Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Философские проблемы математики. Учебное пособие
.pdf
выражает лишь один, самый схематичный и абстрактный вид
различия. Отличие одного качества от другого – следующий вид
различия. Каждый новый вид различия является более тонким,
чем предыдущий. Например, если добро и зло с точки зрения логики – равноправные противоположности, то с позиций этики мы
имеем здесь асимметрию.
Аналогично этому в физике мы открываем все более сложные и тонкие виды симметрии. Теория групп есть чисто математический способ определения инвариантов – величин, остающихся постоянными при различного рода преобразованиях группы. А
это значит, что подобный объект в какой-то мере оказывается независимым от выбора соответствующей теоретической схемы или
способа описания (например, от выбора системы координат). Таким образом, внутри самой математики возникают способы определения истинности ее утверждений, принципы отбора среди
возможных решений тех, которые соответствуют действительности. В. Гейзенберг утверждает, в частности, что современная теоретическая физика фактически стоит на идеях своеобразного платонизма. «Платон, – говорил В. Гейзенберг, – воспринял существенные элементы учения об атомах. Четырем элементам – земле,
воде, воздуху и огню – у него соответствовали четыре вида мельчайших частиц. Эти элементарные частицы являлись, по Платону, основными математическими структурами высшей симметрии. Мельчайшие частицы элемента земли изображались у него
кубами, элемента воды – икосаэдрами, элемента воздуха – октаэдрами и, наконец, мельчайшие частицы элемента огня представлялись в форме тетраэдров. По эти элементарные частицы не были, по Платону, неделимыми. Они могли разлагаться на треугольники и вновь создаваться из них. Так, например, из двух
элементарных частиц воздуха и из одной элементарной частицы
огня строилась элементарная частица воды. Сами треугольники
не являлись материей, они были только математической формой.
Следовательно, у Платона элементарные частицы не являлись
просто чем-то данным, неизменным и неделимым; они требовали
еще объяснения, и вопрос об элементарных частицах сводился
Платоном к математике... Последней основой явлений была не
41
материя, а математический закон, симметрия, математическая
форма» [43, с. 371].
Итак, если с позиций одного типа симметрии мы имеем тождественность и неразличимость, то с позиций симметрии более
гонкой и глубокой получаем неравноправие – и тем самым в наших руках оказывается искомый принцип отбора: правильными
(т.е. соответствующими действительности) выступают решения,
отвечающие симметрии более фундаментального типа. Математика в этом смысле оказывается не просто языком описания реальности или методом, используемым для ее познания, который
безразличен к характеру познаваемых объектов. Она имеет онтологическое содержание. Число – не только характеристика определенных вещей, но и внутренняя характеристика подобным же
образом устроенной человеческой души. Но это внутреннее устроение душа приобретает под воздействием гармоний, пронизывающих собою весь мир. Именно в силу единства человека и мира основания познания и основания бытия оказываются неразделимы. Исходная пифагорейская идея симметрии как критерия истины тем самым есть фактически конкретизация идеи взаимосвязи всех явлений мира и существования некоторых единых универсальных принципов, связывающих эти явления в гармоничный Космос. Принципы симметрии возникают как результат прояснения исходных интуиций истины. И потому одно лишь прояснение используемых математических идей позволяет получить
описание действительного, а не только возможного мира.
Пифагореизм являет нам замечательный пример принципа,
согласно которому «крайности сходятся». С одной стороны, идея
«
числа» выражает предельную рационализацию чувственных
впечатлений. С другой – само учение можно считать наследником дионисийских мистерий, представляющих собой магическирелигиозный способ «очищения» человека с освобождением его
от культурного начала и возвращением в лоно природной стихии.
В дионисийских мистериях менады с флейтами и тампанами убегали далеко в леса и горы, чтобы там в исступлении, в экстазе воочию встретиться с самим Дионисом. Не следует при этом путать
менадизм с намного более поздними римскими вакханалиями,
42
связанными с опьянением и половым разгулом. Менады посредством своего рода «коллективного транса» достигали непосредственного единства с божеством. В орфических мистериях, являющихся преемниками дионисийских, человеческая личность
находит свое глубочайше выражение уже не в единении с природой, а в обнаружении в себе самой божественной сущности. Это
«надличностное» начало, достигаемое очищением чувственной
природы человека, выступало подготовкой к будущему теоретически-рациональному видению мира. Математические формы
оказываются в этом смысле прообразами божественных логосов
как истока бытия вещей, которые описываются посредством этих
форм.
Сходные идеи о божественном истоке математики мы видим
и у Никомаха, математика и философа: «Который же тогда из
этих четырех путей надо изучить сначала? Ясно, что тот, который
предшествует им всем, выше их всех и является источником или
корнем их, по сути, матерью по отношению к остальным. И это –
арифметика, не только потому, что, как мы сказали, она существовала прежде всех остальных (наук) в уме Бога-творца, подобно
некоему универсальному и образцовому плану, полагаясь на который как на схему и идеальный архетип, творец Вселенной приводит в порядок свои материальные творения и направляет их к
достижению подобающих целей, но и потому, что она естественным образом предшествует им по рождению, поскольку с ее упразднением исчезают и все другие науки, но сама она не упраздняется вместе с исчезновением их всех» [45, p. 187]. Подобные
мысли имеются и у неоплатоников Прокла и Плотина, а также
Ямвлиха.
Ни единица, ни двойка не считались в древних традициях
числами: единица символизировала прежде всего целостность,
единство (ср. монада как выражение идеи Бога-творца у Никомаха), а двойка – взаимодополняющие части этого целого (ср.: мужское/женское у пифагорейцев). Исходная идея числа – это идея
троичности, структуры, состоящей из трех элементов. «Объяснение этому можно искать в свойствах самого числа 3, представляющего собой идеальную структуру с выделяемыми началом,
43
серединой и концом. Эта структура легко становится точной моделью сущностей, признаваемых идеальными, или же приблизительным образом любого явления, в котором можно выделить
указанные три элемента. Такой структуре поставлена в соответствие восходящая к архетипу и часто подсознательная тенденция
к организации любой временной последовательности посредством трехчленного эталона. Поэтому не случайно, что обычно
троичные образы могут мыслиться разделенными во времени,
как три фазы, или – в пространственном истолковании – как три
сосуществующие ипостаси, допускающие такую трансформацию,
при которой члены пространственного ряда, проецируясь на ось
времени, образуют трехфазовую структуру. Отсюда понятно, что
число 3 может служить идеальной моделью любого динамического процесса, предполагающего возникновение, развитие, упадок, или – в несколько ином плане – тезу, антитезу и синтез» [46,
с. 138].
Потому и считал А.Ф. Лосев, что математика имеет глубочайшее онтологическое значение, выражая истины божественного порядка: «Видишь ли, – говорил Лосев одному из участников
беседы, – древний религиозный обряд оказывается у Флоренского математически точно доказуем. И математики это доказывают,
не зная, что они доказывают. Есть ведь целое учение о множествах. Такие там вещи рассказываются, с такой откровенностью,
какой не найдешь в учебниках богословия» [47, с. 467]. Другими
словами, в этом случае число понимается не как абстрактная
идея, а как аспект целостной вещи. Эти мысли разделял и
П. Флоренский: «Формула не может и не должна оставаться формулой только. Она есть формула чего-нибудь, и чем богаче те ассоциации, которые у нас соединяются с формулой, чем многостороннее ее реальное содержание, тем мы лучше ее понимаем и тем
стройнее объединяются ассоциированные конкретные явления в
жизненный организм идей – мировоззрение» [47, с. 471]. Те же
идеи присутствовали и вообще в архаическом мировоззрении – в
частности, в Древнем Китае: «Что такое два? – Два: имя и форма;
что такое три? – Три: три познания; что такое четыре? – Четыре:
благородные истины» [46, с. 159] и т.п. Начало ряда выглядит
44
следующим образом: «Что такое один? Все существа (seil., все),
поддерживающие себя пищей» [46, с. 159].
В христианской религии сущностные особенности тварного
бытия – в том числе и те, которые выявляются посредством математических конструкций, выступают прообразом божественного бытия. Так, сама идея троичности возводится к триединому
Богу: «Преп. Максим выводит понятие о Троичности из созерцания трех существенных признаков тварного бытия, возводимых к
его Причине: бытия, различия и движения. Причиной и источником их является самосущее Бытие, Премудрость и Жизнь. Эта
оригинальная попытка философского выяснения тайны Троичности была использована и Эриугеной» [48, кн. 2, с. 231]. При этом
единство и троичность Бога совмещаются в силу того, что они
относятся к разным проявлениям его бытия: «Троица – воистину
единична, потому что Она такова по сущности, и, Единица – воистину троична, потому что такова Она по ипостаси. Ибо едино
божество, пребывающее по своей сущности единым, а по своей
ипостаси – троичным» [49, с. 282]. То, что есть Божество, неотделимо от того, как Оно есть; божественное бытие неотделимо
от его осуществления. Поэтому, хотя Бог и един – но в Трех Лицах, – ибо Троица представляет собой триипостасное распоряжение собственным бытием, есть представление акта, предполагающего активно действующее личностное начало. По образцу
этого Первоакта строится и акт синергии Бога и человека как акт
личностного общения. Продуктом любого такого акта выступает
материальное воплощение божественного Откровения в виде
произведения культуры, в частности, в форме произведения искусства или математической конструкции. Сама математика, собственно, есть не что иное, как результат такой синергии. Специфика именно математики при этом в том, что ее язык максимально прозрачен для передачи Откровения. Здесь свободное развертывание собственноличного содержания предельно подчинено
открывающемуся в ходе такого движения логосу, как повелению
Бога о нас самих.
Отношение человека и Бога возводится к отношениям лиц
внутри божественной Троицы, и само, в свою очередь, выступает
45
прообразом отношения между собой отдельных тварных сущих:
«
как исходя из сущих [вещей], мы веруем в то, что есть подлинно
сущий Бог, так и исходя из сущностного различия видов сущих,
мы научаемся относительно врожденной Ему по сущности Премудрости, лежащей в основе сущих и объемлющей их. И опять
же, исходя из сущностного движения видов сущих мы познаем
врожденную Ему по сущности Жизнь, [также] лежащую в основе
сущих и наполняющую их. И, таким образом, на основании мудрого созерцания творения мы постигаем учение о Святой Троице,
то есть [учение] об Отце, Сыне и Святом Духе» [48, кн. 2, с. 55].
Аналогия же между божественным бытием и тварным миром
есть «совпадение форм на поверхности бытия и бесконечных
глубин божественного света, которому причастна всякая форма»
[39,
с. 380].
В этом смысле все, касающееся Бога – в том числе и чисто
нумерологические аспекты его бытия, представленные в Библии,
имеют особенный сущностный смысл: Господь, открывшись в
возрасте тридцати лет, скрыто научает тайнам, касающимся Его,
которые становятся зримыми благодаря этому числу. Ибо число
тридцать, постигаемое в таинственном смысле, представляет
Господа как Творца и Промыслителя времени, природы и умопостигаемых [существ], которые превыше естества. [Ведь Господь
есть Творец] времени благодаря числу семь, ибо время седмирично; природы благодаря числу пять, ибо природа пятирична и
разделяется на пять частей чувством; умопостигаемых [существ]
благодаря числу восемь, ибо бытие их превышает период, измеряемый временем. [Господь] есть Промыслитель благодаря числу
десять; через святую десятицу заповедей люди приводятся к благобытию, и этой буквой (йота, т.е. десять. – К. С.) тайнозрительно
начинается имя Господа, ставшего человеком. А при сложении
пяти, семи, восьми и десяти получается число тридцать» [48, кн.
1, с. 228].
Максим Исповедник раскрывает несколько уровней постижения смысла числа тридцать – практического доброделания, естественного созерцания и мистического богословия: «Ведь число
тридцать, воспринимаемое с точки зрения естественного созер-
46
цания, означает чувственную природу, а рассматриваемое с точки
зрения [духовного] деления, оно означает практическую добродетель. Число же восемь, постигаемое с точки зрения естественного
созерцания, означает умопостигаемую природу нетелесных [существ], а с точки зрения умозрительной – премудрое богословие»
[48,
кн. 1, с. 229].
Божественные логосы, выражающие изначальный смысл
тварного сущего, стоят и за эстетическим аспектом мироздания:
«
Описывая богословие Бонавентуры, рассмотрение им аналогии
между числовыми пропорциями мировой красоты и единством
Троицы, Ганс Урс фон Бальтазар замечает, что «эта тенденция
сотворенного проявлять божественное отсылает обратно к власти
Бога-Слова выражать себя – и поэтому она отсылает назад к наслаждению Творца; и само Слово отсылает назад к отношениям
экспрессии внутри Божества, к радости Отца в порождении»
[
цит. по: 39, с. 382].
Но это значит, что мировая гармония, выражающая структурно-числовые закономерности устройства мира, в себе уже несет и личностный аспект, а не есть абстрактная структура. Другими словами, мы имеем дело со своего рода «живыми формами»
–
и только наша неспособность увидеть в них одухотворяющую
жизнь личности заставляет понимать математические конструкции как формальные структуры, существующие только в нашем
воображении или в каком-то идеальном мире. И потому только
такой личностный подход позволяет увидеть действительный
смысл тварного сущего: «В той мере, в какой творение не есть
избыток некоего смятения божественной субстанции и не темный
сговор идеальной формы и хаотической материи, но исключительно выражение преизобилующей радости и агапэ Троицы, радость и любовь – его единственный язык и его единственное основание; следовательно, надо научиться определенной ориентации – каким-то милости и трепету, и даже какому-то роду наслаждения, чтобы увидеть, в каком смысле творение говорит о Боге,
и уловить сокровенную (что значит – самую внешнюю) истину
природы творения» [39, с. 383–385].
47
Согласно Кантору, следует различать абсолютнобесконечное, которое подведомственно только теологии, и математически-бесконечное, или трансфинитное, с которым имеет дело теория множеств. При этом имеет смысл именно актуальная
бесконечность, потенциальная же бесконечность есть лишь переодетая форма конечности – как переменное конечное: «Что касается математической бесконечности… она, как мне кажется, выступает прежде всего в значении некоторой переменной, то растущей вверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, но всегда остающейся конечной величиной. Такое бесконечное я называю несобственно бесконечным» [50, с. 303]. На
самом деле потенциальная бесконечность уже предполагает бесконечность актуальную: «Для того, чтобы можно было использовать подобную переменную величину в каком-нибудь математическом исследовании, "область" его изменения должна, строго
говоря, быть известной наперед, благодаря некоторому определению. Но эта "область" не может быть сама, в свою очередь, чемто переменным, ибо в противном случае наше исследование не
имело бы под собой никакой прочной основы. Следовательно, эта
"область" представляет некоторое определенное актуальнобесконечное множество значений» [51, с. 260]. Другой пример
актуальной бесконечности – бесконечно удаленная точка комплексной плоскости в теории аналитических функций [50, с. 303].
Откуда в математике вообще появляется идея бесконечности? Число как таковое, и прежде всего целое число, есть в себе
неразделимая цельность, предшествующая 1) своим частям (так
как сами по себе части числа не составляют еще этого числа: например, собрание единиц еще не есть их единство, в частности,
их сумма), 2) внешне противопоставленному внечисловому бытию, например, физически-материальному миру (которое во всем
противоположно числовому бытию, и потому не может служить
его источником), 3) внешнему инобытию как судьбе числа в его
отношении к другим числам (ибо оно держится внутренней связью своих частей, как основе их единства в этом числе, а это
единство в установлении отношения данного числа к другим
числам мы уже приняли как данное). Таким образом, только
48
внутреннее инобытие числа есть исток бытия самого числа.
Именно внутреннее содержание числа – исток его целостности.
Отсюда мы и получаем идею целого числа: «это есть число, в котором произошло полагание его самого внутри его же самого, т.е.
полагание его внутреннего содержания. Когда вещь положена
внутри себя самой, это значит, что положено ее внутреннее содержание, а когда положено внутреннее содержание вещи, это
значит, что вещь взята как противоположность себя самой, т.е.
взята вещь как бы в действительном числе, и эти две вещи опять
положены как одно. Это и значит, что мы фиксируем внутреннее
инобытие вещи или числа, полагаем вещь или число в его внутреннем инобытии самому себе» [52, с. 480–581].
В то же время целое качественно отлично от своих частей,
непосредственно перейти или вывести из целого его части невозможно. Переход от одного качества к другому и представляется
как некоторый бесконечный процесс количественного изменения.
При этом нужно понимать, конечно, что у Гегеля вовсе не имеется в виду, что появление нового качества сводится к количественному изменению, а только то, что возникновение нового качества внешне сопровождается параллельным процессом изменения
количественного. Итак, только в бесконечном процессе приближения целого к части мы придем к этой части. Но тогда бесконечность и есть граница между целым числом и дробным (как
отношением целого к какой-то его части), или, по-другому, то,
что их соединяет, т.е. их синтез. Таким образом, математическая
бесконечность внутренне содержится в любом конечном числе,
как его инобытие и в то же время его бытийный исток.
В самом деле, бесконечное, во-первых, не есть нечто неопределенное. По Н. Лузину, имеет смысл только потенциальная бесконечность: «Мы не владеем идеей бесконечного иначе как беря
конечное и заставляя его расти неопределенно долго. Именно неопределенность и является в этом смысле истинной идеей бесконечного» [53, с. 472]. Но, двигаясь по натуральному ряду, мы никогда не встретимся с бесконечностью, – но только со все большими и большими конечными числами. Бесконечность не есть
просто собрание единиц, и ее не получить из идеи неограничен-
49
ного увеличения: в самом деле, мы получаем, например, что
∞
1
= a, в то же время
формула:
a
∞→nn
. Бесконечность не есть просто безгранич-
1lim =
n=∞→
n
– абсурд, хотя и верна обратная
a
1lim
ность как отсутствие конца, просто потому, что не всякое отсутствие конца свидетельствует о бесконечности – как это мы видим, например, в случае окружности. Истинная же бесконечность не есть неопределенность, она имеет вполне определенный
смысл: «Бесконечность прежде всего есть нечто; сущность же
инобытия заключается именно в том, что оно не есть нечто (иначе оно было бы бытием, а не инобытием), а существует оно всегда только в отношении числа и бытия. Числовое инобытие расплывается, растекается, ускользает и остается неуловимым смысловым мраком, о котором нельзя сказать ни того, что он конечен, ни того, что он бесконечен. Об инобытии, если его брать в
чистом виде, невозможно никакое утверждение. Оно живет
именно размывом и становлением; и требуется какая-нибудь новая, не инобытийная точка, которая бы объединила вокруг себя
это инобытие и тем дала бы ему какой-нибудь смысл и структуру» [52, с. 496].
Во-вторых, бесконечное не просто противопоставлено конечному, ибо это не рядоположенные понятия: оформленное и
определенное конечное противопоставляется в этом случае неопределенному и неоформленному бесконечному, и мы приходим к
первому случаю. Когда мы, например, в качестве модели данного
отношения используем образ фигуры и фона, то в действительности соотносим одно конечное с другим, а именно – целое с его
частью. Поскольку, как уже было указано выше, бесконечность –
на границе между ними, то в нашем геометрическом случае она
будет тем, что соединяет и одновременно разделяет фигуру и
фон. Она есть граница между внутренним содержанием фигуры и
окружающим ее фоном, как основа ее цельности. Бесконечное,
таким образом, есть не нечто трансцендентное по отношению к
миру, а репрезентация отношения трансцендентного к имманентному. Бесконечное находится не вне конечного, но в самом его
сердце, ядре, всегда, как аурой, окутывая конечное и незримо
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]