Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
Задачи к главе 4
2
1
11
We dn
2
Wedn
2
xn
WЕ
Е
1
Ez dt
1
n
n
Ez zz
131
В нашем случае X1 = Y1 · Y2, Y1 = S, Y2 = N. Учитывая, что
шум подчиняется равномерному закону распределения, выбираем то выражение, в котором W
только y2, т. е. нижнее выражение:
YY
12
XX
X
111
uu n
21
использует в качестве аргумента
Y
2
x
m
n
2
2
2
uun
21
2
1
,
x
m
n
2
2
.
В случае если m ≠ 0, вычислить этот интеграл крайне сложно. Поэтому рассмотрим частный случай:
m = 0.
Тогда с помощью калькулятора интегралов получим:
11
где
X
uu n
21
2
x
1
2
– интегральная показательная функция для
22
n
1
2
2
n = 1.
По сути, это табличный интеграл, значение которого можно
найти в справочных таблицах так же, как Ф(х) или erf(х).
Интегральная показательная функция – специальная функция, имеющая обобщённую форму:
zt
e
n
n
t
При n = 1 данная функция разлагается в ряд:
1
ln ,arg
1
nn
!
n
z
где g – постоянная Эйлера.
22
n
.
,
2
,
132
1
1
nn
Ez
Ez
n
S
1
WW
2222
WW
2
1
11
We
n
2
We
n
ne
W
11
22
Фх
Случайные процессы
Для других значений n существует рекуррентная формула:
ez
.
1
z
Задача 26
Решить задачу 23 при условии, что
XN
.
Решение
Обращаемся к теоретической части (для независимых слу-
чайных величин):
yy
/1
YY YY
12 12
/1
YY YY
12 12
yW dy
xy Wyydy
11
x
1
,
2
x
1
.
В нашем случае X1 = Y1/Y2, Y1 = S, Y2 = N. Учитывая, что шум
подчиняется равномерному закону распределения, выбираем
то выражение, в котором W
только y2, т. е. нижнее выражение:
YY
/
12
XX
X
uu
21
использует в качестве аргумента
Y
2
xn m
2
2
2
11
2
uu
21
xn m
2
2
nd
nd
,
.
Интеграл вычислим с помощью калькулятора интегралов:
11
X
uu n
21
merf
22
xn m
2
2
x
2
x
xn m
2
2
2
2
.
Используем взаимосвязь между Ф(х) и erf (х) [3]:
1
x
erf
2
.
Тогда
21
erfФ
2
21
(
(
WФ
nx
2
0
A
Wa eA
2
X
Wx ex
11
WW
22
22
WW
yy
Задачи к главе 4
133
x
2
.
х
Соответственно,
xn m
11
X
uu
nm xn me
22
2
x
2
2
2
.
2
Задача 27
Найти функцию плотности распределения вероятности случайной величины Y = AX, где A и X – независимые случайные
величины с функциями плотности распределения вероятности
[1, 2]:
a
2
2
A
2
,
x
2
2
X
,
,
.
X
A
1
2
a
Решение
Обращаемся к теоретической части:
x
1
YY YY
12 12
YY YY
12 12
yW dy
x
1
1
yy
11
Wy dy
,
1
.
В нашем случае X1 = Y1 · Y2, Y1 = A, Y2 = X. Если мы выберем первое выражение, то интегрирование происходит по y1, т. е.
по A, которое по условию A ≥ 0 ⇒ пределы интегрирования будут
от 0 до ∞. Если мы выберем второе выражение, то интегрирование происходит по y2, т. е. по X, которое по условию –∞ < x < ∞ ⇒
пределы интегрирования будут от –∞ до ∞. Выберем нижнее выражение (этот выбор произволен):
134
2
2
1
22
11
AX
We ed
2
2
22
AX
AX
We
2
2
22
1
22
11
AX
We eda
2
2
AX
AX
Weda
22
Ax
x
AX
W
AX
x
AX
при
bx
Yg
xx
Случайные процессы
x
/
xx
1
YY
12
X
X
1
2
A
2
1
22 2
x
1
2
X
x
1
xx
2
x
1
22 2
x
x
x
,
x
x
dx
.
Попробуем вычислить этот интеграл через первое выраже-
ние:
YY
12
0
X
X
1
a
a
2
A
1
2
2
2
X
x
2
a
x
a
1
222
a
22
1
,
a
.
Калькулятор интегралов не смог найти первообразную
в ручном режиме, но с помощью м'аксимы искомая функция
была найдена, а вслед за ней и значение интеграла в наших пределах – от 0 до ∞:
1
1
X
2
1
e
A
1
2
1
.
В данном ответе sA и sX мы взяли без модуля, т. к. по определению среднеквадратичное отклонение не может быть меньше 0:
s = √–D. А вот x1 = AX, причём A ≥ 0 (и мы интегрировали именно
в пределах от 0 до ∞), следовательно, отрицательную часть x1 мы
должны отбросить. Поэтому появляется знак «модуль»: | x1 |.
Задача 28
На вход безынерционного ограничителя с характеристикой
[1, 2]
Xs
ax
при
при
Задачи к главе 4
2
x
Wxte
dy
Wy
при
Cxb
Ybya
a
Ya
Wy
SWxd
135
воздействует стационарный гауссов случайный процесс X(t)
с функцией плотности распределения вероятностей
xm
x
,
X
1
2
2
2
x
.
Определить функцию плотности распределения вероятности WY(y, t ) случайного процесса Y (t) на выходе ограничителя
при s > 0.
Решение
Обращаемся к теоретической части:
Wy
YX
.
dy
В нашем случае j(y) имеет три ветви:
Y
при
s
при
Cya,
j(Y ) = ∀C фактически означает, что вне зависимости от зна-
чения X значение Y будет фиксированным. Соответственно,
для первой и третьей ветвей получим, что
Т.е. вероятность того, что Y < –b или Y > a равны 0.
Но здесь нуж но учесть две точки: –b и a. В этих точках функция плотности распределения вероятности преобразуется
в δ-функцию.
Для точки a имеем X ≥ a при Y = a:
W
(y) = W
Y
1
aX
(y) = 0.
Y
3
Sya
,
,
x
136
a
b
Wy
ss
a
b
Wy
a
b
Wy
2
ab
Wy
a
DE
DE
st
Случайные процессы
Wydy
Y
2
– коэффициент пропорциональности (на ос-
нове условия нормировки),
dy
Wy W
YX X
2
2
2
dy
1
Y
.
Соответственно,
1
y
YX X
a
YX X
b
WdyW xdxya
ss
1
y
WdyW xdxyb
ss
,
.
Таким образом
WyWyWy bY
YYYY
при
Задача 29
Пусть есть сигнал [1, 2]
s(t) = Am cos(w0t + j),
где
Am, w0 – постоянные амплитуда и частота;
j – случайная фаза, равномерно распредёленная на интер-
вале (–π, π).
Найти дисперсию s(t).
.
Решение
По определению
В нашем случае начальное смещение отсутствует, следова-
тельно, m
= 0.
s(t)
st m
2
st st
st stWd
st st
2
2
.
.
Задачи к главе 4
dy
Wy
m
1111
m
W
At
1
Dt
22
22
mm
AA
Dt
137
Будем искать W
. Обратимся к теоретической части:
s(t)
Wy
YX
.
dy
В нашем случае обратная функция
st
st t
arccos
.
A
0
Соответственно,
st
1
A
m
2
st
2
A
2
sin
m
0
.
Теперь
22
cos
s
At
m
0
At
sin
m
2
1
0
dA t
cos
m
0
Т.к. дисперсия является неотрицательной величиной, то
знак «–», получающийся при дифференцировании, отбрасываем:
2
cos
s
2
td
0
A
m
.
2
Задача 30
Вычислить функцию плотности распределения вероятности
случайного процесса [1, 2]
x(t ) = ξ(t) + h(t)
двух независимых случайных процессов: гармонического колебания h(t) = Am cos(w0t + j) с равномерно распределённой слу-
чайной фазой j на интервале (–π, π) и гауссового стационарного шума ξ(t) с нулевым значением математического ожидания и
дисперсией s2.
Решение
Обращаемся к теоретической части:
138
12
22
YY
WW
11
WW
ξη
xt
WW
m
y
ky
ηω ωω
ηω ωω
00
20 00
sc
s.
mm m
At
At
ππ
ydky
WW
Случайные процессы
YY
12
YY YY
12 12
xyWydy
12
yW xydy
11
.
,
В нашем случае X1 = Y1 + Y2, X1 ↔ x(t), Y1 ↔ ξ(t), Y2 ↔ h(t).
Учитывая, что область значений известна для h(t) (от –π до π),
нужно выбрать то выражение, в котором интегрирование происходит именно по этой переменной, то есть верхнее выражение:
η
2
YY
12
xt W
η
1
ηt ηt dηt
,
где h1 ... h2 – область значений случайного процесса h(t) при
входном диапазоне j, равном (–π, π).
Случайный процесс h(t) является функциональным преоб-
разованием от переменной j, которая представляет собой случайную величину, равномерно распределённую на интервале
(-π, π). Соответственно, нужно определить функцию плотности
распределения вероятности Wh:
• имеем преобразование вида y = g(j) = Am cos (w0t + j),
• тогда обратная функция
arccos
A
t
.
0
Отдельно остановимся на определении h1 и h2:
cos co
AtAt
10
mm m
AtAt
cos cos co
os ,
Но ведь при j = 0 (посередине) получаем ещё одно значение:
h3 = Am cos(w0t).
Таким образом, область значений h(t) составляет от
–Am cos w0t до Am cos w0t.
Теперь запишем:
dk
ky Wky
ηφ φ
dy dy
первая ветвь обратной вторая ветвь обратной
функции: от - до 0 функции: от 0 до
,
Задачи к главе 4
s2
Wt
0
21 1
11
mm
W
At
WdAt
φ
ωφ
σ
2
0
m
At
We
At
φ
We
2
2
We
139
получается, что обратная функция имеет две одинаковые ветви, так как cos – чётная функция: cos(–a) = cos a.
1
2
A
m
222
AA t
cos ()
Теперь мы можем найти W
1
e
xt
cosω
At
m
0
cosω
At
m
0
σ2
ω
cos
At
0
xt
m
cos
At
m
xt
1
ω
0
2
cosω
At
m
cosω
At
m
0
0
arcco
222
yAy
1
2
A
m
:
x(t)
cosω φ
xA t
m
2σ
y
A
m
m
2
0
2
1
At
sinω φ
m
cos
xA t
m
1
σ2
0
ωφ
0
2
σ
2
xA t
sin
m
cosω φ
m
2σ
'
0
y
sin
m
sin
0
2
,
.
0
cosω φ
m
ωφ
2
0
0
.
d
,
,
d
Уточним пределы. Функция cos принимает значения в диапазоне –1…+1, соответственно, выражение примет вид
cos
xA t
1
xt
A
m
A
m
0
m
2
2
d
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов В. И., Шахтарин Б. И., Сизых В. В. Случайные процессы. Примеры и задачи. В 4 т. Т. 1. Случайные величины и
процессы: Учеб. пособие для вузов / под ред. В. В. Сизых. –
М.: Радио и связь, 2003. – 400 с.: ил.
2. Тихонов В. И., Шахтарин Б. И., Сизых В. В. Случайные процессы. Примеры и задачи. В 4 т. Т. 2. Линейные и нелинейные преобразования: Учеб. пособие для вузов / под ред. В. В. Сизых. –
М.: Радио и связь, 2004. – 400 с.: ил.
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике
для инженеров и учащихся ВТУЗов / под ред. Г. Гроше, В. Циглера: Пер. с нем. – М.: Наука, 1980. – 976 с., ил.
4. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1963.
5. EqWorld: Мир математических уравнений [Электронный ресурс]. – URL: https://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/eqindex.htm
(дата обращения: 25. 10. 2023).
6. Малышев В. А. Уравнение Абеля / В. А. Малышев // Общерос-
сийский математический портал: Алгебра и анализ. – 2001. –
№ 6 – Т. 13. – С. 1–55.
7. Математические этюды: Циклоида [Электронный ресурс]. –
URL: https://old.etudes.ru/ru/etudes/cycloid/ (дата обращения:
25.10.2023).
8. Волков В. А. Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье
и Радона: Учебно-методическое пособие / В. А. Волков. – Екатеринбург: изд-во Урал. ун-та, 2014.
9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций / Перевод со 2-го ан-
глийского издания В. С. Бермана. – М.: Издательство иностранной литературы, 1949.
10. Зубов В. И. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие /
В. И. Зубов. – М.: МФТИ, 2007.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]