Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Учебное пособие
.pdf
Q
x
)
ω
=
ω −ω
21
рез
,
где
ω
рез
– резонансная частота, а
16. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
ω
ω
и
1
– частоты на высоте 0,7А
2
max
.
Для того чтобы возбудить в системе незатухающие колебания, необходимо
компенсировать потери энергии, обусловленные трением. Такая компенсация может
производиться внешними по отношению к колебательной системе источниками энергии.
Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы внF,
изменяющейся со временем по гармоническому закону
FF t= Ω
вн
с некоторой частотой Ω. Под влиянием это силы в системе возникнут колебания,
происходящие в такт с изменением силы; эти колебания называются вынужденными.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
0
cos
2
dx dx F
2cos
+ β+ω= Ω
2
dt dt m
Это уравнение является неоднородным, его общее решение представляет собой
сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения есть решение
уравнения колебаний с затуханием. Поскольку в результате действия вынуждающей силы
система начнет совершать колебания с частотой Ω вынуждающей силы, то частным
решением является выражение
xA t= Ω−ϕ
описывающее установившийся режим колебаний.
Величина амплитуды A и сдвига фазы ϕ по отношению к фазе вынуждающей силы
зависят от соотношения между собственной частотой
затухания, действующего в системе:
cos
2
0
(
вн
t
.
,
ω
системы и Ω, а также от
0
F
31
вн
2
4
, (1)
A
=
22 22
ω −Ω + β Ω
m
()
0
2
tg
ϕ=
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы
βΩ
22
ω −Ω
0
.
приводит к тому, что при некоторой частоте
явление называется резонансом (резонансом смещения). Частота
резонансной частотой. Ее значение можно найти, исследовав на минимум подкоренное
выражение в формуле для А:
00
Амплитуда при резонансе определяется выражением:
A
=
0
β ω−β
22
Скорость движения в случае вынужденных колебаний также зависит от Ω:
Ω
0
22
2Ω =ω−β
F
вн
22
m
0
амплитуда достигает максимума. Это
Ω
называется
0
.
.
dx
sin
= =− Ω Ω −ϕv
At
()
, (2)
dt
где А и ϕ определяются по формулам (1). Значит, при некоторой частоте амплитудное
значение скорости достигает максимума, т.е. тоже наблюдается явление резонанса,
называемое резонансом скоростей. Исследуя выражение (2) на максимум, приходим к
выводу, что значение частоты вынуждающей силы для резонанса скоростей
F
вн
=
v
этом
свойства, тогда она не будет обладать собственной частотой. В этом случае внешняя
периодическая сила также вызовет вынужденные колебания, но резонансных явлений в
таких условиях не возникает.
состояния покоя системы обязательно возникают кроме вынужденных собственные
колебания, складывающиеся с вынужденными. Процесс установления длится тем дольше,
чем выше добротность.
рез
В системе могут быть слабо выражены инертные (
Сложный процесс установления колебаний объясняется тем, что при нарушении
.
2
m
β
0m →
) или упругие(
Ω=ω
00
, при
0k →
)
17. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
32
Колебания, возникшие в какой-либо точке упругой среды, передаются соседним
x
точкам и постепенно распространяются все дальше и дальше. Явление распространения
колебаний в пространстве называется волновым движением или.
При волновом движении колеблющиеся частицы не перемещаются вместе с волной;
они лишь колеблются около своих положений равновесия.
Уравнение волны выражает зависимость смещения ψ колеблющейся точки,
участвующей в волновом процессе, от координаты x ее равновесного положения и
времени t.
Волна называется продольной, если ψ совпадает с направлением распространения
волны; если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения
колебаний, то волна называется поперечной. Являются волны продольными или
поперечными − зависит от упругих свойств среды.
Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени дошло
колебание, называется фронтом волны. Можно также в среде выделить геометрическое
место точек, колеблющихся в одинаковых фазах. Эта совокупность точек образует
поверхность одинаковых фаз, или волновую поверхность. Очевидно, что фронт волны
является частным случаем волновой поверхности. Форма фронта волны определяет типы
волн, например, плоской волной называется волна, фронт которой представляет
плоскость, и т.д.
Скоростью распространения волны подразумевают скорость распространения
данной фазы, которая называется фазовой скоростью
Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один
период колебания, называется длиной волны λ. Очевидно,
скорость волны.
Простейшим видом волн является плоская волна. Колебания частиц среды в ней
происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения. Если,
кроме того, колебания в каждой точке следуют гармоническому закону, то волна
называется плоской
монохроматической
.
.
v
λ = T
, где v − фазовая
Уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси
x
, имеет вид:
⎡ ⎤
⎛⎞
⎜⎟
⎢ ⎥
⎣ ⎦
v
⎝⎠
,
А − амплитуда колебаний точек среды.
где
Так как
2 Tω= π
, то уравнение волны принимает вид:
cos
At
ψ= ω −
33
tx tx
A
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
TT T
⎝⎠ ⎝⎠
v
AAtkx
λ
()
. (1)
Здесь
⎡⎤⎡⎤
ψ= π − = π − = ω −
cos 2 cos 2 cos
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
2
π
=
k
называется волновым числом.
λ
Уравнение волны в виде (1) – одно из возможных решений общего
дифференциального уравнения, описывающего распространение возмущения в среде. Это
общее уравнение называется волновым уравнением. Его можно получить, взяв от
функции ψ вторые производные по х и t, получим:
22
∂ ψ∂ψ
22
∂ ∂
tx
Где учтено, что в данном случае производная является частной. Это и есть
2
=
v
, (2)
волновое уравнение
Все вещества состоят из молекул (атомов). Молекула – это наименьшая частица
вещества, сохраняющая все его химические свойства. Между молекулами в веществе
действуют силы притяжения и отталкивания, зависящие от расстояния между частицами.
Движения молекул отличаются полной беспорядочностью. Это хаотическое движение
молекул носит название теплового движения
Газ, обладающий такими же свойствами, как и совокупность невзаимодействующих
материальных точек, называется идеальным газом.
Состояние определенной массы газа определяется тремя параметрами: давлением Р,
под которым находится газ, его температурой Т и занимаемым им объемом V.
.
Можно показать, что оно справедливо для волн любого вида.
18. СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ. ПРОЦЕССЫ.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
.
Давлением газа Р называется сила F, отнесенная к единице площади S поверхности
стенки, нормальной к этой силе:
PFS=
Размерность давления: [Р] = Н/м2 = Па (паскаль). Существование давления в газах с
точки зрения молекулярно-кинетической теории связано с тем, что молекулы газа,
сталкиваясь со стенками сосуда, передают им некоторый импульс.
.
34
Температуру принято определять величиной T, пропорциональной 2/3 от средней
A
A
кинетической энергии поступательного движения молекул:
2
v
m
kT =⋅
2
0
.
32
Здесь
среднее значение выражения, стоящего в скобках. Переводной коэффициент k,
определяющий, какая часть джоуля содержится в одном кельвине, называется постоянной
Больцмана.
Уравнение, связывающее параметры состояния называется уравнением состояния и
может быть записано в общем виде так:
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева),
полученное в результате обобщения опытных данных, имеет вид:
m
– масса, v – скорость молекулы, а означает, что должно быть взято
0
(,)PfVT=
.
M
PV RT=
μ
где M – масса газа, а μ − молярная масса газа; постоянная величина R = 8,31
,
Дж/(моль·К) называется универсальной газовой постоянной. Величина
представляет число молей данного газа, заключенных в объеме V.
Последнее соотношение можно записать следующим образом:
2
PV N=
Это уравнение является основным уравнением молекулярно-кинетической
теории.
По закону, Авогадро,
одинаковое число молекул
объеме газа можно найти по формуле:
NN=ν
E
.
3
k
в одинаковых объемах разных газов при условиях содержится
N
= 6,023·1023 моль-1 (число Авогадро). Число молекул N в
.
Mν =μ
35
Если рассматриваемый газ представляет собой смесь молекул разного типа, то
f
f
)
f
v
полное давление смеси идеальных газов складывается из парциальных давлений Рi,
обусловленных каждым газом (закон Дальтона).
PPP P=++ +
12
Парциальным давлением
давление, которое оказывал бы этот газ, если бы он один занимал весь объем, занимаемый
смесью.
19. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Скорости молекул идеального газа неодинаковы и подчиняются закономерностям,
имеющим статистический характер. Найти закон распределения молекул по скоростям
– это значит определить число молекул dn, скорости которых находятся в заданном
интервале скоростей от v до
()
где
v
– функция распределения молекул по скоростям. Вид этой функции был найден
.....
.
m
какой-либо компоненты газовой смеси называется
d+vv
:
vv
()dn n f d=
0
,
Максвеллом:
()
0
представлен на рис. 1.для двух температур.
При v = 0
стремится к нулю с дальнейшим возрастанием скорости. Более пологая кривая отвечает
более высокой температуре, но площади под обеими кривыми одинаковы, т.к. число
T
1
4
⎛⎞
0
⎜⎟
π
⎝⎠
22
TT
>
21
() exp
fn
=−
vv
и называется распределением Максвелла по
абсолютным значениям скорости. Вид
3
2
mm
kT kT
⎛⎞
2
⎜⎟
⎝⎠
2
v
()
v
v
Рис. 1.
(
0f =v
, при
v
эта функция достигает максимума и очень быстро
0
2kT
v
молекул осталось прежним. Максимум кривой соответствует скорости
которая называется наиболее вероятной скоростью движения молекул. Из соотношения
=
0
,
m
v
для
следует, что с увеличением температуры газа его наиболее вероятная скорость
0
36
увеличивается. При этом доля медленных молекул газа уменьшается, а доля быстрых
R
молекул растет.
Распределение Максвелла свидетельствует о том, что, несмотря на хаотичность
молекулярных движений и случайный характер столкновений и вызываемых ими
изменений скоростей молекул, их распределение по скоростям оказывается вполне
определенным. Более того, если распределение Максвелла не выполняется, то это
означает, что движение не вполне хаотичное, т.е. имеются какие-то силы, вносящие
некоторую упорядоченность в движение молекул.
Если молекулы находятся во внешнем силовом поле, то у них имеется и
потенциальная энергия. Распределение молекул по потенциальным энергиям носит
название распределения Больцмана. Оно имеет вид:
W
⎛⎞
exp
=−
nn
0
⎜⎟
⎝⎠
.
kT
В этом выражении n – число молекул, имеющих потенциальную энергию W,
число молекул, имеющих потенциальную энергию W= 0.
Формула Больцмана устанавливает соотношение между двумя тенденциями:
тенденцией к упорядочению расположения молекул под действием силового поля и
тенденцией к их разупорядочиванию под действием теплового движения. Энергия первого
процесса равна W, энергия второго равна kT. «Степень упорядоченности» определяется
отношением указанных энергий.
В частном случае поля силы тяжести Земли из распределения Больцмана можно
получить барометрическую формулу, описывающую уменьшение давления с ростом
высоты над уровнем моря:
gh
μ
=−
PP
Здесь
P
⎛⎞
exp
0
⎜⎟
⎝⎠
есть давление при h = 0. В случае смеси газов эта формула применима к
0
.
T
n
–
0
парциальному давлению каждого газа.
20. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
37
Явления, обусловленные хаотическим движением молекул и приводящие при этом к
)
)
)
R
переносу массы, кинетической энергии, импульса и др. в каком-либо направлении,
называются явлениями переноса. Любое явление переноса связано с неравновесностью
системы.
Явление переноса массы называется диффузией, перенос энергии –
теплопроводностью, перенос импульса – внутренним трением.
Общее уравнение переноса, описывающее все эти явления,
Θ =− λ Δv
В этом уравнении Θ – поток переносимой молекулами физической величины r
(массы, энергии, импульса) за промежуток времени
концентрация молекул,
пробега. Выражение
v
dnr
(
– средняя скорость молекул,
представляет собой градиент величины
имеет вид:
dnr
1
3
tΔ
через площадь S, n –
λ
– средняя длина свободного
(
St
dx
nr
(
. Знак минус в
. (1)
dx
правой части означает, что перенос физической величины осуществляется в направлении
ее уменьшения.
8
T
, где μ – молярная масса газа,
Известно, что средняя скорость молекул
v
=
πμ
R – универсальная газовая постоянная.
Длиной свободного пробега называется расстояние, которое проходит молекула в
промежуток времени между двумя последовательными столкновениями:
λ= =
v
z
В последнем выражении z – среднее число столкновений молекулы за 1 секунду, d –
эффективный диаметр молекул, т.е. то наименьшее расстояние, на которое могут
сближаться центры молекул. Если температура газа понижается, то скорости молекул
уменьшаются, а время взаимодействия молекул при их столкновении увеличивается. За
счет этого возрастает эффективное сечение столкновений, и, соответственно, убывает
длина свободного пробега.
Диффузией называется обусловленное тепловым движением выравнивание
концентраций в смеси двух или нескольких веществ. Уравнение диффузии (закон Фика)
m
r
может быть получено из (1) заменой
на
0
1
.
2
2
dn
π
– массу молекулы:
38
ρ
)
= −Δ
mDSt
d
.
dx
Величина D называется коэффициентом диффузии,
плотности переносимой компоненты, m – масса газа, переносимого за промежуток
времени tΔ через площадь S.
Теплопроводность. Если в среде вдоль оси x создать градиент температуры, то
возникнет тепловой поток, удовлетворяющий уравнению теплопроводности (закон
Фурье):
ddxρ
– градиент парциальной
dT
= −Λ Δ
QSt
,
dx
Здесь Λ – коэффициент теплопроводности,
Внутреннее трение. Внутреннее трение возникает при движении жидкости или газа.
При этом молекулы переходят из слоя в слой. Согласно второму закону Ньютона
взаимодействие двух слоев с силой f можно рассматривать как процесс передачи в
единицу времени импульса. Заменяя в (1) r на импульс, получим уравнение Ньютона для
вязкого трения:
dT dx
– градиент температуры.
dmu
(
= −η Δ
FSt
0
.
dx
В этом уравнении F – сила внутреннего трения, η – коэффициент внутреннего
трения или вязкость.
21. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ
Количество теплоты, требующееся для нагревания тела на 1К, называется
теплоемкостью тела
δ
Q
=
C
.
dT
Различают удельную с и молярную С теплоемкости вещества.
Под удельной теплоемкостью с какого-либо вещества понимают теплоемкость
единицы массы этого вещества
Q
δ
c
=
.
mdT
39
Под молярной теплоемкостью С вещества подразумевают теплоемкость одного моля
этого вещества
δ
Q
=
C
Поскольку газу в разных процессах передается разное количество теплоты, то и
теплоемкость газа зависит от того, при каких условиях он нагревался. Например, в
адиабатическом процессе
.
ν
dT
Qδ=
0
, соответственно и
0C =
; в изотермическом процессе
dT =
молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину универсальной газовой
постоянной R.
вращательного движения их молекул. Каждый из этих видов энергии вносит свой вклад в
0
, следовательно,
Молярная теплоемкость газа при изохорном процессе равна
Молярная теплоемкость при изобарном процессе равна
Таким образом, молярная теплоемкость газа при постоянном давлении больше его
Внутренняя энергия идеальных газов складывается из энергии поступательного и
C =∞
.
δ
QdU
==
C
V
dT dT
QdU A
δ δ
= =+=+
CCR
pV
dT dT dT
. (1)
. (2)
теплоемкость. Поскольку на каждую степень свободы i приходится энергия, равная
kT
2
Одноатомные молекулы можно представить в виде шаров, движение которых является
поступательным, происходящим по трем координатным осям; число степеней свободы
таких молекул
связанных между собой по одной прямой. Такие молекулы могу вращаться в двух
плоскостях, кроме трех поступательных степеней свободы появляется еще две
вращательные и
плоскости, т.о.
теплоемкости газов лишь при достаточно высоких температурах, порядка нескольких
тысяч градусов.
CR=
, то
Чтобы определить число степеней свободы молекулы, надо учесть ее строение.
i
V
и от температуры не зависит.
2
i =
3
. Линейные молекулы можно представить в виде шаров, жестко
5i =
. У нелинейных молекул добавляется вращение еще в одной
6i =
. Колебательное движение атомов в молекулах отражается на
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]