Философские проблемы математики. Учебное пособие

образует группу. Таким образом, гомотопия есть не что иное, как геометрический образ группы. Группа же представляет свобод­ное действие как самозамкнутое и самоосновное образование, и потому не может представлять ипостасную сторону свободного поступка как поступка личности. Возможные внутренние исто­рии осуществления поступка оказываются с точки зрения данной позиции эквивалентными. Но последнее означает, что любой действователь может быть заменен другим действователем, и этим нарушается свойство уникальности и неповторимости лю­бой человеческой личности. Таким образом, от гомотопного представления жизненного пути необходимо отказаться и перей­ти – как к представлению, более адекватному реперезентируемо­му личностному поступку – к логосу, в первом приближении мо­делируемому топосом более высокой размерности, чем обычный топос. Итак, «точкой» то исходное начало, которое разворачива­ется в структуру континуума, и далее – в четырехмерную геомет­рическую фигуру, оказывается просто потому, что началом, сим­волизируемым данной точкой, являемся мы сами. Полученное же структурно организованное математическое образование высту­пает внешней репрезентацией нашего собственного личностного бытия.

включающей бесконечно малые всех возможных более высоких порядков. Отсюда же близость нестандартного анализа к теории размытых множеств Л. Заде. В свою очередь, в этой теории фак­тически принимается, что свойство принадлежности некоторого элемента какому-то множеству есть вероятностная функция, при­нимающая значения из отрезка [0,1] (0 означает, что со стопро­центной вероятностью элемент не принадлежит множеству, 1 – что точно принадлежит, ½ – что с равной вероятностью элемент может как принадлежать множеству, так и не принадлежать). Конструкция размытого множества выступает в этом смысле ис­током появления актуально бесконечно малой, поскольку в дан­ном случае объекты, различающиеся на бесконечно малую вели­чину, отождествляются. Другим истоком является, как указал П. Джонстон, теория оценок. В самом деле, бесконечно малая фактически устанавливает отношение между двумя прилегаю­щими друг к другу точками, сама являясь образованием другого вида – оператором. Отношение, в свою очередь, устанавливается в результате осуществления некоторого акта. Оценка и есть спо­соб регуляции деятельности, устанавливающей данное отноше­ние – в частности, как это происходит в математическом анализе, по степени близости начального и конечного состояния. Но тогда и внутреннюю структуру множества нет необходимости знать, важнее иметь представление о том, в какие отношения оно может вступать и как оно при этом преобразуется. Теория категорий, возникшая в качестве альтернативы классической теории мно­жеств, как раз и исходит из того, что нет необходимости в опре­делении того, принадлежит ли некоторый элемент множеству: решение данного вопроса остается неопределенным. Более того, сами преобразующиеся объекты (в частности, множества) оказы­ваются определенными как вид соответствующего отношения. Революционное значение теории категорий заключается как раз в том, что в ней мы в качестве первичных имеем не какие-то мате­матические структуры, а акты, действия, создающие и поддержи­вающие данные структуры; сами структуры оказываются лишь моментом в цепи определенных преобразований. Исходным яв­ляется в этом случае уже не понятие заданного объекта, а поня-

тие изменения. Собственно, идея континуума не как заданного математического конструкта, а как становящегося образования имелась уже у Г. Вейля: «бессмысленно рассматривать контину­ум как нечто готово-сущее. Можно (и даже должно) со всей серь­езностью утверждать, что настоящее не есть нечто уже готовое в себе и определенное, а что оно само, вовнутрь становится в про­цессе своего перехода в будущее, и только, так сказать, по «скон­чании всех веков», становится совершенно точно определенным всякий отрезок мировой действительности, хотя бы, например, тот, который я сейчас переживаю» [119, с. 122].

своей истинности, поскольку иначе его идея просто не пришла бы нам в голову (т.е. о том, что некий объект существует, мы уз­наем исходя из уже наличного опыта непосредственного доступа к его бытию). Убедительность доказательства есть своего рода отсвет той внутренней убежденности в истинности полученного результата, которая возникает у математика каким-то иным пу­тем, так что истинность некоторого утверждения мы постигаем, в конечном счете, независимо от его доказательства: «Что касает­ся меня, то я никогда не сомневался в том, что истина является столь ясным трансцендентально понятием, что невозможно его игнорировать; конечно, мы всегда каким-то образом проверяем весы, прежде чем ими пользоваться, но об истине мы ничего не узнали бы, что это такое, если бы не знали ее уже по природе»

нутом, опосредованном и символическом виде. Потому и пишет В.С. Библер: «Знаково-символическая запись математического вывода выступает здесь стенографической записью реального творческого процесса» [120, с. 175]. И поскольку оно есть резуль­тат творческого действия, то в той же мере является и конструк­цией, способной пробуждать в восприемнике его новые состоя­ния мысли, как пишет Т. Данциг: «Колоссальное значение этой символики заключается не в стерильности и полном запрещении интуиции человеческого мышления, а в неограниченной возмож­ности использовать эту интуицию для создания новых форм мышления» [121, с. 111]. Математические конструкции – не абст­рагированные свойства внешне данных нам объектов, а органы постижения истины о том, что лежит в основе и бытия мира, и нашего собственного бытия. Они организуют доступ к этой пер­вооснове – благодаря упорядочиванию психического процесса нашего мышления и чувственности в «сильные структуры» соз­нания. Усмотрение истины о мире – нераздельно и неслиянно с усмотрением истины о своей собственной человеческой сущно­сти.

тельность ("я не знаю, как я достиг этого знания, я не сознаю, что я сделал... ")» [120, с. 15]. Однако…

объяснительная сила этого самого "что" (открытое знание сразу же разрешает все трудности и "неувязки" предшествующих рас­судочных ходов мысли, делает предшествующее рассуждение доказательным, необходимым), сочетается с предельной неопре­деленностью, неосознанностью "как" (я совершенно не осознаю технического приема, приводящего к открытию)» [120, с. 182].

тельно осуществленным и приобщенным этим к историческому бытию действительного познания, должно вступить в существен­ную связь с действительной оценкой, только как действительная ценность оно переживается мною, мыслится, т.е. действительно активно мыслимо в эмоционально-волевом тоне. Ведь оно не па­дает в мою голову случайно, как метеор из другого мира, остава­ясь там замкнутым и непроницаемым… не вплетенным в единую ткань моего эмоционально-волевого действенно-живого мышле­ния-переживания как его существенный момент. Ни одно содер­жание не было бы реализовано, ни одна мысль не была бы дейст­вительно помыслена, если бы не устанавливалась существенная связь между содержанием и эмоционально-волевым тоном его, т.е. действительно утвержденной его ценностью для мыслящего»