Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Страхование жизни и здоровья. Учебное пособие
.pdf
размер полученных страховых премий должен быть достаточен для
формирования страховых резервов, из которых производятся страховые выплаты, а также запасных фондов на случай непредвиденных расходов;
тариф должен покрывать расходы страховщика и обеспечивать прибыль.
По накопительным видам страхования (страхование жизни) для расчета
нетто-ставок используются показатели смертности и продолжительности жизни
населения, рассчитанные по таблицам смертности, а также нормы доходности
от инвестирования поступивших страховых нетто-платежей, рассматриваемых
в качестве инвестиционных ресурсов страховщика. Расчеты страховых тарифов
по страхованию жизни получили название актуарных, хотя в последнее время
это понятие относится также и к расчетам по рисковым видам страхования.
Актуарные расчеты – это система математических и статистических методов, с помощью которых определяется финансовые взаимоотношения страховщика и страхователя по долгосрочному страхованию жизни.
Построение тарифов по страхованию жизни имеет следующие особенности:
1. Расчеты производятся с использованием демографической статистики
и теории вероятности.
2. При расчетах применяются способы долгосрочных финансовых исчис-
лений.
3. Тарифные ставки-нетто состоят из нескольких частей, каждая из кото-
рых призвана сформировать страховой фонд по одному из видов страховой ответственности, включенных в условия страхования.
Чтобы исчислить объем страхового фонда, нужно иметь сведения о том:
сколько лиц, из числа застрахованных, доживет до окончания срока дей-
ствия их договоров страхования и сколько из них каждый год может умереть;
у скольких из них и в какой степени будет утрачена трудоспособность
или наступит стойкое расстройство здоровья.
Тарифная ставка определяет, сколько денег каждый из страхователей
должен внести в общий страховой фонд с единицы страховой суммы. Поэтому
тарифы должны быть рассчитаны так, чтобы сумма собранных взносов оказалась достаточной для выплат, предусмотренных условиями страхования.
Таким образом, тарифная ставка - это цена услуги, оказываемой страховщиком населению, т. е. цена страховой защиты. Тарифные ставки в страхований жизни состоят из нескольких частей. Рассмотрим, например, смешанное
страхование жизни. В нем объединяется несколько видов страхования, которые
могли бы быть и самостоятельными:
1) страхование на дожитие;
2) страхование на случай смерти;
3) страхование на случай утраты трудоспособности.
По каждому из приведенных видов при помощи тарифа создается страховой фонд, поэтому тарифная ставка в смешанном страховании состоит из трех
частей, входящих в нетто-ставку, и четвертой части – нагрузки. Около 90 % со-
61
ставляет нетто-ставка, более 10 % – нагрузка. В составе нетто-ставки 97 % приходится на нетто-ставку по дожитию и 3 % – на остальные частные нетто-ставки.
Аналогично складывается структура тарифных ставок и по другим видам
страхования жизни.
Своеобразие операций страхования жизни проявляется при построении
нетто-ставки. Условия страхования жизни обычно предусматривают выплаты в
связи с дожитием застрахованного до окончания срока действия договора страхования или в случае его смерти в течение этого срока. Кроме того, предусматриваются выплаты в связи с потерей здоровья вследствие травмы и некоторых
болезней. Таким образом, для исчисления объема страхового фонда нужно располагать сведениями о том, сколько лиц из числа застрахованных доживет до
окончания срока действия их договоров страхования и сколько из них каждый
год может умереть, у скольких из них и в какой степени наступит потеря здоровья. Количество выплат, помноженное на соответствующие страховые суммы,
позволит определить размеры предстоящих выплат, т. е. появится возможность
узнать, в каких размерах нужно будет аккумулировать страховой фонд.
Продолжительность жизни отдельных людей колеблется в широких пределах. Она относится к категории случайных величин, численное значение которых зависит от многих факторов, настолько отдаленных и сложных, что, казалось бы, их невозможно выявить и изучить. Теория вероятности и статистика
исследуют случайные явления, имеющие массовый характер, в том числе
смертность населения. Установлено, что демографический процесс смены поколений, выражаемый в изменении уровня повозрастной смертности, подчинен
закону больших чисел, столь однообразному в своих проявлениях и столь достоверному в результатах, что он в состоянии служить основой финансовых
расчетов в страховании.
Демографической статистикой выявлена и выражена с помощью математических формул зависимость смертности от возраста людей. Разработана специальная методика составления так называемых таблиц смертности, где на конкретных цифрах показывается последовательное изменение смертности вслед
за возрастом. Этими таблицами страховые организации пользуются для расчета
тарифов.
Кроме закономерностей, связанных с процессом доживаемости и смертности, при построении тарифов учитывается долгосрочный характер операций
страхования жизни, поскольку эти договоры заключаются на длительные сроки: 3 и более лет. В течение всего времени их действия (или в самом начале
срока страхования при единовременной уплате) страховые органы получают
взносы. Выплаты же страховых сумм производятся на протяжении срока страхования или по истечении определенного периода от начала действия договора,
если наступит смерть застрахованного или он утратит здоровье.
Временно свободные средства, аккумулируемые страховой организацией,
используются как кредитные ресурсы. За пользование ими уплачивается ссудный процент. Но если при сберегательной операции доход от процентов присо-
62
единяется ко вкладу, то в страховании на сумму этого дохода заранее уменьшаются (дисконтируются) подлежащие уплате взносы страхователя. Для того
чтобы заранее понизить тарифные ставки на тот доход, который будет складываться в течение ряда лет, используются методы теории долгосрочных финансовых исчислений.
В накопительном страховании страховые тарифы строятся на основании
таких показателей, как:
демографическая статистика (средняя продолжительность жизни и
уровень смертности). Эти показатели рассчитываются с помощью таблиц
смертности. Поскольку в основе своей страхование жизни опирается на риск
наступления смерти, величина страхового тарифа напрямую зависит от возраста, пола и состояния здоровья застрахованного лица;
расходы страховщика;
инвестиционный доход. В зависимости от уровня доходности инвести-
ционных инструментов находится продолжительность периода накопления необходимой страховой суммы;
необходимость формирования запасных резервов страховщика.
4.2. Демографические основы страхования жизни
В страховании жизни случайной величиной является не величина убытка,
а продолжительность жизни конкретного застрахованного человека, которую
можно количественно оценить статистически, например, с помощью таблиц
продолжительности жизни или, как их обычно называют в страховании, таблиц
смертности, либо на основе математического моделирования.
В теории вероятностей стохастическая (т. е. случайная зависимость)
природа случайной величины T (в рассматриваемом случае – продолжительность жизни) может быть описана функцией распределения F(x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина T не больше, чем число
x (интервал времени):
𝐹(𝑥) = 𝑝(𝑇 ≤ 𝑥) .
В актуарной математике применяют дополнительную функцию
𝐹 (𝑥)=1-F(𝑥),
где 1-F(x) – вероятность того, что человек дожвет до x лет.
Эта функция s(x) = 1-F(x) называется функцией выживания (survival function).
Показателем dx рассчитывают число умерших на интервале (x, x+1) из
числа исходной группы. График этой функции кривой смертей (the curve of
deathe).
Если перейти от абсолютного числа умерших к их относительному числу
𝜇x (интенсивность смертности, the force of mortality)
𝜇𝑥 = 𝑓(𝑥) 1−𝐹(𝑥),
63
то получим аналитическую модель для расчета продолжительности жизни.
Полностью такой модели разработать не удалось из-за множества факторов,
влияющих на продолжительность жизни. Для создания простейшей математической модели реального населения используется гипотеза стационарного
населения, согласно которой смертность и рождаемость данного населения постоянны и не зависят от времени, а миграционные процессы исключаются.
В страховании жизни более распространены статистические методы
оценки численных параметров, связанных с продолжительностью жизни, результаты которых обычно представляют в виде так называемых таблиц смертности. Простейшая таблица смертности представляет собой два столбца, содержащих основные данные для последующих расчетов:
1) в первом указывается возраст х лет (от 0 до w лет с шагом один год, где
w – предельный возраст таблицы смертности);
2) во втором (или далее) для каждого возраста x приводится число лиц lx
из базового числа l0 (обычно принимают l0 = 100 000 новорожденных), доживающих до указанного возраста х лет.
Кроме того, в дополнительных столбцах таблицы смертности часто при-
водятся производные от основных показателей:
а) число лиц dx, умирающих при переходе от возраста х лет к возрасту
(х + 1) год
𝑑𝑥
= 𝑙𝑥 –
𝑙𝑥
+1;
б) вероятность смерти qx и 𝑝x дожития при переходе от возраста х лет к
возрасту (x + 1) год
𝑞𝑥
= 𝑑𝑥 𝐿𝑥 ,
𝑝(𝑥) = 1 – 𝑞𝑥;
в) вероятность 𝑝𝑥+𝑛 дожития лица в возрасте x лет до возраста (x + n) год
𝑝𝑥 + 𝑛 = 𝑙𝑥 + 𝑛 /𝑙𝑥;
г) число лиц lx, доживших до возраста x лет;
д) ожидаемая продолжительность лет T предстоящей жизни лица возрас-
том х лет
𝑇 = ∑ 𝑝𝑥 + 𝑖 𝑛𝑤 𝑖+1,
где nw – последняя строка в таблице смертности, соответствующая предельному возрасту w лет.
Обычно таблицу смертности дополняют вспомогательными (коммутационными) числами, позволяющими рассчитывать тарифы по страхованию жизни
с учетом нормы доходности, например
𝐷𝑥 = 𝑙𝑥 × 𝑣 𝑥,
где 𝑣 – дисконтирующий множитель.
64
Таблицы смертности составляются как для всего населения (общие таб-
Возраст x
(полное число
исполнившихся
лет)
Вероятность
смерти в интерва-
ле возрастов от x
до x+1
Число до-
живших lx до
возраста x лет
Число умер-
ших dx в воз-
расте x лет
Ожидаемая продолжительность
предстоящей жиз-
ни, лет
0
0,00 968
100 000
968
61,79
1
0,00 095
99 032
95
61,39
2
0,00 066
98 937
66
60,45
3
0,00 053
98 872
52
59,49
… … … … …
63
0,04 016
53 027
2 130
12,64
64
0,04 351
50 897
2 215
12,15
65
0,04 054
48 683
1 974
11,68
66
0,05 163
46 709
2 412
11,15
… … … … …
83
0,13 714
10 550
1 447
4,95
84
0,15 347
9 104
1 397
4,65
85
0,15 464
7 706
1 192
4,40
лицы), так и для отдельных его групп (селективные таблицы). Наряду со статистическими источниками (результаты переписи населения) применяются и моделирование с использованием различных аппроксимаций продолжительности
жизни и кривой смертности.
Таблица смертности (также таблица дожития) – упорядоченный по возрасту ряд чисел, характеризующий порядок вымирания поколения людей, один
из важнейших инструментов демографической статистики. Таблицы смертности составляют:
по полу;
по типу поселения (таблицы смертности городского и сельского насе-
ления);
полные (включающие все возраста) и краткие (включающие возраста 0,
1, 5, 10, 15,…) таблицы смертности;
таблицы смертности условного и реального поколения (последние рас-
считываются крайне редко и только в научных целях).
Примерный вид селективной таблицы смертности для мужского населения России.
Т а б л и ц а 6. Выдержки из таблицы смертности населения России (мужчины)
Статистические данные показывают, что примерно 1 % новорожденных,
входящих в совокупность дожития, умрут на первом году жизни, примерно 48 %
из группы новорожденных доживут до возраста 65 лет, а максимальное число
смертей в группе ожидается в возрасте между 60 и 70 годами.
Считается, что первые сводные математические таблицы смертности со-
ставил английский астроном Эдмунд Галлей (1656–1742). Начиная с 1859 г.
таблицы смертности в Англии рассчитывались с помощью компьютеров. Первые компьютеры были механическими – автоматические многоразрядные ма-
65
шины. Одним из первых программистов механических компьютеров была Ада
Байрон, дочь известного поэта лорда Байрона.
4.3. Актуарные расчеты в страховании жизни
В странах с развитой системой страхования количество договоров страхования жизни достигает 70 % среди всех страховых договоров. В нашей стране количество таких договоров пока составляет лишь 6 %.
В отличие от других видов страхования договоры страхования жизни
представляют собой договоры о проведении специальных финансовых операций и, как правило, предусматривают обязательства страховщика по выплате
страховой суммы по окончании срока действия договора, или связаны с накоплением страховой суммы в течение срока действия договора.
Планирование и проведение финансовых операций по страхованию жизни основано на выяснении закономерностей, связанных со временем наступления смерти среди различных групп населения. На эти закономерности влияют
национальные, политические, природные, климатические, экологические, социальные, экономические, профессиональные и другие факторы.
Наиболее сильная корреляция наблюдается между временем наступления
смерти и возрастом человека. Выяснение характера этой зависимости и является базисом для научно обоснованной организации долгосрочного страхования
жизни.
Источником информации, необходимой для проведения расчетов по
страхованию жизни, являются таблицы смертности. Они составляются на основании статистических данных о возрастном составе и смертности населения.
Последняя строка таблицы смертности соответствует предельному возрасту w. Предполагается, что количество людей, возраст которых (полное число
лет) превышает w, равно нулю.
Статистические исследования показали, что смертность среди мужчин
выше, чем смертность среди женщин, вследствие чего у женщин более высокая
продолжительность жизни. Тем не менее, во многих развитых странах используется единая таблица смертности для мужчин и женщин и единая система тарифных ставок.
Российские страховые компании устанавливают различные тарифные
ставки для мужчин и женщин.
В страховании жизни используются следующие термины, обозначения и
формулы, которые для удобства сведены в табл. 7.
66
Т а б л и ц а 7. Термины и обозначения
Термин
Символ
Формула
1. x
Возраст человека (число полных лет)
2. 0l
Корень таблицы смертности (число родившихся людей,
обычно 100 000, но может быть и другим)
3. xl
Число людей из числа 0l , доживших до возраста x
4. xd
Число людей, умерших в возрасте x
xd
=
1 xx ll
5. xq
Вероятность для человека в возрасте x умереть в q течение
года
x
xx
x
l
ll
q
1
6. xp
Вероятность для человека в возрасте x дожить до возраста
x + 1, т. е. прожить еще год
x
x
x
l
l
p
1
7.
xnp
Вероятность для человека в возрасте x дожить до возраста
x + n , т. е. прожить еще n лет
x
nx
xn
l
l
p
8.
xnq
Вероятность для человека в возрасте x умереть в течение
следующих n лет
x
nxx
xn
l
ll
q
9. xe
Округленное значение средней продолжительности жизни
xe
=
xw
k
kx
xx
Tx
l
ll
1
1
Возраст
Мужчины
Женщины
x
xl
xd
xq
xl
xd
xq
0
100 000
2047
0,0204
100 000
1 512
0,0151
1
97 953
200
0,0020
98 488
161
0,0016
2
97 753
113
0,0011
98 327
98
0,0009
3
97 640
85
0,0008
98 229
69
0,0007
4
97 555
78
0,0008
98 160
57
0,0005
5
97 477
74
0,0007
98 103
45
0,0004
6
97 403
69
0,0007
98 058
41
0,0004
7
97 334
62
0,0006
98 017
39
0,0003
8
97 272
57
0,0005
97 978
39
0,0003
9
97 215
57
0,0005
97 939
37
0,0003
10
97 158
54
0,0005
97 902
31
0,0003
11
97 104
54
0,0005
97 871
31
0,0003
12
97 050
56
0,0005
97 840
31
0,0003
13
96 994
63
0,0006
97 809
35
0,0003
14
96 931
70
0,0007
97 774
38
0,0003
15
96 861
105
0,0010
97 736
47
0,0004
16
96 756
151
0,0015
97 689
68
0,0006
17
96 605
208
0,0021
97 621
92
0,0009
18
96 397
261
0,0027
97 529
92
0,0009
19
96 136
299
0,0031
97 473
93
0,0009
20
95 837
351
0,0036
97 344
93
0,0009
21
95 486
379
0,0039
97 251
94
0,0009
22
95 107
388
0,0040
97 157
95
0,0009
23
94 719
375
0,0039
97 062
98
0,0010
Для дальнейшего анализа, ознакомимся с таблицей смертности (табл. 8).
Т а б л и ц а 8. Таблица смертности мужчин и женщин
67
Продолжение табл. 8
Возраст
Мужчины
Женщины
x
xl
xd
xq
xl
xd
xq
24
94 344
392
0,0041
96964
98
0,0010
25
93 952
441
0,0046
96 866
99
0,0010
26
93 511
473
0,0050
96 767
107
0,0011
27
93 038
529
0,0056
96 660
132
0,0013
28
92 509
543
0,0058
96 528
137
0,0014
29
91 966
547
0,0059
96 391
138
0,0014
30
91 419
597
0,0065
96 253
149
0,0015
31
90 822
639
0,0070
96 104
164
0,0017
32
90 183
695
0,0077
95 940
172
0,0017
33
89 488
757
0,0084
95 768
180
0,0018
34
88 731
797
0,0089
95 588
197
0,0020
35
87 934
832
0,0094
95 391
218
0,0022
36
87 102
905
0,0103
95 173
234
0,0024
37
86 197
907
0,0105
94 939
250
0,0026
38
85 290
940
0,0110
94 689
267
0,0028
39
84 350
1006
0,0119
94 422
279
0,0029
40
83 344
1145
0,0137
94 143
310
0,0032
41
82 199
1198
0,0145
93 833
344
0,0036
42
81 001
1194
0,0147
93 489
382
0,0040
43
79 807
1208
0,0151
93 107
417
0,0044
44
78 599
1212
0,0154
92 690
458
0,0049
45
77 387
1292
0,0166
92 232
449
0,0048
46
76 095
1394
0,0183
91 783
481
0,0052
47
74 701
1379
0,0184
91 302
512
0,0056
48
73 322
1432
0,0195
90 790
547
0,0060
49
71 890
1536
0,0213
90 243
571
0,0063
50
70 354
2001
0,0284
89 672
680
0,0075
51
68 353
2107
0,0308
88 992
847
0,0095
52
66 246
2156
0,0325
88 145
884
0,0100
53
64 090
2143
0,0334
87 261
966
0,0110
54
61 947
2088
0,0337
86 295
959
0,0111
55
59 859
2028
0,0338
85 336
949
0,0111
56
57 831
1974
0,0341
84 387
952
0,0112
57
55 857
1917
0,0343
83 435
954
0,0114
58
53 940
1870
0,0346
82 481
1 009
0,0122
59
52 070
1824
0,0350
81 472
1 012
0,0124
60
50 246
2127
0,0423
80 460
1 121
0,0139
61
48 119
2458
0,0510
79 339
1 334
0,0168
62
45 661
2395
0,0524
78 005
1 499
0,0192
63
43 266
2309
0,0533
76 506
1 621
0,0211
64
40 957
2234
0,0545
74 885
1 745
0,0233
65
38 723
2167
0,0559
73 140
1 785
0,0244
66
36 556
2055
0,0562
71 335
1 812
0,0253
67
34 501
2009
0,0582
69 543
1 834
0,0263
68
32 492
1955
0,0601
67 709
1 844
0,0272
68
Окончание табл. 8
Возраст
Мужчины
Женщины
x
xl
xd
xq
xl
xd
xq
69
30 537
1933
0,0633
65865
1 914
0,0290
70
28604
1933
0,0675
63 951
2 075
0,0324
71
26 671
1902
0,0713
61 876
2 198
0,0355
72
24 769
1820
0,0734
59 678
2 375
0,0397
73
22 649
1830
0,0785
57 303
2 515
0,0438
74
21 146
1735
0,0820
54 788
2 712
0,0495
75
19 411
1782
0,0918
52 076
2 987
0,0573
76
17 629
1831
0,1038
49 089
3 173
0,0646
77
15 798
1762
0,1115
45 916
3 337
0,0726
78
14 036
1734
0,1235
42 579
3 538
0,0830
79
12 302
1687
0,1371
39 041
3 399
0,0870
80
10 615
1461
0,1376
35 642
3 301
0,0926
81
9 154
1283
0,1401
32 341
3 287
0,1016
82
7 871
1153
0,1464
29 054
3 224
0,1109
83
6 718
1078
0,1604
25 830
3 156
0,1221
84
5 640
960
0,1702
22 674
3 151
0,1389
85
4 680
861
0,1839
19 523
3 001
0,1537
86
3 819
791
0,2071
16 522
2 919
0,1766
87
3 028
640
0,2113
13 603
2 618
0,1924
88
2 388
529
0,2215
10 985
2 302
0,2095
89
1 859
431
0,2318
8 683
1 979
0,2279
90
1 428
348
0,2436
6 704
1 659
0,2474
91
1 080
275
0,2546
5 045
1 355
0,2685
92
805
208
0,2583
3 690
1 073
0,2907
93
597
158
0,2644
2 617
823
0,3144
94
439
138
0,3143
1 794
610
0,3400
95
301
95
0,3156
1 184
434
0,3665
96
206
66
0,3203
750
296
0,3946
97
140
45
0,3214
454
192
0,4229
98
95
32
0,3368
262
119
0,4541
99
63
22
0,3492
143
70
0,4895
100
41
41 1 73
73
1
40l
41l
x0
4140
40
l
ll
q
Рассмотрим примеры использования статистических данных.
П р и м е р 1. На основе статистических данных найдем вероятность для
мужчины 40 лет умереть в течение года.
Решение. Воспользовавшись Таблицей смертности (табл. 8), находим:
= 83344,
Тогда из формулы получаем
= (83 344 – 82 199)/ 83 344 ≃ 0,0137.
Ответ: 0,0137.
= 82199.
69
40l
60l
40
60
4020
l
l
p
344 83
246 50
65e
35
1k
k65
65
1
65
T65
l
ll
П р и м е р 2. На основе статистических данных найдем вероятность для
мужчины 40 лет дожить до 60 лет.
Решение. По таблице смертности (мужчины) находим
= 83 344,
= 50 246.
Тогда из формулы получаем
=
= 0,6029.
Ответ: 0,6029.
П р и м е р 3. Найдем округленную среднюю продолжительность оставшейся жизни для мужчины в возрасте 65 лет.
Решение. Подставив данные из таблицы смертности в формулу для определения xe и, произведя расчет, получим
=
= 12,24 года.
П р и м е р 4. Мужчина (страхователь) в возрасте 40 лет, родившийся
31декабря, заключил со страховщиком 31 декабря 2006 года страховой договор
на дожитие сроком на 10 полных лет со страховой суммой 300 000 рублей. По
условиям договора страховая премия вносится в рассрочку при помощи одинаковых страховых взносов, осуществляемых 1 января каждого года в период
действия договора. За пользование рентными суммами страховщик начисляет
на них процентные суммы по схеме простых процентов с годовой процентной
ставкой 5 %. В случае смерти страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается, а выгодоприобретателю выплачивается сумма
накопленных к этому моменту страховых платежей (без начисленных процентов). В случае дожития страхователя до указанного в договоре срока выгодоприобретателю выплачивается страховая сумма. Найти величину страхового
взноса.
Решение. Обозначим через V размер страхового взноса. В случае «дожития» на первый взнос процентные деньги начисляются в течение 10 лет, а за
каждый год наращивается 5 %. Поэтому к 31 декабря 2016 года первый взнос
превращается в сумму
V1 = V (1 + 0,05 10) = 1,5
V.
На второй взнос процентные деньги начисляются в течение 9 лет, и к 31
декабря 2013 года он превращается в сумму
V2 = V (1 + 0,05 9) = 1,45 V.
Третий взнос превращается в сумму
V3 = V (1 + 0,05 8) = 1,4 V.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]