Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Учебное пособие
.pdf
hmλ =
x
p
v
.
называют
Величину λ
волновые свойства микрочастиц были обнаружены в опытах по дифракции электронов.
Предположение де Бройля давало объяснение боровской теории атома водорода.
Условие того, что на орбите электрона укладывается целое число длин волн де
Бройля (условие стационарности орбиты) можно записать следующим образом:
где r
– радиус орбиты. Целое число n называют квантовым число орбиты. Подставив
n
значение длины волны электрона, получим условие квантования Бора:
дебройлевской длиной волны
2
nrλ =π
, n=1,2,3…,
n
частицы. Экспериментально
nh
v
mr=
n
Наличие волновых свойств у частиц вносит ограничения в применимости к ним
классической механики. По классической механике частица в любой момент времени
занимает определенное положение в пространстве и обладает определенным импульсом.
.
π
2
Наличие волновых свойств вносит ограничения в возможность такого описания
состояния микрочастиц.
Когда проводится какое-либо измерение, его результат содержит некоторую
неопределенность, обусловленную двумя факторами: корпускулярно-волновым
дуализмом и неизбежным взаимодействием наблюдаемого объекта с регистрирующим
прибором. Поэтому существует предел, ограничивающий точность определенных
измерений. Этот предел не зависит от степени совершенства измерительного прибора, а
присущ самой природе вещей.
Количественные соотношения, выражающие этот принцип для конкретных
динамических переменных, называются соотношениями неопределенностей. Наиболее
важными являются два из них:
Это и есть принцип неопределенности Гайзенберга.
xpΔΔ ≥h
x
ypΔ Δ≥h
(
WtΔ Δ≥
,
h
.
zpΔ Δ≥h
z
),
y
Первое соотношение
точностью положение (координату) и проекцию импульса микрочастицы на ту же ось.
Чем точнее мы пытаемся определить положение объекта, т.е. чем меньше Δ
Δ
будет
. Если же мы попытаемся точно измерить проекцию импульса, то большой
утверждает, что нельзя измерить одновременно с абсолютной
х, тем больше
111
окажется неопределенность в положении объекта. Принцип неопределенности в то же
x
x
p
время не запрещает точно определить что-то одно: либо положение, либо импульс.
Можно также с абсолютной точностью измерить координату и проекции импульса на
другие оси.
Второе соотношение устанавливает неопределенность измерения энергии,
t
данный временнóй интервал
67. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Переменная величина, характеризующая волны де Бройля, называется
функцией
продемонстрировать экспериментально. Физический смысл имеет выражение
(, ,,)
момент времени
точки
и обозначается символом Ψ.
Сама волновая функция не имеет наглядного физического представления, ее нельзя
yzt dVΨ
x, y, z
2
, которое представляет собой вероятность
t будет обнаружена в элементе объема dV, расположенном в окрестности
:
в атомных процессах.
2
~(,,,)dxyztdVΨP
dP
того, что частица в
.
WΔ
волновой
, за
(, ,,) (, ,,) (, ,,)
Следовательно,
комплексно сопряженную величину, является плотностью вероятности.
Де Бройль постулировал, что свободное движение частицы с определенной энергией
Ψ=ΨΨ
yzt xyzt xyzt
2
∗
, где
∗
означает
Ψ
r
W
и импульсом
Условия, которым должна удовлетворять волновая функция. Физический
смысл волновой функции накладывает на нее некоторые условия. Поскольку значение
2
Ψ
, вычисленное в некоторой точке, пропорционально вероятности P обнаружения
частицы, описываемой функцией
пространству должен быть конечным, так как в любом случае частица где-то должна
быть. Обычно удобно считать, что значение
описывается волновой функцией вида:
r rr
,exp
rt A Wt pr
Ψ= − −
() ()
Ψ
, в этой точке, то интеграл от
i
⎡ ⎤
⎢ ⎥
h
⎣ ⎦
2
Ψ
в точности равно вероятности P
.
2
Ψ
по всему
обнаружения частицы, а не просто пропорциональна ей. В этом случае должно быть
справедливо соотношение:
112
∞
Ψ =
∫
−∞
2
1dV
,
Волновую функцию, для которой выполняется это соотношение, называют
нормированной, а само равенство – условием нормировки волновой функции.
Условие нормировки – это математическая форма записи утверждения, что частица
всегда где-то находится.
Ψ
Функция
должна удовлетворять естественным или стандартным условиям, т.е.
должна быть конечной, непрерывной вместе со своими первыми производными и
однозначной. Она должна быть
однозначной
, поскольку P может иметь только одно
значение в каждой точке пространства в определенный момент времени. Следующим
условием, которому должна удовлетворять как сама волновая функция, так и ее частные
производные по координатам, является их
И, наконец, волновая функция должна быть
Нормированная волновая функция определена с точностью до множителя
α
– любое действительное число, ввиду равенства
Задачей квантовой механики является нахождение волновой функции
непрерывность во всех точках пространства.
конечна
.
2
iα
e1
=
.
i
e
Ψ
частицы,
α
, где
свободное движение которой ограничено действием внешних сил.
Согласно представлениям квантовой механики задание волновой функции системы
есть полное и исчерпывающее описание этой системы. Это связано с тем, что
вероятностное поведение микрочастиц лежит в самой их природе.
68. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Задачей квантовой механики является нахождение волновой функции частицы,
движущейся под действием внешних сил. Уравнение, которому удовлетворяет волновая
функция, получило называние
волнового уравнения или уравнения Шредингера.
Как и все основные уравнения физики (например, законы Ньютона, уравнения
Максвелла), уравнение Шредингера не имеет вывода. Оно явилось, с одной стороны,
обобщением известных опытных данных, а с другой стороны, было великим научным
предвидением. Правильность уравнения Шредингера и толкование смысла
фигурирующей в нем волновой функции подтверждается огромным опытным
материалом современной физики.
113
2222
x
Ψx
x
∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ
hh
=++−Ψ
it m x y z
∂∂∂∂
⎛⎞
⎜⎟
2
222
⎝⎠
U
. (1)
Уравнение (1) называется
уравнением Шредингера.
Последнее уравнение принято записывать в виде:
Δ
Где
То, что уравнение Шредингера содержит лишь первую производную от
времени, связано с выражением
частицы в начальный момент времени, т.е. известна ее волновая функция
можно однозначно определить ее волновую функцию в любые последующие моменты
времени
− оператор Лапласа,который в декартовой системе координат имеет вид:
t > 0.
Если бы уравнение Шредингера содержало, например, вторую
временным волновым уравнением или временным
∂Ψ
hh
it m
∂
Δ= + +
принципа причинности
2
= ΔΨ − Ψ
U
2
222
∂ ∂∂
222
∂ ∂∂
yz
.
.
Ψ
: если известно состояние
,y,z,0
по
, то
производную от
момент времени было бы недостаточно знания волновой функции в начальный момент
времени.
Часто потенциальная энергия
Силы, действующие на частицу, а, следовательно, и
частицы. В этих случаях уравнение Шредингера (1) можно упростить, исключив всякую
зависимость от
Таким образом,
от времени,
Подставив в зависящее от времени уравнение Шредингера выражение для
сократив все уравнение затем на общий экспоненциальный множитель, получим:
Ψ
по времени, то для определения волновой функции в произвольный
U частицы явным образом не зависит от времени.
. Представим волновую функцию
t
(, ,,) (, ,)exp
Ψ= −
xyzt xyz i
Ψ
является произведением двух функций, одна из которых зависит
exp ( )
−
it
[]
hE
, а другая от положения частицы.
ψ
U зависят только от положения
Ψ
,y,z,t
в виде:
t
E
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
h
Ψ
и
2
114
m
Eψψ
U
()0
2
h
Δ +−=
Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний
A
A
A
A
A
A
стационарным уравнением Шредингера.
или
Волновое уравнение Шредингера играет в квантовой механике ту же роль, что
уравнение Ньютона в классической механике. Его можно было бы назвать уравнением
движения квантовой частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике –
ψ
это значит определить значение
пространства.
Так как уравнение Шредингера является уравнением второго порядка в частных
производных, то для его решения необходимо задать начальные и граничные условия.
69. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Оператором называется символическое обозначение математической операции,
- функции в каждый момент времени в каждой точке
которую надо совершить, чтобы из данной функции получить другую функцию.
ˆ
Если в результате применения оператора
же функция, умноженная на некоторое число
непрерывна, однозначна и конечна, то функция
ˆ
оператора
значений оператора называется его
оператор, то спектр его может быть и дискретным, и непрерывным.
Состояние квантовой частицы задаются не координатами и импульсами, а заданием
Ψ
-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля. Несмотря на то,
что сама по себе волновая функция описывает распределение по координатам, с ее
помощью можно определить распределение и по другим динамическим переменным.
Таким образом,
Основные постулаты квантовой механики.
, принадлежащей собственному значению λ. Совокупность собственных
спектром. Если
Ψ
-функция дает полную информацию о квантовой системе.
к некоторой функции u получается та
λ
, т.е.
u
ˆ
uu
называется собственной функцией
ˆ
– линейный дифференциальный
и при этом функция u
= λ
1) Состояние движения частицы задается волновой функцией Ψ.
2) Каждая динамическая переменная представляется оператором.
3) Волновая функция
4) При измерении числового значения некоторой динамической переменной,
описываемой оператором
K
,,λλ
12
, являющихся собственными значениями оператора
Ψ
подчиняется волновому уравнению Шредингера.
ˆ
, с определенной вероятностью получаются значения
ˆ
.
115
Среднее значение любой физической величины А определяется выражением:
A
A
x
x
x
A
A
A
B
)
)
A
*
ˆ
ˆ
где
Оператор координаты x :
– оператор физической величины А.
Основные операторы квантовой механики.
ˆ
x
=
∫
Adx= ΨΨ
,
ˆ
Оператор проекции импульса
Аналогично и для операторов
Оператор полной энергии
E
pi
р:
ˆ
=
h
i
x
∂
∂
Оператор проекций момента импульса частицы
∂∂
ˆ
Liz x
=− −
y
Оператор
выполняется равенство
⎛⎞
h
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
В квантовой механике применяются только линейные самосопряженные операторы.
ˆ
является самосопряженным, если для любых двух функций u и v
ˆ
Lix y
,
z
z
⎛⎞
h
=− −
⎜⎟
⎝⎠
∫ ∫
h
=−
∂
ˆˆˆ
ˆ
,, ,
yzp p
.
yz
.
t
∂ ∂
yx
∂ ∂
**
ˆˆ
udV uA dV=
vv
,
ˆ
Liy z
x
⎛⎞
h
=− −
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂
∂ ∂
zy
,
V
где интегрирование производится по всей области
переменных. Применение самосопряженных операторов в квантовой механике
обусловлено тем, что их собственные значения являются действительными числами.
Из свойств операторов может быть получено условие измеримости динамических
А
переменных: две физические величины
ˆ
операторы
выполняется равенство
Формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории
следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.
и
ˆ
, соответствующие этим величинам, коммутируют, т.е. если
ˆˆ
ˆˆ
Bu B Au=
(
70. КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
(
и В могут быть измерены одновременно, если
.
изменения независимых
116
Рассмотрим одномерное движение частицы в потенциальном поле, определенном
A
x
следующим образом (рис.1):
0, 0
Ux
()
⎧
=
⎨
⎩
при xl
,0
∞ ≤≥
при x и xl
<<
Подобное потенциальное поле называется
ямой (потенциальным ящиком). Такая модель часто используется для описания,
например, электронов в металле или нуклонов в ядре.
Так как энергия частицы не может быть бесконечной,
то частица не может находиться вне ящика, поэтому ее
волновая функция на стенках ящика обращается в ноль:
(0) ( ) 0l==ψψ
Это требование служит
решения уравнения Шредингера внутри потенциальной
ямы. Внутри ящика
Шредингера
имеет вид:
−=
2dmdx
граничным условием для
стационарное уравнение
2
2
h
ψ
2
.
ψE
,
бесконечно глубокой потенциальной
U
0
l
Рис.1.
E
Где
где
где
числом
условиям только при дискретных значениях квантового числа
частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме оказывается
– энергия частицы.
sin( )
Решение такого дифференциального уравнения имеет вид:
E
k =
= 1,2,3,….. − любое целое число, большее нуля. Оно называется
n
.
Условие (1) позволяет найти возможные значения энергии частицы
Видно, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие граничным
. Используя граничное условие,
2
h
E
=
n
2m
π
2
22
h
ml
() 0l =ψ
n
2
получим
2
.
ψ
kl n=π
n.
Таким образом, энергия
квантованной.
kx=+α
, (1)
квантовым
,
117
Состояние частицы с наименьшей возможной энергией называется
A
основным, все
остальные состояния
− возбужденными. Энергия основного состояния частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме:
Волновая функция, отвечающая
n
-ому уровню энергии, имеет вид
ψ
A
Постоянную
определим из условия нормировки
n
n=4
22
h
π
=
E
1
2ml
=
A
sin
=
n
nn
.
2
π
n
x
.
l
l
2
ψ
n
∫
0
dx =
1
:
2
.
l
Нормированные волновые
ψ
функции
плотностями вероятностей
вместе с
n
n=3
n=2
n=1
Рис. 2. Графики собственных функций
(слева) и распределение плотности вероятности
(справа) положения частицы в потенциальном ящике
уровне с
в следующем состоянии с
n = 1 имеет большую вероятность нахождения в середине ящика, в то время как
= 2 частица никогда не может находиться в этом месте.
n
ψ
ψ
2
ψ
изображены на рис. 2. В
n
любом случае на границах
ящика при
2
ψ
=
n
x = 0 и x = l,
0
. Вероятность
нахождения частицы в
определенной точке внутри
ящика может сильно
n
n
меняться при разных
2
квантовых числах.
Например, частица на самом
низком энергетическом
Рассмотрение простейшей квантовомеханической системы приводит к следующим
выводам, имеющим, совершенно общий характер:
энергия микрочастицы, движущейся в потенциальной яме
ряд значений
;
, пробегает дискретный
даже в основном состоянии частица не находится в состоянии полного покоя;
118
дискретный характер энергетических уровней проявляется при малой массе частиц
x
)
x
и малых размерах области, в которой происходит движение;
при больших значениях квантовых чисел квантовомеханические соотношения
переходят в формулы классической физики.
71. ПРОХОЖДЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ
ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
Потенциальным барьером
энергия больше, чем в окружающих областях.
Рассмотрим потенциальный барьер конечной ширины:
U
U
0
E
2
0l
Рис. 1.
называется область пространства, где потенциальная
0, 0,
⎧
=
U
⎨
Uxl
,0
0
⎩
Величина
барьера.
Если классическая частица имеет энергию
она отражается от такого барьера, вероятность проникнуть
за барьер у нее равна нулю. При
частица проходит над барьером, в этом случае вероятность
отразиться от барьера для нее равна нулю.
Квантовая частица может без изменения своей
U
< >
xl
≤≤
называется
0
.
высотой потенциального
E>
U
классическая
0
U<E
, то
0
энергии оказаться за барьером даже если ее энергия меньше
UE>
при условии
непрерывности волновой функции и ее первых производных.
Проникновение квантовой частицы за потенциальный барьер, при условии, что
энергия частицы меньше высоты барьера, называется
Вероятность того, что частица окажется за барьером, называется
прозрачности D
Здесь
барьера
прозрачности также резко уменьшается с ростом массы частицы.
l
– масса квантовой частицы. Из (1) следует, что D зависит от ширины
m
и от того, насколько он выше энергии частицы, т.е. от
. Этот вывод следует из решения уравнения Шредингера и условия
0
туннельным эффектом.
. В случае прямоугольного барьера (рис. 1)
≈− −
⎡ ⎤
exp 8DlmU
⎣ ⎦
h E
() ( )
0
U
и отразиться от барьера
0
коэффициентом
. (1)
U −E
(
0
. Коэффициент
119
Потенциальный барьер произвольной формы можно приближенно представить в
)
)
dx
виде последовательности элементарных прямоугольных барьеров шириной
каждого из них можно воспользоваться формулой (1) и затем проинтегрировать по всей
ширине барьера. Соответствующий расчет дает:
x
⎡ ⎤
exp 2 2
DmUdx
≈− −
() ( )
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
h E
∫
x
1
0
.
. Для
Туннельный эффект
классической физике. В соответствии с представлениями классической физики внутри
барьера происходит нарушение закона сохранения энергии. В квантовой механике
согласно принципу неопределенности деление полной энергии на кинетическую и
потенциальную не имеет смысла, т.к. координата и импульс квантовой частицы не могут
быть измерены одновременно.
значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных
Прохождение частиц через потенциальный барьер связано с их волновыми
свойствами и аналогично проникновению волн через тонкую прослойку, разделяющую
две оптически более плотные среды, когда с точки зрения лучевой оптики должно иметь
место явление полного внутреннего отражения.
Туннельный эффект позволяет объяснить такие явления как холодная эмиссия
электронов из металла, радиоактивный альфатуннельных диодов.
– чисто квантовое явление, не имеющее аналога в
Поэтому, хотя полная энергия и имеет определенное
U
и E.
распад. Это явление используется в работе
72. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Квантовый гармонический осциллятор
Ux
массы
m с потенциальной энергией
(
, такой же, как у классического осциллятора:
(
κ
где
малых колебаний систем около положения равновесия, например, колебаний атомов в
узлах кристаллической решетки или колебаний атомов около их положения равновесия в
молекулах.
энергии получим:
– постоянная. Модель квантового осциллятора особенно полезна при исследовании
По аналогии с классической теорией положим
определяется как поведение частицы
2
2Ux x=κ
,
mω =κ
. Тогда для потенциальной
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]