Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы
.pdf
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1
mt
12
1
mt
22
EEmD
Задача 1
1. Найти одномерную W(x; t) и двумерную W(x1, x2; t1, t2)
плотности распределения вероятности процесса [1, 2]
ξ(t) = a cos wt + b sin wt,
где w – постоянная угловая частота; a и b – взаимно независимые гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием ma = mb = 0 и дисперсиями Da = Db = s2.
Решение
Случайная величина ξ(ti) при любом ti представляет собой
линейную комбинацию гауссовых случайных величин и поэтому также является гауссовой.
Определим математическое ожидание mξ(t) случайного про-
цесса ξ(t):
Et Et t
cos sin0.
EtEt
00
mm
Определим корреляционную функцию ξ(t) (обратите внима-
ние – не ковариационную (!), так как mξ(t) = 0): это двумерная
начальная моментная функция второго порядка:
cossin
12
,
tE tt Et t
12 12
12
cos sin cos sin
Etttt
2
cos cos cossin
E
2
EttE tt
EttE
cos cos cos sin
sin cos s
11 22
tt tt
12 12
sin cos sinsin
tt tt
12 12
12
12 12
2
1
1
2
2
in sin,tt
12
2
0m
.
,
22
22
EEmD
0
0
EE
12
22
12
mt
tt
так какcos является
mt
2
22
22
11
22
Wx
22
21cos
Wx
e.
Случайные процессы
Emm
2
,
0m
m
m
.
0
Поэтому
, cos cos sinsin
tt
12 12
.
t
Т.к. [3] cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b,
12
2
cos
tt R
21
четной функцией
2
,cos
ttt
12 12
Также вспоминаем, что
Rξ(τ) = D · r(τ),
где D – дисперсия; r(τ) – коэффициент корреляции.
Следовательно,
r(τ) = cos wτ.
Отвечая на вопрос задачи, утверждаем, что W(x; t) имеет
стандартный вид:
xm
;
te e
2
x
.
Для W(x1, x2; t1, t2) обратимся к теоретической части – к част-
ному случаю двумерного случайного процесса:
,; ,
xtt
1212
1
22
21
22
1
22
21
e
xm xm xm xm
2
1122
1
1
22
21cos
22
2 cos
xxxx
1122
22
Wx da
22
Wx da
xt
xdt
xt
Задачи к главе I
Задача 2
Стационарный случайный процесс
ξ(t) = A(t) cos(w0t + j(t)),
с нулевым математическим ожиданием задан одномерной
плотностью распределения вероятности
Wa
ξ
где WA(a) – плотность распределения вероятности случайного процесса A(t); A(t) – стационарный процесс; w0 – априори
известная постоянная частота; j(t) – случайная фаза, распределённая равномерно на интервале (–π, π); A(t) принимает только положительные значения [1, 2].
Найти обратную зависимость – WA(a) от Wξ(t).
Решение
1
Функция
ров ситуации, когда требуется преобразование Абеля [5, 6]. Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля – задача о таутохроне: нахождение такой кривой, что
начиная с любого начального положения время спуска в заданную точку будет одинаковым [7].
Христиан Гюйгенс доказал, что единственной таутохронной
является циклоида (фигура, которая получается, если закрепить
точку на ободе движущегося кольца).
Уравнение Абеля –
ξ
Wa
ax
x
A
1
x
A
ax
является одним из приме-
,
23
где g(x) – заданная функция, f(x) – искомая функция.
Решение:
x
ft
gx dt
0
x
1
f
d
0
dx
,
gt
.
24
01
g xd
n1
(
(
.
g xd
sin1
d
22
Rs
zdz
Случайные процессы
Обобщённое уравнение Абеля:
x
Решение получено интегрированием по частям:
α
sin
fx dt
ft
a
xt
x
d
a
dx
xt
α
gt
1
α
,
t
α
.
0
a
ga
α
si
Также есть другая запись – внешнее преобразование Абеля:
xa xt
Решением является формула обращения (которая также по-
лучена интегрированием по частям):
fx gtdt
sin1
Также можно рассматривать преобразование Абеля как
частный случай преобразования Радона [8]. Тогда исходное уравнение примет вид
Преобразование Радона – интегральное преобразование
функции многих переменных, родственное преобразованию
Фурье:
x
p dr
x
αα
11
a
ft
x
tx
x
dx
tx
tx
d
1
dt
2 rr
r
t
1
gt dt
.
.
d
gt dt
dt
.
, cos sin,sincos
где R(s, a) – преобразование Радона функции f (x, y).
Геометрический смысл преобразования Радона: интеграл от
функции вдоль прямой AA', перпендикулярной вектору
fs zs
,
n
1В
по частям
pd
rd
rr
Вариант 3
rd
22
xt
Задачи к главе I
25
y
A
cos,sinn
x
f (x, y)
A'
Рис. 1. Геометрический смысл преобразования Радона
cos ,sin
и проходящей на расстоянии s (измеренного
вдоль вектора n→, с соответствующим знаком) от начала координат (рис. 1).
Соответственно, формула обращения Абеля –
rd d
111
22 22
rr
rd
d
p
.
Вариант
получен интегрированием
ариант 2:
Причём p(ξ) → 0 при ξ → ∞ (условие регулярности на бес-
конечности).
Альтернативная формула обращения (метод Кормака при
n = 0)
r
rp
dr
d
1
И, наконец, последняя альтернативная формула обращения
Абеля:
x
для функции:
fx
0
utdt
,
22
r
.
26
22
Вариант4
ut
tx
rd
.
Wa
22
Wa
xa
1
1
образования Абеля и нашей функцией:
Случайные процессы
t
решение:
Возвращаемся к нашей задаче.
Проводим аналогию между исходным уравнением для пре-
Обращаемся к варианту 2 формулы обращения Абеля:
2
И переходим к нашей функции в соответствии с аналогией:
A
xf xdx
d
0
dt
1
11
11
2
22
r
a
22
xa
.
22
r
22
2
dp
d
dW x
dx
1
.
dx
В соответствии с общими правилами интегрирования меняем местами пределы и одновременно меняем знак перед интегралом на противоположный:
a
W'x
A
Ещё раз обращаемся к аналогии и видим, что
но
Значит,
r = a.
1
2r
,
.
2a
dx
.
22
Wa ad
xa
Wx
12
Wx
Задачи к главе I
27
Тогда получаем ответ:
A
2
.
x
a
W'x
Таким образом, мы получили одномерную функцию плотности распределения вероятности WA(a) для процесса A(t) «внутри» стационарного случайного процесса
ξ(t) = A(t) cos(w0t + j(t)) с постоянной априори известной частотой w0 и случайной фазой j(t), равномерно распределённой
на интервале (–π, π), при которой мгновенные значения процесса ξ(t) характеризуются заданной одномерной функцией плотности распределения вероятности Wξ(x).
Задача 3
Найти двумерную функцию плотности вероятности
Wξ(x1, x2, τ) стационарного случайного процесса:
ξ(t) = Am cos(w0t + j),
где Am и w0 – постоянные амплитуда и угловая частота, j –
случайная начальная фаза, равномерно распределённая
на интервале (–π, π) [1, 2].
Решение
Вспоминаем про связь функции плотности распределения
вероятности и характеристической функции:
,, ,
xx
12
1
n
2
Для нашего случая (двумерный случайный процесс)
,,,
xWxx
12 12
1
2
2
n
,, ,
ju ju ju ee
12
ju x
nn
edududu.
,
ju ju ee du du
12
n
12
ju xjux
11 22
ju xjux
11 22
n
.
28
0
11
p
p
J
0
p
p
J
Случайные процессы
Двумерную характеристическую функцию можно выразить
через функцию Бесселя [9, 10].
Существует ряд задач математической физики (распространение волн, теплопроводность, колебание мембран), в которых
объекты имеют цилиндрическую или сферическую симметрию.
В этих случаях возникает линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:
x2y'' + xy' + (x2 – u2)y = 0,
где u – порядок.
Данное уравнение было названо в честь немецкого математика и астронома Фридриха Вильгельма Бесселя, который подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших названия цилиндрических функций или функций Бесселя.
Конкретное представление общего решения зависит от u.
Рассматривают два случая:
• порядок u является нецелым числом;
• порядок u является целым числом.
1) u – нецелое число
Общее решение уравнения Бесселя –
y(x) = C1Ju(x) + C2J–u(x),
где C1, C2 – произвольные постоянные, Ju, J–u – функции Бесселя
первого рода:
2
p
Гp Гp
Г1Г12
pp
1
1
x
2
2
x
,
p
.
Функции Бесселя вычисляются в большинстве математиче-
ских пакетов.
2) u – целое число
Общее решение уравнения Бесселя:
y(x) = C1Ju(x) + C2Yu(x),
sin
Jx
Yx
k
Jz
21
0
m
Jz
zm
21
0
m
Jk
21
0
1c
m
Jk
Задачи к главе I
29
где Yu(x) – функция Бесселя второго рода (альтернативные названия – функция Неймана, функция Вебера):
Jx
.
cos
Наконец, для функции Бесселя справедлива теорема сложе-
ния: для любого целого n и комплексных z1, z2 выполняется
zJzJ z
12 1k2k
.
3) u – нецелое, x – мнимое: получаются модифицированные
функции Бесселя первого рода (или функции Инфельда).
4) u – вещественное, x – неотрицательно: получаются функции
Макдональда.
Следует отметить, что функции Бесселя не являются алгебраическими функциями. Также они не являются периодическими функциями, следовательно, согласно теореме Вейерштрасса невозможно выразить Jn(z1 + z2) как алгебраическую функцию
от Jn(z1) и Jn(z2), то есть для бесселевых функций не существует
теорем сложения в строгом смысле этого термина.
Существуют, однако, два класса формул, которые обычно
рассматриваются как теоремы сложения. В случае функций с нулевым индексом эти классы совпадают и формула для функций
первого рода принимает вид
22
0121
2 cos cos
zzzJzJ
Также справедливым будет записать:
22
zz zz JkzJ kz m
0121
22
zz zz JkzJ kz m
0121
2 cos cos
2 cos
где em – множитель Неймана:
mm m
mm m
m
mm m
2
2
2
os
.
,
,
30
ε
1 при 0
0
mm
20
0
1c
i
i.
1c
Случайные процессы
m
2 при
.
Возвращаемся к нашей задаче.
Двумерная характеристическая функция ΘX(ju1, ju2) может
быть выражена через функцию Бесселя:
ju tjut+
,,
ju ju Ee
12
11 22
22
JA uu uu .
0121
m
2cos
Соответственно, одномерная характеристическая функция
имеет вид
ΘX(ju) = E {e
juξ(t )
} = J0(Amu1).
Воспользуемся теоремой о сложении:
JA uu uu
012120
i
22
m
i
1 cos
0
i
2cos
JAuJAu i
mi mim
ju ju
12
ju ju
m
120
120
os
Согласно условию задачи нам нужно найти Wξ(x1, x2, τ):
,,
Wxx
12
1
2
1
2
i
0
2
2
1
1
i
mim
2
1
2
ju xjux
,,
ju ju ee du du
12 12
i
0
i
JAuJAu i
mi mim
JAue du
JAue du i.
im
11 22
120
ju xjux
11 22
edudu
ju x
11
ju x
220
11
22
12
cos
os
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]