Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
11
WW
xd
1
1
22
WW
yd
1
x
ky
1
11
xy
11
11
WWyd
2
x
kx
1
12
xy
Глава 4. Линейные и нелинейные преобразования случайных величин
Следовательно,
81
,1 ,
YY YY YY
12 12 12
yy xdyWyy
11 11 11
Или
k(x1, y2) = x1 + y2 т.к. x1 = y1 – y2 = j1(y1, y2)
(т.е. мы заменяем y1 на выражение, содержащее x1):
1122
x
xy
12
'
.
x
1
,,
kxyy
Следовательно
,1 ,
YY YY YY
12 12 12
3. Произведение: f (Y1, Y2) = Y1 · Y
xy
1
,
11
xyydyWxy
1222 12
2
, т. е. мы заменяем y2 на выражение, содержащее x1.
Тогда
,,
ykyx
11 11
'
x
1
x
1
y
1
(опять же берём значение по модулю).
Соответственно,
.
y
y
.
Или
,
yy
12
1
т.к. x1 = y1 · y2 (т.е. мы заменяем y1 на выражение,
содержащее x1).
Тогда
kxyy
1122
x
1
,
YY YY
12 12
,,
yy
'
x
1
x
1
.
y
1
.
y
2
82
22
22
WW yd
yy
2
Y
1
y
ky
1
11
11
yy
xx
11
/11
WWyd
2
y
x
1
22
WW
12
YY
WW
Случайные процессы
Соответственно,
YY YY
12 12
x
1
,
1
.
y
1. Частное:
,
fYYY
12
1
,
xx
11
1
, т. е. мы заменяем y2 на выражение, содержащее x1:
,,
ykyx
11 11
'
x
.
2
x
1
Соответственно,
YY YY
12 12
yy
,
x
1
.
y
2
x
1
Или
k(x1, y2) = x1y2 (т.е. мы заменяем y1 на выражение содержа-
1
щее x
, т.к.
)
1
,
1
y
,,
kxyy
1122
x
'
xy y
12 2
x
1
.
Соответственно,
,
/122
YY YY
12 12
xy yydy
.
Для независимых случайных величин имеем:
Поэтому все перечисленные выше выражения принимают
вид
1) сумма:
12
W
= W
Y1Y
2
xyW dy
1222YY
Y
1
· W
.
Y
2
y
,
21
WW
1111
WW
12
22
YY
WW
11
x
WW
22
22
x
WW
yy
1
WW
2222
WW
1
ni
n
YX
i
Глава 4. Линейные и нелинейные преобразования случайных величин
83
YY YY
12 12
2) разность:
YY YY
12 12
YY
12
3) произведение:
YY YY
12 12
YY YY
12 12
4) частное:
/1
YY YY
12 12
yW xydy
11
yW yxdy
xyWydy
12
yW dy
1
yW dy
1
yy
Wy dy
yy
x
11
11
x
1
;
,
;
1
,
1
;
,
2
1
Особое практическое значение имеет случай суммирования,
т.к. из него получается известная задача «аддитивная смесь полезного сигнала и шума». Кроме того, возможна ситуация, когда
количество слагаемых будет больше двух: в этом случае рекомендуется воспользоваться аппаратом характеристических функций: сначала находим характеристическую функцию суммы независимых случайных величин:
Далее находим с помощью обратного преобразования Фурье
/1
YY YY
12 12
YY
12
xy Wyydy
ju ju
...
.
.
84
nn
Wejudu
мат.
не-
2
д
,,
kk
kk
,
12
12
,,
ковариационная функц
jzij
zz
mp
XY
Случайные процессы
1
YY YYYY
12 12
... ...
2
juy
,
где y – значение случайной величины, представляющей собой
сумму случайных величин: y1 + y2 + ... + yn.
Теперь, если известны функциональные преобразова-
ния двух случайных величин X и Y, например z1 = g1(X, Y) и
z2 = g2(X, Y), то для определения числовых характеристик функ-
ций z1 и z2 совсем необязательно искать совместную плотность
распределения вероятности W
следующие формулы:
mgxy p
zkij ij
k
ожидание
ретных случайныхв еличин,
mgxyWxydxdy
прерывных случайныхв еличин,
ij
zkXY
k
(z1, z2) – можно использовать
z1,z
2
, для диск-
,,
для
где zk – функциональное преобразование для X и Y (т.е.
z1 = g1(X, Y), z2 = g2(X, Y) и т. д.), pij – вероятность совместного
появления значений xi и yi,
,
2
исперсия
Dgxy mp
zkij zij
ij
Dgxy mWxydxdy
zkij zXY
Kgxy mgxy
zz ij zi
12
ия
Kgxy mgxy m
zz
12
Основные свойства числовых характеристик:
где с – неслучайное значение:
E{X ± Y } = E{X } ± E{Y }.
ij
12
,,
12
Wxy dxdy
,
E{c} = c;
E{cX}= cE{X },
11
nn
ii
ii
Ea
Xb
Da
Xa
EX
EX
Глава 4. Линейные и нелинейные преобразования случайных величин
Для линейного преобразования
85
Xb aE
ii
,
где ai и b – неслучайные коэффициенты.
Если случайные величины X и Y коррелированы,
E{XY} = E{X}E{Y } + KXY.
Если случайные величины X и Y некоррелированы,
E{XY} = E{X}E{Y }.
Также справедливо
D(c) = 0,
D(cX) = c2D(X ),
s(cX ) = | c |s(X ).
Для любых случайных величин (коррелированных и нет)
D(X ± Y) = D (X ) + D(Y ) ± 2KXY.
Для линейного преобразования
nn
Xb aD
ii ii kl kl
11
ii kl
2
2
aK
.
Для независимых случайных величин
D(XY ) = D(X )D(Y ) + m
2
D(Y ) + m
X
2
D(X).
Y
Для двух независимых случайных величин X и Y, подчиняющихся нормальному закону распределения с одинаковыми параметрами – т и D, справедливо равенство
D
max,
Ym
,
Для двумерной случайной величины (случайного вектора)
(ξ1, ξ2), которая подчинена нормальному распределению с параметрами m = 0, D = 1, K
D
min,
ξ1ξ
Ym
= r, справедливы равенства
2
.
86
11
0a
2
P
1
P
x1E
22
rx
2
g
t
22
xy
XY
Wx
1
D
22
22
XY
yy
XY
Wx
Случайные процессы
12
0 arccos
12
ma
12
rcsin
,
,
.
Cуществует понятие т. н. круговой симметрии для совместной функции плотности распределения вероятности, если она
(функция) зависит только от расстояния между рассматриваемой точкой и началом координат, т.е.
WXY(x, y) = WX(x)WY(y) = g(r) (рассматриваем случай незави-
симых случайных величин),
где
y
.
Тогда
r
2
,
где
rAe
gr
1
r
gr
cons
.
А совместная функция распределения вероятности –
2
,
yAe
.
Причём
В этом случае случайные величины X и Y распределены совместно по нормальному закону с нулевым мат. ожиданием и
одинаковой дисперсией D.
Если случайные величины X и Y имеют совместную функцию распределения вероятности по нормальному закону:
ye
,
XY
.
21
1
21
2
1
xx
2
2
XY
,
X
Z
Y
22
YX
Wz
nn
Wx
ud
12
Wx
ed
,1
1
Wxyy
x
Глава 4. Линейные и нелинейные преобразования случайных величин
87
то случайная величина
имеет функцию плотности распре-
деления вероятности Коши:
z
z
XY
X
Y
1
2
1
.
2
2
Ещё раз обратимся к теоретической части по законам рас-
пределения и моментным функциям:
,,
xx
12
1
n
2
n
ju x
ju xjux
ju ju ju ee edud
,,,
12 12
XY
11 22
nn
u
Соответственно, если известна характеристическая функция
qZ(ju) линейной суммы z = ax + by двух случайных величин X и Y:
qZ(ju) = qXY(ju1, ju2),
то можно однозначно определить совместную функцию распределения вероятности:
,,
XY X
1
yjujue
2
4
12
ju ax ju by
12
udu
.
.
Пусть рассматривается случайная величина a, имеющая
известную функцию плотности распределения вероятности
Wa(a) в интервале (–π, π). Тогда совместная функция плотно-
сти распределения вероятности для двух случайных величин
X = sin(a) и Y = cos(a) имеет вид
arcsin
Wx
XY
2
Пусть X – дискретная случайная величина, которая прини-
мает значение xn с вероятностью pn, а Y – непрерывная случай-
∓
2
.
x
88
ZYnn
n
Wz
xp
1
UYXn
n
n
u
Wu
22 2
22
22
mg
22
22
2
gg
D
h
Ed
2
n,E
Случайные процессы
ная величина, независимая от X. Тогда для случайных величин
Z = X + Y и U = XY справедливо выражение
Wz
WWx
xn
,
.
Пусть ξ и h – зависимые случайные величины, g – функция, с помощью которой образуется случайная величина
G = g(ξ, h). Случайные величины ξ и h имеют мат. ожидание
2
mξ и mh, дисперсии – s
2
и s
. Коэффициент взаимной ковариа-
ξ
h
ции – r. Если функция g(ξ, h) достаточно гладкая в окрестности
точки (mξ, mh), то справедливы соотношения
1
g
,2
mm
gg g
2
(для ξ = mξ, h = mh),
gg
g
(для ξ = mξ, h = mh).
Если две случайные величины h и ξ имеют нормализованную взаимную корреляцию r = 1, то они связаны линейной зависимостью
h = aξ + b,
где a, b – постоянные.
Если случайные величины h и ξ имеют совместное нормальное распределение с нулевыми мат. ожиданиями, дисперсиями
2
s
2
и s
и коэффициентом корреляции r, то справедливо выра-
h
ξ
жение
2
arcsin
0
x
cos si
где p = sin(a), h = p sξsh.
2
x
,
2
0
Wx ex
2
0
Wx ey
2
0
D
Wz
!
a
n
X
Глава 4. Линейные и нелинейные преобразования случайных величин
89
Пусть ξ и h – независимые случайные величины, распреде-
лённые по закону Рэлея:
x
x
D
2
,
D
y
x
D
2
D
,
,
.
Тогда случайная величина j = ξ / h имеет следующую функ-
ции плотности распределения вероятности:
D
z
,
z
2
D
2
z
D
.
Полиномиальное преобразование
Пусть преобразование случайного процесса Х происходит
с помощью некоторой аналитической полиномиальной функцией в окрестности некоторой точки С:
Тогда её можно разложить в ряд Тейлора:
При этом число членов определяется точностью аппроксимирования.
Тогда мат. ожидание для случайной величины Y
m1(t) = mY(t) = a0 + a1E{X(t) – C} + ... + E{(X(t) – C)n}.
Соответственно, ковариационная функция
Y(t) = g(X(t)).
g(X ) = a0 + a1(x – C) + ... + an(x – C)n,
n
gX
1
KY (t1, t2)= a
2
+ a
(m
1
1,1(t1
... + a
n
2
+ a0a1(m1(t1) + m1(t2) – 2C) +
0
, t2) – Cm1(t1) – Cm1(t2) + C2)+ ...
2
E{(X (t1) – C)n(X(t2) – C)n},
n
.
n
90
0
XX
k
mE
Nx xd
x
Ф
2
xe
Ф
Случайные процессы
где
m1(t) – одномерная начальная моментная функция первого
порядка,
m
, t2) – двумерная начальная моментная функция второ-
1,1(t1
го порядка.
Для частного случая – гауссова стационарного процесса
с нулевым значением мат. ожидания, дисперсией s
2
и норми-
X
рованной корреляционной функцией pX(τ), одномерная начальная моментная функция (ν1 + ν2 + ... + νn)-го порядка определяется с помощью выражения
mtttEX t,,... ,
12
1251 п ри ч ётном
.
12
n
n
X
0 прин ечётном
Соответственно, двумерная начальная моментная функция
(ν1 + ν2)-го порядка определяется с помощью выражения
12 12
12 12
XtXt NN
1
k
!
где
rX(τ) – «аналог» коэффициента корреляции случайных вели-
чин, но применительно к случайному процессу.
Кроме того,
1
k
i
i
k
xФ
,
n-я производная от интеграла вероятности
n
x
x
Ф
.
n
n
Интеграл вероятности
x
z
1
2
2
.
dz
k
kk
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]