Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Учебное пособие
.pdf
аддитивными: их значение для системы, состоящей из частей, равно сумме значений для
p
L
каждой из частей в отдельности.
Закон сохранения механической энергии: В инерциальной системе
отсчета полная механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет
const
диссипативных сил, сохраняется в процессе движения
Сохраняется именно полная механическая энергия, в то время как кинетическая и
потенциальная энергия в отдельности могут меняться.
Закон сохранения импульса: В инерциальной системе отсчета импульс
замкнутой системы частиц остается постоянным как по величине, так и по
, т.е.:
кин
W= +=EE
.
r
const
направлению
При этом импульсы отдельных частей системы могут меняться. У незамкнутой
системы может сохраняться не сам импульс, а его проекция на то направление, по
которому сумма проекций действующих сил равна нулю.
Закон сохранения момента импульса: В инерциальной системе отсчета
, т.е.:
=
.
момент импульс замкнутой системы частиц остается постоянным как по величине, так
r
const
и по направлению
относительно любой точки инерциальной системы отсчета.
С помощью законов сохранения можно не решая уравнений динамики сделать во
многих случаях ряд заключений о свойствах процессов, не вникая в их детальное
рассмотрение.
Законы сохранения представляют собой общие фундаментальные принципы и
отражают свойства пространства и времени. В
однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени при прочих равных
условиях. В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е.
равнозначность всех точек пространства при прочих равных условиях. В основе закона
сохранения момента импульса лежит изотропность пространства, т.е. равнозначность всех
направлений в пространстве при прочих равных условиях.
, т.е.:
=
. Это справедливо для момента импульса, взятого
основе закона сохранения энергии лежит
11. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, КИНЕМАТИКА
Специальная теория относительности (релятивистская теория) опирается на два
постулата.
Первый постулат
одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.
(принцип относительности): все законы физики имеют
21
Второй постулат (постоянство скорости света): свет распространяется в
x
x
M
Z
8
пустом пространстве со скоростью с = 3·10
м/с, не зависящей от скорости движения
источника или наблюдателя.
Сочетание принципа относительности с принципом постоянства скорости света
носит название принципа относительности Эйнштейна.
Пусть система отсчета
относительно нее со скоростью v (рис. 1).
Z
’
OXYZ
является неподвижной, а система
Уравнения преобразования координат и времени,
полученные Лоренцем, имеют вид:
OXYZ
v
′
+
t
v
2
v
1
−
2
c
O
vt
=
x
Y
Y
O
’
’
XX
,
′ ′
,yyzz
= =
’
′
v
′
+
t
2
=
t
c
.
2
v
−
1
2
c
движется
Следствия из преобразований Лоренца.
Сокращение длины. Пусть вдоль оси X΄ в движущейся системе отсчета S΄ лежит
стержень.
2
v
=−
Здесь 0L– собственная длина или длина предмета (стержня) в той системе отсчета, в
которой он покоится; L – длина движущегося предмета.
предмет, движущийся относительно наблюдателя, кажется последнему более
Т.о.,
коротким, чем в случае, когда этот предмет покоится относительно него.
Такое сокращение происходит только в направлении относительного движения и
становится заметным только при скоростях v, сравнимых со скоростью света с. Если
vc
, то,
L L
в соответствии с представлениями классической механики.
0
1LL
0
.
2
c
2. Замедление времени. Интервалы времени тоже меняются вследствие относительного
движения. Согласно преобразованиям Лоренца для интервала времени
22
t получаем:
t
x
Δ
0
2
v
,
−
1
2
c
где
Δ=
t
t
– собственное время, т.е. промежуток времени в системе, где часы покоятся, t –
0
соответствует промежуток времени в системе, относительно которой часы движутся,
причем
t > t
. Таким образом,
0
движущиеся часы идут медленнее покоящихся.
Физические величины, которые не меняются при переходе от одной инерциальной
системы к другой, называются инвариантами теории относительности. К инвариантам
относятся скорость света в вакууме, собственная длина 0L и собственное время.
3. Релятивистские формулы преобразования скоростей (закон сложения скоростей)
получаются дифференцированием по времени преобразований Лоренца.
′
u
+
v
x
=
u
x
1
′
u
y
=
u
y
1
′
u
v
+
+
2
c
2
v
1
−
2
c
′
v
u
x
2
c
2
′
u
z
u
=
z
1
v
1
−
2
c
.
′
v
u
x
+
2
c
Здесь ux,uy иuz – проекции скорости движущейся частицы на оси неподвижной
u΄
системы отсчета,
u΄
,
x
подвижной системы отсчета. Чтобы выразить
и
y
u΄
– проекции скорости движущейся частицы на оси
z
u
u
u
,
и
y
через
z
x
u΄
u΄
,
x
y
и
u΄
, нужно лишь
z
заменить v на (–v) и поменять местами величины со штрихамии без штрихов в
соответствующих уравнениях.
12. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, ДИНАМИКА
Длина и интервал времени относительны: их значения зависят от того, в какой
системе отсчета они измерены. Эйнштейн показал, что масса тела тоже относительная
величина; с
увеличением скорости масса тела возрастает:
23
m
)
m
=
Здесь m0 называется массой покоя тела, т.е. массой, измеренной в системе отсчета,
относительно которой тело покоится; m – масса тела, измеренная в системе отсчета,
относительно которой тело движется со скоростью v. Из формулы (1) видно, почему
скорость любого тела не может быть равна скорости света или превышать ее. В случае
c=v
знаменатель в (1) оказался бы равным нулю, и масса m обратилась бы в
0
2
v
.
1
−
(1)
2
c
бесконечность. Следовательно, для разгона тела до скорости v
бесконечно большая энергия, что невозможно.
Увеличения релятивистских масс существенны только при скоростях,
приближающихся к скорости света. При скорости, равной одной десятой скорости света,
увеличение массы составляет только 0,5%, но это увеличение больше 100% при скорости,
составляющей девять десятых скорости света. Только атомные частицы, такие, как
электроны, протоны и т.д.,
эффекты могли быть наблюдаемы.
Введем релятивистский импульс:
имеют достаточно высокие скорости, чтобы релятивистские
= c
потребовалась бы
r
r
pm
Если допустить, что импульс определяется этой формулой, то закон сохранения
импульса будет справедлив в специальной теории относительности. Однако второй закон
r
v
==
v
m
0
2
v
1
.
−
2
c
Ньютона справедлив только в форме
⎛⎞
r
==
F
r
dm
v
()
dt dt
⎜⎟
dm
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Это уравнение показывает, что результирующая сила, действующая на тело, всегда
равна скорости изменения его импульса во времени.
Кинетическая энергия тела равна увеличению его массы, обусловленному его
относительным движением, умноженному на квадрат скорости света:
Wmс mc m m c=− =−
22 2
00кин
24
r
v
0
1
−
(
.
2
v
2
c
,
или
22
Если истолковывать
mc
mc W m c=+
2
полную энергию
как
кин
.
0
тела, то отсюда следует, что когда тело
покоится и его кинетическая энергия равна нулю, оно тем не менее обладает энергией
2
m0с
. В соответствии с этим
2
m0с
называют
энергией покоя
тела.
Поскольку одни виды энергии могут преобразовываться в другие, то масса тела
будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом
увеличении общего запаса энергии тела. Таким образом, масса тела является не только
мерой инертности или мерой гравитационного действия, но и мерой энергосодержания
тела.
При этом самостоятельные законы сохранения энергии и массы должны
объединяться в единый закон сохранения энергии и массы. Масса может возникать или
уничтожаться, но лишь при условии, что одновременно исчезает или появляется
эквивалентное количество энергии, и наоборот.
13. СОБСТВЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Движение, которое повторяется через равные промежутки времени, представляет
собой колебательное движение. Промежуток времени Т, по истечении которого
движение повторяется, называется периодом движения. В моменты времени t и t+T
частица имеет одно и то же положение и одну и ту же скорость. Величина ν, обратная
периоду, называется частотой:
1 Tν =
.
Она определяет, сколько раз в секунду повторяется движение. Единица измерения
частоты называется
называется величина
герцем
2ω= πν
(Гц: 1 Гц = 1 с-1). Круговой (циклической) частотой
.
Свободными (собственными) колебаниями называются колебания, которые
происходят без внешних воздействий за счет первоначально полученной телом энергии.
Если обозначить за x отклонение от положения равновесия в любой момент времени, то
дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид:
2
dx
2
dt
2
0
x
+ ω=
0
. (1)
Его решением является гармоническая функция:
25
cos( )xA t= ω+α
A
где А, ω0 и α – постоянные величины. Величина А называется амплитудой и указывает
максимальное значение координаты x при отклонении от положения равновесия.
Величину ω0 называют собственной частотой. Частота колебаний зависит только от
свойств колеблющейся системы (жесткости закрепления тела, но не от амплитуды
колебаний. Одно и то же тело, производя колебания с разным размахом, совершает их с
одинаковой частотой. Напротив, амплитуда и начальная фаза колебаний определяются не
свойствами самой системы, а начальными условиями ее движения, выводящим систему из
состояния покоя.
0
, (2)
Аргумент косинуса
колебания (в момент t = 0).
Скорость колеблющейся частицы равна
tω+α
носит название фазы колебания; α – начальная фаза
dx
sin( )
= =− ω ω +αv
At
.
dt
Ускорение частицы при таком движении:
d
aAt
v
= =− ω ω +α
dt
Эта величина изменяется тоже по гармоническому закону. Умножив a на массу
частицы m, и учитывая, что
силы:
Таким образом, для того чтобы частица совершала гармонические колебания,
cos( )
2
cos( )
txω ω+α=
Fmx= −ω
.
, получим следующее выражение для
2
.
действующая на нее сила должна быть пропорциональна величине смещения частицы и
направлена в сторону, противоположную этому смещению. Такую силу называют
восстанавливающей.
Складывая потенциальную энергию с кинетической, найдем полную энергию
колеблющейся частицы:
22 22 22
mkxmA mA
E
v
= + = ω +α + ω +α
ωω
22
sin ( ) cos ( )
tt
22 2 2
или
26
22
)
)
A
A
A
A
x
x
x
mA ω
E
=
.
2
Таким образом, полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
2
sin tω +α
Видно, что кинетическая и потенциальная энергия изменяются как
2
(
tω+α
, так что когда одна из них увеличивается, другая – уменьшается, т.е.
cos
процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в
кинетическую и обратно. Средние за период колебания значения потенциальной и
(
и
кинетической энергии одинаковы и равны
14. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА
Материальная точка может участвовать в нескольких колебаниях. Чтобы найти
уравнение траектории результирующего движения, следует сложить колебания.
Рассмотрим два частных случая.
Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты и одинакового
направления. Пусть даны два гармонических колебания с одинаковой частотой, но с
различными начальными фазами и амплитудами:
xA t=ω+α
11 1
Найдем результирующее движение точки x
x
=
(рис. 1).
x
+
с использованием векторной диаграммы
1
2
cos( )
2E
.
xA t= ω+α
, 22 2
cos( )
.
А
На векторной диаграмме гармоническое
колебание представляется движением проекции
на некоторую ось x конца вектора амплитуды,
отложенного из произвольной точки О оси под
углом, равным начальной фазе, и вращающегося
с угловой скоростью ω вокруг этой точки.
Изобразим на диаграмме колебания в виде
r
r
векторов
и
1
. Результирующее колебание изобразится вектором
2
rr r
правилу сложения векторов:
222
AA= +
12
12 12 21
. Из рисунка видно, что:
2cos( )AAA AA=++ α−α
27
О
А
2
x
1
, (1)
А
1
2
Рис. 1
r
, построенным по
sin sin
)
A
B
A
)
B
A
A
B
tg
α=
AA
Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой частотой является
гармоническое колебание с той же частотой и амплитудой и начальной фазой,
определяемыми формулами (1) и (2).
AA
α +α
112 2
α +α
cos cos
112 2
. (2)
− =
α α
(
Когда разность фаз исходных колебаний
говорят, что колебания находятся в противоположных фазах. В этом случае
AA= −
12
Когда разность фаз исходных колебаний равна нулю или вообще 2πn, где n – любое
целое число, то говорят, что колебания совпадают по фазе. В этом случае А =
Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.
Рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты:
xA t
yB t
Чтобы получить уравнение траектории, нужно из уравнений (3) исключить время.
Сделаем это для нескольких значений начальных фаз.
Положим
21
0α−α=
. Тогда
cos( )
= ω+α
= ω+α
cos( )
21
.
1
2
π
или вообще (2n+1)π, то
А
А
+
.
1
2
. (3)
yx
=
траектория представляет прямую линию – диагональ прямоугольника со сторонами 2А (по
оси x) и 2В (по оси y).
α−α =
(
Пусть
аналогично получим:
т.е. траектория будет другой диагональю прямоугольника.
Пусть 21
21
α−α=
π
. В этом случае косинусы будут отличаться знаком, и мы
yx
=−
π 2
. Траекторию легко найти следующим приемом:
,
,
x
cos
= ω+α
t
()
1
y
sin
= ω+α
t
()
.
1
28
Возводя в квадрат и складывая почленно, получим:
A
)
x
22
xy
+ =
22
Таким образом, траекторией будет эллипс. При А = В траектория превращается в
окружность радиуса А. За период этот эллипс будет обходиться точкой по часовой
B
1
.
стрелке. Легко показать, что если
изменится направление обхода.
В случае произвольного значения разности фаз исходных колебаний траектория
также будет эллипсом, вписанным в тот же прямоугольник, но оси этого эллипса будут
составлять некоторый угол с осями x и y.
15. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
(
21
π 2α −α =−
, траектория останется той же, но
Если движение происходит в какой-либо внешней среде, то эта среда оказывает
сопротивление движению, стремящееся замедлить его. С механической точки зрения этот
процесс может быть описан путем введения определенной дополнительной силы,
появляющейся в результате самого движения и направленной противоположно ему. Эту
силу называют силой сопротивления. При достаточно малых скоростях движения она
пропорциональна скорости тела:
−β
v
,
2
x
0
0
2
x
0
t
,
.
,
Fb= −
сопр
где b – некоторая положительная константа, характеризующая взаимодействие тела со
средой, а знак минус указывает, что сила направлена в сторону, обратную скорости.
Наличие силы сопротивления приводит к появлению в дифференциальном
уравнении колебаний дополнительного слагаемого:
2
dx b dx
+ ⋅+ω=
2
dt m dt
если обозначить
Решением такого дифференциального уравнения является функция
2bm=β
, то уравнение колебаний с затуханием принимает вид:
2
dx dx
dt dt
20
+ β+ω=
2
ecos
At
= ω
0
29
где ω – частота колебаний системы с затуханием, причем
)
AtA
ω =ω−β
22
0
ω <ω
, т.е. 0
–
собственной частоты системы. В случае слабого затухания можно считать
Таким образом, амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. Вместе
с амплитудой убывает также и энергия колебаний W, поскольку энергия пропорциональна
квадрату амплитуды.
Степень убывания амплитуды определяется величиной β, которую называют
коэффициентом затухания. За время
величину называют постоянной времени затухания колебаний. Эта величина часто
используется для характеристики затухания таких естественных процессов, как
радиоактивность.
Скорость уменьшения амплитуды за период характеризует величина
логарифмическим декрементом затухания. По определению
1τ =β
амплитуда уменьшается в е раз; эту
ω≈ω
0
.
δ
, называемая
(
ln
δ=
tT
()
.
+
За время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить
N
e
колебаний:
NT T= τ=β=δ
e
Т.о., δ обратна числу колебаний, за которые амплитуда уменьшается в е раз.
Скорость убывания энергии в системе с затуханием характеризует добротность Q.
11
.
W
2
Q
=π
где W – энергия, запасенная в системе,
π
точностью до множителя
в системе, больше энергии, теряемой за период. Величина добротности всегда > 1 и для
хороших систем может достигать величины 104–105. Добротность можно выразить через
параметры системы и логарифмический декремент затухания:
2
добротность показывает, во сколько раз энергия, запасенная
= ===π
QN
dW
m
ω ωπ
βδ
2
b
,
dW
– энергия, теряемая системой за период. С
.
e
Добротность также определяет остроту резонансной кривой: чем острее и выше эта
кривая, тем меньше потери в системе. Можно показать, что по графику резонансной
кривой добротность определяется с помощью выражения
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]