), а затем
–
что оно должно существовать в силу некоторой необходимо-
сти. Проблема здесь в определении того, как именно следует
сужать область поиска возможных решений. Исходя из указанного выше принципа предметной репрезентации истока бытия данного объекта, можно утверждать, что новое, более радикальное
ограничение имплицитно содержится в ограничении предшествующем, так что мы фактически имеем некоторую последовательность ограничений, приводящих нас в конце концов к искомому объекту. Ж. Делёз указывает, что в математике в реализации именно в этом идейном направлении состоял переворот,
произведенный Абелем и Галуа: «можно вспомнить круг, в котором бьется теория задач: задача решаема только в той мере, в которой она "верна", но у нас всегда есть тенденция определять
верность задачи ее решаемостью. Вместо того чтобы основывать
внешний критерий решаемости на внутреннем характере задачи
(Идеи), мы ставим внутренний характер в зависимость от простого внешнего критерия. Но если этот круг и был разорван, то прежде всего математиком Абелем; он вырабатывает метод, согласно
которому решаемость должна вытекать из формы задачи. Вместо
того чтобы наугад искать, решаемо ли уравнение вообще, следует
определить условия задачи, постепенно специфицирующие поля
решаемости таким образом, что "условие задачи содержит зародыш решения". В этом состоит радикальный переворот в отно-
137
шениях решение–задача, революция более значительная, чем коперниковская. Можно сказать, что таким образом Абель открывал новую Критику чистого разума, которая превосходила именно кантовское внешнее определение (extrinsecisme). To же суждение подтверждается применительно к трудам Галуа: исходя из
основного "тела" (R), последовательные присоединения к этому
телу (R', R", R'''...) позволяют все более и более точно различить
корни уравнения путем возрастающего ограничения возможных
подстановок. Таким образом, существует целый каскад "частичных резольвент" или пересечение "групп", благодаря которым
решение вытекает из самих условий задачи: например, если уравнение нерешаемо алгебраически, это открывается теперь не в результате эмпирического поиска или наугад, а исходя из признаков групп или частичных резольвент, образующих синтез задачи
и ее условий (уравнение решаемо алгебраически, т.е. посредством корней, только в том случае, когда частичные резольвенты
являются биномными уравнениями, а индикаторы групп – простыми числами)» [124, с. 223].
Рассмотрим пример математической рационализации как
конкретизации на примере математического анализа. Собственно,
последний и возник как способ исследования процессов. Но тогда
можно применить его закономерности и для исследования процессов самого мышления. Известный вариант рассмотрения
дифференциального исчисления с позиций законов диалектики
мы имеем у Г. Гегеля. По Гегелю идея бесконечно малой, например, есть пример использования диалектического мышления –
когда мы берем вещь в становлении, в процессе, и в то же время
до завершения этого процесса, иначе в этом случае мы имели бы
уже другую вещь, в которую в процессе становления переходит
первая. Однако математический анализ – не просто приложение
законов диалектики, а есть их продолжение и развитие. Получается, что процесс мышления как движения понятий можно смоделировать с помощью операций дифференциального и интегрального исчисления.
Например, русский ученый начала XX века А.Н. Щукарев
осуществляет моделирование логики с помощью матанализа сле-
138
дующим образом: «представим себе вообще два понятия. Оче-
x
∆
0
видно, что связь между ними может начинаться с самого слабого,
так сказать, соприкосновения их и кончаться полным слиянием,
полным отождествлением их друг другу. Между этими двумя
границами лежат все градации зависимости между ними, начиная
«
соподчинением» и кончая «равенством». Мы едва ли ошибемся
поэтому, если предложим в качестве наилучшего символа для логического суждения столь выработанный в математике и столь
общий закон функциональной зависимости: А = f(B)» [125, с. 56].
Тогда отрицательное суждение можно представить в виде А =
f(x – B),
умозаключение – как решение уравнения а = f(x). Что тогда представляет собой дифференцирование функции-суждения?
Возьмем следующую функцию: все растения (y) представляются
под микроскопом (=f) состоящими из клеток (x). Тогда y1 – некоторое растение, y2 – другое растение, x1 – состоящее из некоторых
клеток, x2 – состоящее из некоторых других клеток. И тогда про-
изводная
′
y
=
x
lim
x
→∆ 0
y
будет означать предел «отношения жиз-
∆
неразностей», т.е. предел отношения целого к своим частям, который, хотя при этом и исчезает жизнь, их образующая (в силу
получившейся неопределенности
0
), сам вовсе не является ну-
лем. Исходная причина этому – в наличии внутренних связей между элементами реальности: «Таким образом, не universalia, а
differentialia sunt realia. Существование постоянных функциональных связей в области сознания ведет неизбежно к признанию
этих differentialia, хотя, благодаря чисто качественному характеру
логических связей, мы и не можем иметь этих differentialia, этой
логической производной, в определенном виде. Это, однако, не
мешает нисколько ей быть, т.е. не равняться нулю, ибо приравнивание ее нулю равноценно отрицанию всякой зависимости между
двумя переменными» [125, с. 69]. В неопределенности нуль играет значение не нулевой величины, т.е. понимается не статически, а динамически – как предел изменения некоторой величины,
как завершение процесса изменения.
139
Другой, более глубокий и разработанный вариант применения матанализа в логике можно увидеть у нашего замечательного
философа А.Ф. Лосева. По Лосеву, дифференцирование как нахождение производной есть логическая операция нахождения основания деления данного общего родового понятия на отдельные
его виды. И если в логике, как отмечает Лосев, просто постулируется, что из общего рода следуют отдельные его виды, то в математическом анализе показан реальный процесс мышления, посредством которого это оказывается возможным. «Это – только
темная и узколобая аберрация мысли думать, что из понятия вещи можно дедуцировать его виды. Из понятия дома как именно
понятия совершенно невозможно дедуцировать ни понятия дворца, ни понятия лачуги, ни понятия храма, ни понятия конюшни.
Если мы такую дедукцию производим, то только путем сопоставления данного понятия вещи с самой вещью, вернее, с изменением вещи, так что при этом наше понятие и оказывается охватывающим много разных видов данной вещи, т.е. попросту, делится
на разные видовые понятия. И вот эту-то ценнейшую мысль для
всякого реалистического понимания логики и выражает инфинитезимальное понимание "основания деления", т.е. понимание его
как производной. "Основание деления" данного общего понятия
действительно дедуцируется, выводится из самого понятия, есть
его производная функция, но только так, что эта дедукция есть
только сопоставление с соответствующей вещью как с независимым переменным, и только так, что это "основание целения" есть
предел и принцип, закон для бесконечного числа непрерывно изливающихся друг в друга видовых понятий данного общего понятия» [52, с. 655, 656]. Соответственно «дифференциал – это
каждый отдельный признак понятия» [52, с. 710]. Интеграл же
показывает, как из отдельных признаков собирается цельное понятие вещи, т.е. представляет собой определение понятия: «…это
уже не родовое понятие как предел обобщения видов, но понятие
как предел суммы его признаков. Признаки понятия с этой точки
зрения должны мыслиться наподобие тех "элементарных прямоугольников", их которых математики конструируют площадь
криволинейной трапеции: признаки эти должны постепенно су-
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]