Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Философские проблемы математики. Учебное пособие
.pdf
жаться, а число их постепенно расти, и когда каждый из них станет бесконечно малым, а общее число их станет бесконечно
большим, тогда, суммируя их, мы и переходим к пределу, который есть искомый нами интеграл, т.е. понятие как предел суммы
признаков, как предельная совокупность признаков» [52, с. 709].
При этом осуществляется выявление самого процесса собирания
этих признаков: «Интеграл количественно ничем не отличается
от любой величины. Всякая величина может быть интегралом.
Однако если употребляется такой термин, то, конечно, не для того, чтобы еще другим словом назвать то, что обычно называется
величиной. Название "интеграл" указывает на происхождение величины, а не просто на самую величину в ее чисто количественном смысле. В понятии интеграла также мыслится процесс, и
притом бесконечный процесс, как и в понятии производной» [52,
с. 776].
Каков философский смысл теорем о среднем (например, теоремы Ролля) и, аналогично этому, формул остаточного члена в
разложении функции в ряд Тейлора? Здесь мы в дифференциальной или интегральной форме сталкиваемся с одной и той же закономерностью, а именно: хотя значение функции выражается
точно в том случае, если мы возьмем всю бесконечную последовательность членов соответствующего разложения (в виде суммы
членов любого порядка малости), всегда есть способ «свернуть»
данную бесконечную сумму в конечную. Таким образом, этого
рода формулы позволяют формализовать наше незнание посредством придания неизвестному точной формы. Вычисление суммы бесконечного количества чисел трансформируется в определение одного числа, но зато неизвестным остается способ определения соответствующей точки ξ. Последнее означает, что в
процессе познания истины продуктивнее не пытаться сделать как
можно больше ходов мысли, хотя, возможно, и не строгих (т.е.
погрешить против истины), но зато удерживать в сознании четкую границу между известным и неизвестным. Лучше мыслить
строго, но неточно, чем точно, но не строго. Мы немногого достигаем, если каждый свой шаг опираем на шаткие основания.
Пусть концепция не будет разработанной в деталях, но зато в ней
141
не будет ни одного неверного утверждения. Именно идея предела
(
и вытекающие отсюда идеи производной и интеграла) позволяет
перейти от формализации внешнего незнания о мире к формализации нашего незнания о способах постижения мира, т.е. соотнести представление о мире с представлением об онтологическом
устройстве нас самих как человеческих существ. Не случайно
Лосев пишет: «Следует заметить, что понятие ряда существенно
связано с теоремой о среднем значении: ряд и есть осуществление этой теоремы. Поэтому рассуждение о рядах должно быть
предварено изложением теорем Ролля, Лагранжа и Коши, составляющих, таким образом, тоже центральное содержание этого отдела дифференциального исчисления» [52, с. 783].
Существует следующий достаточный признак трансцендентности числа по Лиувиллю. Очевидно, что число трансцендентно,
если оно не может быть представлено в виде рациональной дроби. Если алгебраическое число x определяется неприводимым
уравнением n-й степени, то для достаточно большого q мы имеем:
x ≥−
n
q
q
,
A
p
где A > 0 и не зависит от q. Это необходимое (хотя и недостаточное) условие для того, чтобы число было алгебраическим. Отсюда можно получить условие для трансцендентности
числа, которое будет, наоборот, достаточным, но не необходимым. Если при достаточно большом q мы будем иметь
px1
<−
n
q
q
,
то x уже не сможет быть алгебраическим числом. Отсюда
получаем достаточный признак трансцендентности числа ω:
p
−
ln
ω
ln
q
q
lim
∞→
q
Как поясняет смысл этой формулы Лосев, «…в самом деле,
.
−∞=
что мы тут имеем? Мы тут имеем: 1) отношение двух целых чи-
142
p
p
q
p
q
q
сел
, т.е. некое p взято в своем соотношении со своим инобы-
тием q; 2) это q тут не остается стабильным; оно меняется, получая последовательный ряд все новых и новых значений, т.е., другими словами, раз взятое инобытие переходит в свое собственное
инобытие и изучаемое отношение становится развернутоинобытийным; 3) далее, это соотношение должно быть прибавлено к тому числу, которое претерпевает все эти соотношения. Так
оно и будет, когда мы развернем трансцендентное число в ряд.
Но тут… мы только ищем эту трансцендентную ω, уже содержащую в себе данное соотношение. И поэтому, согласно указанной
позиции, мы вычитаем это соотношение из ω и получаем
; 4) однако, чтобы определить ω согласно этой позиции,
ω −
мы должны посмотреть, каково отношение этого трансцендентного «остатка» к инобытию, которое из него эманировало. Поскольку p мы соотносили с q и поскольку q у нас менялось, мы
теперь должны сказать, что если из ω эманировала действительно бесконечность, то q должно у нас получить в конце концов
значение бесконечности; q должно стремиться к бесконечности.
Только тогда
будет на самом деле изображать собою соотне-
сенность с бесконечностью; 5) при этом мы должны оба числа
изучаемого соотношения, т.е. и трансцендентный "остаток", и
инобытийную бесконечность, представить не иначе как в атмосфере эманации. "Остаток" должен трактоваться как результат
эманации… Но проводимая здесь позиция для разыскания трансцендентного числа 6) должна привести к тому, что между этими
двумя бесконечностями, трансцендентным "остатком" и инобытийной бесконечностью, в свою очередь, должна залегать бесконечность, так что, только подвергаясь бесконечному умалению
ли росту, эти две бесконечности могут встретиться; 7) если, кроме того, инобытийная бесконечность есть отрицательная, то отношение между натуральными логарифмами трансцендентного
«
остатка» и самой инобытийной бесконечности, отношение, взя-
143
тое в пределе (поскольку инобытие только еще растет в беско-
n
нечность), это отношение и есть не что иное, как отрицательная
бесконечность. Все это с математической точностью зафиксировано в указанном выше достаточном признаке трансцендентности
по Лиувиллю» [58, с. 532, 533].
Первый замечательный предел, дающий нам трансцендентное число е, замечателен именно тем, что по своему внутреннему
смыслу является прообразом любого предела – в том же самом
смысле, в каком единица является прообразом для любого числа
натурального ряда. Изначальный смысл идеи ряда (или предела,
поскольку ряд и есть предел последовательности частичных
сумм) следующий: «Итак, мы берем сначала единицу как таковую, безотносительно к ее росту и безотносительно к ее энергийной обработке. Затем, поскольку мы задались целью взять также
и отношение этой единицы ко всякому возможному инобытию,
мы должны рассмотреть и это инобытие. Что такое инобытие?
Всякое инобытие есть прежде всего становление. Кроме того,
взятое само по себе, оно есть беспредельное становление, т.е.
становящаяся бесконечность. Нужно взять отношение единицы к
этой становящейся бесконечности, т.е. взять 1/n с условием, что n
стремится к бесконечности. Итак, прибавивши к основной единице ее отношение ко всякому возможному инобытию, мы полу-
чаем
1
. Тут перед нами субстанция, утвержденность, поло-
1+
женность вместе со всеми возможными взаимоотношениями с
окружающим ее безбрежным инобытием. Но что это такое? Есть
ли это то понимание законченного предела, о котором мы говорили выше? Нет, здесь мы получили только отношение единицы
к инобытию и механическое присоединение его к самой единице.
Тем не менее нами замыслена такая категория, чтобы единица не
только содержала в себе свое отношение к инобытию, но чтобы
она вместе с нарастанием этого отношения не оставалась одной и
той же, замерзшей и оцепеневшей субстанцией, но чтобы она
вновь и вновь воплощалась, пусть хотя бы и в идеальном воплощении – по мере роста этого взаимоотношения с инобытием.
Дуализм «вещи в себе» и «явления» будет преодолен не тогда,
144
когда «вещь в себе» останется самой по себе, не затронутой никаким явлением, а «явление» только внешне к нему присоединится. Дуализм исчезнет только тогда, и «вещь в себе» только тогда
действительно начнет излучать из себя живые бытийственные
энергии, когда она, эта «вещь в себе», будет вовлечена в процесс
реального становления, когда она вместе с нарастанием своего
взаимоотношения с инобытием (поскольку инобытие есть становление) нарастает идеально и сама, переходя в подлинно бытийственный процесс соответствующего возрастания. В каждый
новый момент нарастания своего взаимоотношения с инобытием
единица воплощается и повторяется заново вместе с тем приростом, который был до сих пор. Только при этом условии неявленная сущность и становится энергией и субстанция – эманацией.
Математически это значит, что предыдущий двучлен бесконечно
повторяет себя n раз, т.е. он должен быть возведен в n-ю степень,
при условии, что это n по-прежнему продолжает увеличиваться
до бесконечности. Это есть знаменитый предел, обозначенный в
математике как e – основание натуральных логарифмов
+
1lim
n
∞→
n
» [58, с. 535, 536]. Формула разложения е в ряд
e
=
n
1
показывает это более явно:
1 …
⋅
1
1
1
++=
1
+
⋅⋅
21
321
1
=+
∑
ne!
∞→
n
Число е замечательно тем, что оно выступает основанием натуральных логарифмов. Почему исходя из е, мы можем получить
любое натуральное число? Каким образом рациональное (и, в частности, натуральное) укореняется в иррациональном? Поскольку
степень указывает на идею органического роста, постольку исходная величина е органически растет, и растет по закону «n». А
так как n мыслится здесь становящимся, то каждый раз, т.е. для
каждого числа, мы имеем тот или иной вид е, возведенный в соответствующую степень. Таким образом, укореняя n в е, мы показываем происхождение соответствующего натурального числа.
В каждом результате творческого акта содержится также и метод
его получения (как формализация некоторой способности), хотя и
145
не всегда в явном виде. Прояснение смысла готовых результатов
как раз и связано с осознанием необходимости определенных
действий – как для их более глубокого понимания, так и для обретения способности открывать новые результаты. Таким образом, трансцендентное число не есть застывшая данность, хотя
связанное с ним становление и очерчивается вполне определенной границей. Здесь становление переходит как бы вовнутрь, задавая принципиальную недоопределенность трансцендентного
числа – именно в связи с чем мы и не можем выяснить некоторые
вопросы, относящиеся к его внутреннему составу18. При этом, хотя трансцендентных чисел бесконечно больше, чем алгебраических, все же они не исчерпывают все множество чисел иррациональных (и тем самым вместе с алгебраическими не дадут нам
континуума), поскольку число их счетно, что легко выводится из
счетности корней дифференциального уравнения с целыми коэффициентами, определяющего любое данное трансцендентное
число.
Первоначальная же разработка конкретизации наших представлений о мышлении как процессе с помощью идей математики была осуществлена еще в античности. Например, по Зенону,
нельзя делить понятие движения, ибо это ведет к логическим
противоречиям. Но он вовсе не утверждал, что движение вообще
нельзя мыслить. Движение немыслимо, если мы представляем
движение составленным из отдельных частей или кусков, т.е. если мы строим дискретную модель того, что имеет существенно
непрерывный характер. Если же мы берем движение как целостное и непрерывное образование, оно вполне мыслимо. Но что
есть движение, взятое как целое? Это есть бытие движения, которое едино и неподвижно, как и любое другое бытие. Бытие движения есть то, что делает движение движением. И оно вполне
мыслимо, как мыслимо любое бытие, в полном согласии с Парменидом. Смысл движения как движения может от нас ускольз-
18
Например, невозможно чисто аналитически, т.е. исходя только из оп-
ределения числа π, разрешить проблему, содержится ли в его десятичном разложении последовательность из 30-ти семерок.
146
нуть, если мы рассматриваем лишь отдельные его куски. Смысл
t
относится только к целому и лишь из целого может быть извлечен. Так, смысл слова не содержится в отдельных буквах и относится ко всему слову в целом. Понимание возникает только скачком. При переходе к бытию данной вещи или явления мы преодолеваем бесконечность ее описания и сразу выделяем сущностное качество, относящееся к вещи как целостной и неделимой.
Зенон, однако, вовсе не утверждает при этом, что движение
невозможно разложить на отдельные составляющие. Он лишь говорит о том, что закон и правило этого разделения мы должны
брать из самого движения, а не накладывать на него внешним образом. Дифференциальное представление движения в механике
опирается именно на эту идею Зенона. В самом деле, если мы
рассматриваем траекторию движущегося тела, то скорость дви-
→
r
жения этой точки определяется как
v
∆
=
lim
. Фактически мы
→∆→0
t
∆
здесь берем достаточно большой кусок движения и затем стягиваем его к точке. То есть, часть может быть понята только в свете
целого, и можно представить часть движения как движение, если
у нас уже задан закон движения. Зенон в действительности указывает на то, что части скрепляются в целое силами какой-то
иной природы, отличающейся от той, которая присутствует в отдельных частях. Синтез частей осуществляется в ином измерении
бытия. Другими словами, невозможно осуществить непрерывный
переход от элементов к целому. И этот факт выражается в том,
что целое обретает такие качества, которых не имеют отдельные
его элементы. Предельный переход (в частности, переход к бесконечности) как раз и выражает переход к новому качеству. А
достижение нового качества есть рождение новой целостности.
Любые схемы и модели в этом смысле есть абстракции от живого
ощущения непосредственного соприкосновения с истинной сущностью предмета.
Следует учитывать, что математические занятия для древнего грека не являлись лишь игрой ума или способом достижения
прагматических целей. Например, каков изначальный смысл теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках (если на одной из
147
двух прямых отложить последовательно несколько пропорциональных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй
прямой пропорциональные между собой отрезки)? Идея пропорции как отношение большего к меньшему выступает той структурой, которая репрезентирует отношение человека к миру, задавая одновременно условия бытия человека и условия познания
мира. Идея античной пропорции реализовалась в средневековой
философии в понятии «рацио» («средний»), причем под таким
средним понимался человек. Принцип «золотого сечения» (как
такого деления целого, при котором отношение целого к большей
части равнялось отношению большей части к меньшей), найденный еще в античности, как раз и моделировал необходимость посредника-символа между человеком и миром – как предмета, который, будучи конечным, в то же время по своему внутреннему
устройству являлся копией мироздания в целом. Такой конечный
посредник и разрешал проблему познания, а именно, как человек,
будучи лишь малой и ограниченной частью мира, оказывается
способен постигать универсальные законы, управляющие всем
миром. Сама идея дифференциального исчисления, согласно которой предел отношения изменения зависимой к независимой
переменной может быть чем-то вполне определенным, есть выявление отношения общего закона к его проявлению в отдельных
конкретных явлениях. И по этому же закону, в его внутреннем,
онтологическом смысле, осуществляется и становление человеческого бытия. Другими словами, в этом случае некоторая мыслительная математическая конструкция есть своего рода «производящая структура», которая переводит человеческую личность в
то состояние, в котором ей может открыться сам закон, который,
в силу этого, есть не только закон мира, но и закон человека.
Прообразом гносеологического отношения явления к истине и
логического отношения общего к частному как раз и оказывается
онтологическое отношение человека к истоку своего бытия.
Именно по этой причине наши представления о мире всегда содержат истину и о нашем собственном бытии в качестве людей,
148
т.е. свободных личностей: свобода и закон оказываются двумя
сторонами одной медали.
Математика в античности выступала, главным образом, в качестве средства прояснения интуитивного понимания существа
человеческой природы. Апории Зенона на чисто математическом
языке выражали на деле фундаментальные апории в основаниях
бытия человека. А именно: человек в качестве человека появляется только в результате качественного преобразования исходно
данной нам природой животной сущности. Нельзя пройти мимо
необходимости совершить усилие, только благодаря которому и
появляется само это духовное измерение, наличие которого делает человека человеком. Человек не избавлен от решения главной
своей проблемы «быть или не быть?». Он не может уйти от ее
решения, если хочет стать счастливым. Природа человека так
устроена, что любое частичное ее решение неудовлетворительно.
Когда мы пытаемся «малой кровью» достичь человеческого состояния, думая, что отдельные наши достижения и достоинства
дают право считать себя в полном смысле этого слова людьми, и
при этом уходим от тех проблем, которые действительно важны
для нас, то мы никогда не достигнем человеческого существования, лишь состояния типа «обезьяны цивилизации». Бытие человека – здесь и сейчас, как очень точно сказал Парменид. Мы не
можем отложить «на потом» решение проблемы, быть нам людьми или нет.
149
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Heidegger M. Gesamtausgabe. Bd. 41. Die frage nach dem Ding
(zu Kants Lehre von den transzendentalen Grundsätzen) /
M. Heidegger. – Tübingen, 1962.
2. Tasik V. Mathematics and the roots of postmodern thought /
V. Tasik. – New York, 2001.
3.
Лейбниц Г. В. Сочинения : в 4 т. / Г. В. Лейбниц. – М., 1984.
– T. 3.
Пирс Ч. Избранные философские произведения / Ч. Пирс. –
4.
М., 2000.
5. Пирс Ч. Рассуждение и логика вещей / Ч. Пирс. – М., 2005.
6.
Переписка: А. В. Ахутин – А. Г. Чернякову [Электронный
ресурс] // Форум ВРФШ. Режим доступа:
http://srph.ru/f/topic.php?id=29. –
Загл. с экрана.
7. Мамардашвили М. К. Кантианские вариации / М. К. Мамар-
дашвили. – М., 1997.
8. Бибихин В. В. Ранний Хайдеггер / В. В. Бибихин. – М., 2009.
9. Альберт Х. Трактат о критическом разуме / Х. Альберт. – М.,
2003.
10.
Ахутин А. В. Античные начала философии / А. В. Ахутин. –
СПб., 2007.
11. Вейнгартнер П. Фундаментальные проблемы теорий истины
/ П. Вейнгартнер. – М., 2005.
См.: Борисов Е. В. Язык, сознание, мир: очерки компаратив-
12.
ного анализа феноменологии и аналитической философии /
Е. В. Борисов, В. А. Ладов, В. А. Суровцев. – Томск, 2010.
13. Хайдеггер М. О существе и понятии φύσις // Василье-
ва Т. В. Семь встреч с Хайдеггером. – М., 2004.
14.
Кант И. Критика чистого разума / И. Кант. – СПб., 1993.
15. Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологи-
ческой философии / Э. Гуссерль. – М., 1999.
16. См.: Husserl E. Erfahrung und Urteil / E. Husserl. – Prag, 1939.
17. См.: Гуссерль Э. Начало геометрии / Э. Гуссерль. – М., 1996.
18.
Серкова В. А. Феноменологическая дескрипция / В. А. Сер-
кова. – СПб., 2003.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]