Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Философские проблемы математики. Учебное пособие
.pdf
ется: это проблема происхождения порядка из хаоса, в данном
конкретном случае – проблема организации неупорядоченной
психической матери, хаоса наших психических состояний в
структуру сознания. Позиция Аристотеля, использующего «энтелехию» как соединительное звено между возможным и действительным, упирается в понятие энергии, которая у Аристотеля сама действует, т.е. является самоосновной. Так как это просто постулируется, то откуда же происходит она сама, остается тайной.
Количественная точка зрения у схоластиков имеет своеобразие и отличается от современного количественного понимания
числа: число рассматривается как нечто целое, разделяемое на
отдельные составляющие его единицы, в современном же понимании число представляется как целое, составленное из этих единиц. Порядковая же точка зрения предполагает, что число есть
последний пункт последовательного перечисления, тот конечный
этап, которым завершается операция прохождения чисел друг за
другом. «Согласно томистическому воззрению, геометрические
объекты определяются по характеру связей между частями. Линия – не длина без ширины и глубины, как этого желает Евклид, а
количество, распространенное в длину, части которого связуются
обеими точками. Фомой смутно сознается, что в линии более существенным, чем ее длина, являются те свойства, которые определяются аксиомами порядка, относящимися к ее точкам» [98,
с. 282]. Как пишет Фома Аквинский, «идея количества подразумевает порядок частей» [99, p. 110]. По А.Ф. Лосеву, в какой-то
степени возрождающему средневековое понимание числа, «количество обладает вторичным характером в сравнении с числом.
Когда мы говорим о количестве, то всегда имеем в виду количество чего-нибудь, в то время как число мыслится как таковое без
всяких дальнейших добавлений» [52, с. 53].
Соответственно, с точки зрения количественной, когда порядковые числа рассматриваются как тот тип количества, в котором устанавливается определенный порядок следования отдельных единиц, составляющих в совокупности данное количество,
должны существовать и количества, к которым неприменима
идея порядка, а именно, числа трансфинитные, или бесконечные.
101
Если к идее актуально бесконечно больших приводит количественное понимание числа, то к идее актуально бесконечно малых –
порядковая точка зрения: «Сущность количества, по
Ф. Аквинскому, состоит в распространении частей в порядке
друг относительно друга. Порядок частей характеризует количество. Это первое, что воспринимается в количестве, корень всех
его свойств. Отсюда вытекает и его делимость, и его протяжимость, и проницаемость, благодаря чему оно способно быть изменено. Говоря современным языком, Фома стоит за приоритет
ординального, а не кардинального числа. Отсюда в дальнейшем
должен быть сделан вывод о существовании неделимых количеств, ибо делимость вовсе не первичное, а только вторичное
производное свойство количества. Идею актуально бесконечно
малого как неделимости, идею Кеплера и Кавальери порождает
направление именно Фомы, а не Скотта» [98, с. 282].
Но, поскольку и первый тип числа, и второй есть лишь разные способы представления идеи бесконечности как таковой, –
которые у Кузанского вообще совпадают, – то отсюда следует,
что количественное понимание числа как некоторого бесструктурного множества имплицитно предполагает вполне определенный порядок расположения его частей, и, с другой стороны, – что
установленный порядок числовой последовательности имплицирует связность элементов данной последовательности, в силу которой она получает то единство, которое и позволяет ей выступить способом измерения количества (когда последнее число выступает в то же самое время и характеристикой собрания единиц). Все же два эти способа представления бесконечности неравноправны: актуально бесконечно малые выражают ее внутреннюю интенсивность и энергию, в то время как актуально бесконечно большие числа есть экстенсивное разворачивание божественной мощи во внешнюю бесконечность – например, в форме
бесконечности пространства Вселенной. Как отмечает А. Ахутин,
именно в этом заключалось преобразование представлений о
природе, произошедшее в процессе рождения современной науки: «Апофатически рефлектируя Единое как бесконечную творческую мощь, как чистую возможность, превышающую всякое
102
бытие (вспомним определение Бога как "Я могу"), разум переосмысливает, перестраивает космос в другую идею порядка. Это
уже не порядок завершенного в себе строя, а ряды возможных
разверток, не "сотрудничество" множества "природ" в общем
причастии Богу, не "собор" божественной литургии, а мерная
развертка единой, внутренне бесконечной природы во внешней
последовательности и рядоположенности…» [100, с. 390].
Кроме того, очевидно, что число не есть просто «куча» единиц, и имеет особое качество целостности, в силу чего данное
число отличается от всех прочих, иначе мы вообще не имели бы
права связывать с данным собранием единиц определенное число. Таким образом, для числа, с количественной точки зрения
рассматриваемого как совокупность единиц, необходимо дополнительно задать условие связности, которое определяет отношение этих единиц к данному числу как целому и этим уже устанавливает некоторый порядок, правило соразмерности отдельных
единиц по отношению к данному числу. И потому дополнительное условие упорядоченности, налагаемое на простую совокупность единиц, в действительности есть не выделение частной видовой области в совокупности чисел, но условие, только благодаря которому и оказывается возможным представить число в виде
такой совокупности. Иначе мы не могли бы употреблять такие
выражения, как, например, «два», но лишь только «один и еще
один». Поэтому следует говорить не то, что количественное понимание числа сменилось порядковым, но лишь то, что одно порядковое понимание числа (когда отдельная единица рассматривалась лишь соотносительно с исходным целым, от которого она
оказалась мысленно отвлечена, т.е. в номиналистическом смысле) сменилось другим порядковым (когда число представляется
как составленное из независимых, самостоятельных и изолированных от целого единиц). Собственно же порядковое понимание
числа есть установление не просто отношения отдельных единиц
к данному числу как целостному образованию, но и последовательности всех чисел, включенных в данную целостность. Например, в теории порядкового числа, построенной П. Бернайсом,
«
каждый член порядкового числа есть порядковое число, и каж-
103
дое порядковое число представляет класс всех предшествующих
порядковых чисел» [101, с. 149].
Первичное понимание числа – порядковое, а вовсе не количественное: число фиксировало определенный этап становления
личностного бытия. И даже появившееся количественное значение было призвано выразить прежде всего не обладание определенным множеством вещей (хотя бы и не фактически, а лишь путем схватывания их в мысли), а полноту и богатство осуществленного опыта. Если, например, сравнить следующие выражения:
«прошел пятый уровень» и «прошел (все) пять уровней», то ведь
первый оказался успешным, может быть, в результате какогонибудь жульничества, а потому утверждаемая им истина – легковесна; что же касается второго, то в своем переходе от низшего к
высшему им ничего не было пропущено. Так что переход на каждый новый этап был подготовлен всем предшествующим развитием (хотя и не вытекает из него как уже достигнутого).
Числа как прообраз божественных логосов даны, и в то же
время активны, т.е. представляют структуру совершенного действия, действия по образцу божественных актов, а не структуру
действительности. Число по своему сущностному значению есть
выражение духовной активности: «Число есть определенная
форма, или тип, чистого смыслового полагания, форма смысловой положенности» [52, с. 52]. Как отмечает В.Н. Топоров, прагматически-хозяйственное значение математика приобрела позже,
первоначально у нее было другое значение – средства воспроизводства структуры космоса в человеческой деятельности и этим
вписывание ее в эту структуру, неестественную с точки зрения
эмпирически наблюдающегося порядка явлений и вещей: «Изложенные выше соображения относительно роли чисел и операций
над ними в архаичных культурных традициях заставляют думать,
что некогда Число и Счет были сакрализованными средствами
ориентации и «космизации» Вселенной. С их помощью всякий
раз, когда это было нужно, репродуцировалась структура Космоса и место человека в ней. Появление счетно-хозяйственных текстов относится к типологически более поздней стадии, когда чле-
104
ны числового ряда утратили свои прежние функции, а сам числовой ряд стал гомогенным» [46, с. 150].
Число в этом понимании не отделялось еще от слова, – которое, так же как и первое, было призвано выразить божественные
логосы. Афанасий Великий, указывая на божественный исток и
смысл человеческого языка как способа постижения Бога, пишет:
Благій не оставилъ людей лишенными вѣдѣнія о Немъ, чтобы и
«
самое бытіе не сдѣлалось для нихъ безполезнымъ. Ибо какая
польза быть сотворенными и не знать Творца своего? Или какъ
люди могли быть словесными, не зная Отчаго Слова, Которымъ
сотворены? Ничѣмъ не отличались бы они отъ безслоЬесныхъ,
если бы ничего не познавали, кромѣ земнаго» [102, с. 204].
В самом деле, все эволюционные теории происхождения
языка страдают одним принципиальным недостатком – они не
решают проблемы происхождения радикально нового (языка, в
данном случае), т.е. такого новообразования, существование которого предполагает преодоление оснований существования старого (в нашем случае – природного бытия), и лишь описывают
отдельные, частные аспекты процесса, имеющего исток вне самого его протекания. Как пишет С. Булгаков, «для одних он развился из звериных криков, для других – из звукоподражаний, но во
всяком случае слово здесь производится из того, что само по себе
не есть или еще не есть слово. При этом главный, центральный и
единственный вопрос – как возникает слово из не-слова или, что
то же, как появляется первое слово в своеобразии своем – здесь
не отвечается, но обходится ссылкой на постепенность перехода,
как будто можно построить будущий эволюционный пост над
пропастью» [103, с. 50]. Язык есть способность, конституирующая человека в качестве человека, и тайна происхождения языка
неотрывна от тайны человеческого происхождения. В этом смысле язык онтологически преддан человеку, и все научные теории
появления языка уже опираются на язык самих вещей, который
направляет человека в процессе развития и совершенствования
этого первичного языка. Но для этого за природными вещами
уже должны присутствовать смыслы-логосы, обладающие активностью, направленной на человека и обращенной к его собствен-
105
ному существу. Возможность такого внутреннего общения с вещью уже предполагает единство истока происхождения человека
и Вселенной: другими словами, существо человека также определяется неким смыслом-логосом, отзывающимся на обращенный к
нам зов вещей благодаря единству происхождения логоса человека и логосов вещей. Действие этих логосов и состоит в божественном попечении о мире и человеке: хотя прямо и непосредственно человек воспринимает Бога только иногда, в особых событиях – таинствах (молитве, причастии и др.), Бог в действительности постоянно обращается к человеку также через посредство
вещей этого мира, в виде действия своих божественных энергийлогосов. С этих позиций, собственно, сам мир имеет прежде всего предназначение служить средством возвещения обращенного к
человеку божьего слова-откровения. Именно это представление
усматривает А. Бергсон в той первичной интуиции, которая владела Д. Беркли: «материя – это язык, на котором с нами разговаривает Бог» [76, с. 211]. В этом смысле, как подчеркивает
С. Булгаков, «cловам учит человека не антропоморфизированный
Бог, но Богом созданный мир, онтологическим центром которого
является человек, к нему протянуты и в нем звучат струны всего
мироздания» [103, с. 49].
С самого начала происхождения человека Бог, присутствуя в
мире в виде своих логосов, являл себя через сущие вещи тварного
мира, созданные Его волей и промышлением. Результатом первородного греха явилось то, что люди перестали видеть логосы
вещей как выражение божественной воли, явленное посредством
этих вещей. Однако, поскольку Бог не лишал мир своего попечения, отдельные люди – пророки и святые – продолжали иметь это
видение: пророки, обращая человека к вышнему миру, через непосредственное созерцание его сверхчувственного характера и
уразумение присутствия закономерного порядка во Вселенной,
направляли человека к его божественному истоку: «взирая на
величіе неба и рассматривая стройность творенія, можно было
людямъ познавать и Вождя твари – Отчее Слово, Которое Своимъ о всемъ промышленіемъ всѣмъ даетъ познавать и Отца, и для
106
того приводитъ вселенную въ движеніе, чтобъ всѣ чрезъ Него познавали Бога» [102, с. 206].
Этого, однако, оказалось недостаточно: по причине человеческой немощи и прельщения сиюминутными удовольствиями
люди обратились к греху и отвратились от Бога. Это и послужило мотивом для воплощения Христа, как пишет св. Афанасий Великий: «желая оказать людямъ вѣрную помощь, Слово Божіе
приходитъ какъ человѣкъ, пріемля на Себя тѣло подобное тѣламъ
человѣческимъ, и помогаетъ дольнимъ, то есть, тѣлесными своими дѣлами, чтобы тѣ, которые не восхотѣли познать Его изъ
промышленія Его о вселенной и изъ управленія ею, хотя изъ
тѣлесныхъ Его дѣлъ познали Божіе во плоти Слово, а чрезъ него
и Отца» [102, с. 209].
Через явленные дела господни и то, что Он сам передал людям в виде Священного Писания, и тварный мир обрел былую
осмысленность и бытийную полноту. «В отношении присутствия
Логоса во всех вещах, держащих логосы этих вещей вместе, мироздание оплодотворено божественной реальностью, и вéдение
ее – через разум людей, т.е. их собственный логос, – само по себе
есть вид богообщения, участия в божественных вещах через узнавание цели и назначения тварного» [104, p. 127].
Первичный язык – это язык личных имен. Изначально цель
языка вовсе не заключалась в том, чтобы обозначать вещи – ибо
само по себе действие по обращению с вещами еще не делает его
специфически человеческим действием, т.е. поступком. Языковое
выражение должно быть обращено ко мне лично, призывать меня
по имени, тогда только может быть вызвана к жизни моя глубинная духовная суть. Но обращение по имени – не есть нейтральное
предложение повествовательно-описательного типа, это призыв и
повеление. Христианский мыслитель О. Розеншток-Хюсси пишет:
«
чудо языка не может заключаться в повествовательных предложениях. Ибо с их помощью сдвигаются с места и называются
только вещи. Я должен отыскать такие предложения, которые меня потрясают и поражают, лишают покоя и ободряют. Это именно
те предложения, в которых действие настойчиво требует от меня,
чтобы я захотел стать призванным исполнителем данного дейст-
107
вия» [105, с. 111]. Изначально специализированным способом
воздействия на человеческую душу была поэзия. Число, так же
как и поэтическое произведение, было призвано воздействовать
на человеческую личность, поскольку было укоренено в божественных логосах, имеющих значение выражения действия Бога
как личности, выступало одной из возможных форм, в которой
могла осуществляться синергия человека и Бога. Как написал поэт Э. Паунд, «poetry is a sort of inspired mathematics» [46, с. 151].
Сама идея математической структуры как принципиально
безличностной является в этом смысле ошибочным пониманием
ее существа: «Не человек-личность сводится к структуре, а
структура-форма сходится на личности как феноменальной форме полного рефлексивного типа» [106, с. 103]. Число в своем истинном бытии есть живое и активно действующее целое: «замкнутая совокупность раздельных единиц, являющаяся данным
числом, есть только скелет числа, смысловой контур числа. Число есть конкретная индивидуальность актов полагания, в то время как самые акты, в их становлении и в их ставшести, есть только субстанция, голая и бездушная телесность числа, материальная сделанность числа, а не его живой лик и не его живые и жизненные функции» [52, с. 70]. В этом понимании математика и поэзия смыкались в единое целое, которое было разделено только с
появлением автономной и самодостаточной сферы теоретического разума: «Дискуссии о соотношении Числа и Слова, математики и поэзии – также удел более позднего времени» [46, с. 150].
3.2. Проблема континуума
Существует мнение, что континуум представляет собой непрерывное множество точек, которое изоморфно множеству действительных чисел. Однако, как отмечает математик Н. Лузин, в
истории математики большинство ученых придерживалось противоположной точки зрения: «Из всех тезисов Брауэра и Вейля
самым интересным является утверждение, что континуум не есть
множество точек. Эта идея в истории мысли не представляет первой новизны, она восходит еще к Аквинату, дабы не цитировать
108
древних. Притом до появления работы Кантора, с которого начинается перевод всех основных понятий математики на язык множеств, большинство математиков, чтобы не сказать все, именно и
мыслили континуум как чистую бесточечную протяженность»
[107, с. 32]. В самом деле, идея, что континуум не состоит из точек, больше отвечает нашей интуиции непрерывности как основного определяющего свойства континуума: при бесконечном
уменьшении отрезка мы получаем лишь некоторый актуально
данный бесконечно малый отрезок минимальной длины – минимальность которого задается тем условием, что при любом конечном его увеличении он выглядит как точка, неотличим от нее
в любых производимых с ним операциях, соотносящих этот минимальный отрезок (как своего рода квант длины) с целым отрезком13. По Лейбницу, «точка не есть то, что не имеет частей» [108,
s. 68]. Иначе было бы непонятно, каким образом достигается
свойство связности, сцепленности отдельных частей континуума
между собой. А значит, в каком-то смысле точки соединяются
при помощи каких-то своих частей – ибо, в противном случае,
они вообще не могли бы даже соприкасаться, как показал еще
Демокрит: если есть атомы, то есть и пустота, поскольку они не
могут соприкасаться, раз у атомов как неделимых нет частей:
«хотя точки не разделяются на части, расположенные одна вне
другой, однако они делимы на части, взаимно проникающие друг
в друга» [109, с. 74]. По Аристотелю, и Платон, как ученик Демокрита, «началом линии часто называл неделимые линии» [92].
Как указывает Ф. Аквинский, если бы континуум состоял из
точек, то мы не могли бы из них континуум собрать, следуя в
этом Платону, полагавшему интуицию целого первичной по отношению к идее составляющих это целое частей: «Никогда деле-
13
Представлением бесконечно малой a как определенного числа, а не
как последовательности может выступить следующая модель: a =
а – т.е. когда после бесконечного числа нулей следует замыкаю-
0,(0)
∞
щее эту бесконечность определенное число а. Оно меньше любого наперед заданного числа и в то же время не 0, так как 0,(0)
109
а > 0,(0)∞.
∞
ние не приводит в конце концов к остатку, который неделим. Если ряд завершился на точечной величине, которая уже не может
быть далее разделена, первоначальная линия никогда, возможно,
не существовала; как точки не могут образовать линии, а линии
не могут быть добавлены сбоку, чтобы образовать плоскость, так
же не могут поверхности, сложенные поверх друг друга, привести к третьему измерению. Точка, например, не может ее левой
стороной касаться какой-то другой точки с ее правой стороны
так, чтобы они вместе стали иметь большую толщину, чем первоначальная точка. Точки не имеют никакого справа или слева,
снизу, спереди или сзади. Они неделимы, у них просто нет никаких частей вообще, и, соприкоснувшись друг с другом, они всегда совпадали бы» [110, с. 50, 51]. По этой же причине мы не можем говорить о качественном изменении величины, равной нулю,
поскольку ноль величины означает также и отсутствие какойлибо формы вообще: «Томисты отказываются мыслить первое
изменение с нуля. Прежде, чем начать изменяться, форма должна
создаться, явиться. Это первый момент. Когда же начинается интензирование? Только в последний. Но тогда между моментом
создания и этим протекает время, когда форма остается неизменной. Обратное изменение, ремизия формы, должно прекратиться,
не дойдя до нуля. Здесь открывается два пути – к актуально бесконечно малому, к представлению о зернистом строении континуума и к идее асимптотического приближения» [98, с. 341, 342].
Таким образом, актуально бесконечно малая – это минимальная
качественная целостность в континууме, которая в качестве целого конституирована не с момента начала своего генезиса, а с момента завершения данного процесса.
Если понимать любую линию (в том числе и отрезок) как репрезентацию жизненного пути человека, то этот бесконечно малый отрезок есть минимальное движение как человеческое действие, из связной совокупности которых слагается отрезок как некоторый целостный поступок. Средневековые авторы (Г. Одонис,
Н. Бонет, и др.), рассматривающие поступок в более абстрактном
смысле, как движение, утверждали, что «движение состоит из неделимых "кинем", или атомов движения» [109, с. 71]. Поэтому
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]